Aula - 02 - Integral - Indefinida

Métodos de Cálculo II

• Aula - 2

Antiderivação e Integração

• Antiderivação e Integração

• Antiderivação é uma operação que consiste em encontrar uma função F cuja derivada (F ‘) é uma função conhecida f. Se a função F existir, ela é chamada antiderivada de f.

• Exemplo

• Seja . Uma antiderivada de f é:
• pois .
• Costuma-se chamar a operação de antiderivação também por integração e a antiderivada de integral.

Antiderivação e Integração

• Antiderivação e Integração

• Todas integrais indefinidas devem ter o complemento “ +C” em sua solução pois muitas funções têm a mesma derivada.
• A integral indefinida é aquela para a qual não foi definida um intervalo de valores, portanto, ela é uma função ou família de funções;
• A integral definida é aquela definida dentro de um certo intervalo e calculada neste intervalo, portanto, ela é um número.

Integral Indefinida

• Integral Indefinida

• A operação que envolve uma integral indefinida consiste em achar sua primitiva, ou seja, é a mesma operação que consiste em achar uma antiderivada. O que muda então?
• A notação!
• Para denotar a integral de uma função passaremos a utilizar a seguinte notação:
• Seja . Uma primitiva de f é:
• pois . Assim, a nova notação estabelece que:

Exemplo

• Exemplo

• A integral de é:
• A integral de é:
• A integral de é:
• A integral de é:
• ...

Outro Exemplo

• Outro Exemplo

• A função é uma primitiva da função
• f(x)=cos2x pois .
• Fazendo,
• Não é uma tarefa muito fácil encontrar a primitiva de certas funções, mas existem métodos para isto e iremos aprender alguns deles.

Definição simbólica

• Definição simbólica

• Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C é chamada integral indefinida da função f(x) e é representada pela expressão:
• O símbolo “dx” que aparece na fórmula serve para identificar a variável sobre a qual se processa a integração.

Exemplo

• Exemplo

• Significa que a operação de integração incide sobre a variável “x”.
• Significa que a operação de integração incide sobre a variável “y”.

Integral de uma função constante

• Integral de uma função constante

• Uma primitiva de uma função constante f(x)=k, é a função linear F(x)=k.x, pois F’(x) = (k.x)’ = k. Logo:

• Exemplo

Integral de uma função potência

• Integral de uma função potência

• Seja, por exemplo, f(x)=x4.
• Uma primitiva de f(x) é pois F’(x)=x4. Logo:
• Portanto, uma primitiva da função f(x)=xn, com n-1, é a função

Caso especial de Integral de uma função potência

• Caso especial de Integral de uma função potência

• Seja, por exemplo, f(x)=x-1=1/x.
• Uma primitiva de f(x)=1/x é a função F(x)=ln|x|, portanto:

Integral de função exponencial

• Integral de função exponencial

• Integrais de funções trigonométricas

Integrais de funções trigonométricas

• Integrais de funções trigonométricas

• Integral das funções inversas

Propriedades

• Propriedades

• Integral da soma
• Exemplo

Propriedades

• Propriedades

• Integral da diferença
• Exemplo

Técnicas de Integração

• Técnicas de Integração

• Método da Substituição: A chave do método da substituição é dividir a função em partes e depois encontrar uma parte da função cuja derivada também faça parte dela.

• Exemplo

• Podemos dividir a equação acima em duas partes:
• sen x.dx e
• cos x.
• Repare que a derivada do cos x é sen x, portanto, a derivada do cosseno faz parte da função.

Passos:

• Passos:

• Procure na função pela parte cuja derivada esteja na função. Se você estiver em dúvida, tente usar a que está no denominador ou alguma expressão que esteja sendo elevada a uma potência;
• Chame-a de “u” e tome sua derivada com relação ao diferencial (dx, dy, dt, etc.). Acrescentando esse diferencial;
• Use as expressões “u” e “du” para substituir as partes da integral original;
• A sua nova integral será mais fácil de ser calculada, mas não esqueça de, ao final, desfazer a substituição.

Exemplo

• Exemplo

• Use o método de substituição para encontrar a integral:

• Solução

• Devemos escolher parte da função cuja derivada esteja na função, como a derivada de sen x = cos x e a derivada do cos x = sen x, e, ambas estão na função, na dúvida... selecionamos a parte que está no denominador, isto é: cos x;
• Chamamos u = cos x;
• Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = - sen x.dx;
• Como na função original a função seno é positiva, basta multiplicar ambos os lados por –1 para que ela fique positiva;

Solução

• Solução

• Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e “du”;
• Integral original:
• Nova integral:
• Que também pode ser re-escrito como:

Solução

• Solução

• Basta calcular: ;
• O passo final é desfazer a substituição de u pelo o valor da original:

Outro Exemplo

• Outro Exemplo

• Use o método de substituição para encontrar a integral:

• Solução

• Chamamos u = 3x;
• Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = 3.dx;
• Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e “du”;
• Note que 3.dx não está na equação original, apenas dx. Para ficar apenas com dx, fazemos:

Solução

• Solução

• Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e “du”;
• Integral original:
• Nova integral:
• Que também pode ser re-escrita:

Solução

• Solução

• Calculando , temos:
• Substituindo u pelo seu valor original, teremos:

Técnicas de Integração

• Técnicas de Integração

• Integração por partes:
• No Cálculo-I, quando calculávamos a derivada do produto de duas funções aplicávamos uma regra: chamávamos uma das funções de u, a outra função de v e sua derivada era dada por u’v + uv’.
• Exemplo
• Seja f(x)= ex.senx. Chamamos u=ex, v=senx e f’(x)=ex.senx+ex.cosx.
• A integração por partes irá se aplicar a esses casos em que a função é constituída por um produto e também nos casos em que uma das funções pode ser derivada repetidamente e a outra pode ser integrada repetidamente.

Técnicas de Integração

• Técnicas de Integração

• Integração por partes:
• Assim, considere f(x) e g(x) duas funções deriváveis. A regra do produto nos diz que:
• Ou, dito de outra maneira:

Técnicas de Integração

• Técnicas de Integração

• Em termos de integrais indefinidas, a equação se torna:

Rearranjando os termos, temos:

• Rearranjando os termos, temos:
• Que é a fórmula da integração por partes.
• Porém essa fórmula é mais facilmente lembrada na forma diferencial. Sejam:
• u = f(x) du = f’(x)dx;
• v = g(x) dv = g’(x)dx.
• Usando a regra de substituição, a fórmula acima pode ser simplificada para:

Exemplo-1:

• Exemplo-1:

• Usando o método da integração por partes, determine:

• Solução

• Usamos a fórmula simplificada da integração por partes, fazendo:
• u = x, du = dx;
• v = senx, dv = cosxdx.
• Então:

Observações

• Observações

• O objetivo da integração por partes é passar de uma integral que não sabemos como calcular para uma integral que podemos calcular.
• Geralmente, escolhemos dv primeiro sendo a parte do integrando, incluindo dx, que sabemos integrar de maneira imediata; u é a parte restante.
• Lembre-se de que a integração por partes nem sempre funciona.

Bibliografia utilizada:

• Bibliografia utilizada:

• Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São Paulo, 1992.
• Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, 2006.
• Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006.
• Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-Verlag. New York, 1979.
• Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990.