artigo científico

Aula - 02 - Integral - Indefinida



Métodos de Cálculo II
Aula - 2
Antiderivação e Integração
Antiderivação e Integração
- Antiderivação é uma operação que consiste em encontrar uma função F cuja derivada (F ‘) é uma função conhecida f. Se a função F existir, ela é chamada antiderivada de f.
Exemplo
- Seja . Uma antiderivada de f é:
- pois .
- Costuma-se chamar a operação de antiderivação também por integração e a antiderivada de integral.
Antiderivação e Integração
Antiderivação e Integração
- Todas integrais indefinidas devem ter o complemento “ +C” em sua solução pois muitas funções têm a mesma derivada.
- A integral indefinida é aquela para a qual não foi definida um intervalo de valores, portanto, ela é uma função ou família de funções;
- A integral definida é aquela definida dentro de um certo intervalo e calculada neste intervalo, portanto, ela é um número.
Integral Indefinida
Integral Indefinida
- A operação que envolve uma integral indefinida consiste em achar sua primitiva, ou seja, é a mesma operação que consiste em achar uma antiderivada. O que muda então?
- A notação!
- Para denotar a integral de uma função passaremos a utilizar a seguinte notação:
- Seja . Uma primitiva de f é:
- pois . Assim, a nova notação estabelece que:
Exemplo
Exemplo
- A integral de é:
- A integral de é:
- A integral de é:
- A integral de é:
- ...
Outro Exemplo
Outro Exemplo
- A função é uma primitiva da função
- f(x)=cos2x pois .
- Fazendo,
- Não é uma tarefa muito fácil encontrar a primitiva de certas funções, mas existem métodos para isto e iremos aprender alguns deles.
Definição simbólica
Definição simbólica
- Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C é chamada integral indefinida da função f(x) e é representada pela expressão:
- O símbolo “dx” que aparece na fórmula serve para identificar a variável sobre a qual se processa a integração.
Exemplo
Exemplo
- Significa que a operação de integração incide sobre a variável “x”.
- Significa que a operação de integração incide sobre a variável “y”.
Integral de uma função constante
Integral de uma função constante
- Uma primitiva de uma função constante f(x)=k, é a função linear F(x)=k.x, pois F’(x) = (k.x)’ = k. Logo:
Exemplo
Integral de uma função potência
Integral de uma função potência
- Seja, por exemplo, f(x)=x4.
- Uma primitiva de f(x) é pois F’(x)=x4. Logo:
- Portanto, uma primitiva da função f(x)=xn, com n-1, é a função
Caso especial de Integral de uma função potência
Caso especial de Integral de uma função potência
- Seja, por exemplo, f(x)=x-1=1/x.
- Uma primitiva de f(x)=1/x é a função F(x)=ln|x|, portanto:
Integral de função exponencial
Integral de função exponencial
Integrais de funções trigonométricas
Integrais de funções trigonométricas
Integrais de funções trigonométricas
Integral das funções inversas
Propriedades
Propriedades
- Integral da soma
- Exemplo
Propriedades
Propriedades
- Integral da diferença
- Exemplo
Técnicas de Integração
Técnicas de Integração
- Método da Substituição: A chave do método da substituição é dividir a função em partes e depois encontrar uma parte da função cuja derivada também faça parte dela.
Exemplo
- Podemos dividir a equação acima em duas partes:
- sen x.dx e
- cos x.
- Repare que a derivada do cos x é sen x, portanto, a derivada do cosseno faz parte da função.
Passos:
Passos:
- Procure na função pela parte cuja derivada esteja na função. Se você estiver em dúvida, tente usar a que está no denominador ou alguma expressão que esteja sendo elevada a uma potência;
- Chame-a de “u” e tome sua derivada com relação ao diferencial (dx, dy, dt, etc.). Acrescentando esse diferencial;
- Use as expressões “u” e “du” para substituir as partes da integral original;
- A sua nova integral será mais fácil de ser calculada, mas não esqueça de, ao final, desfazer a substituição.
Exemplo
Exemplo
- Use o método de substituição para encontrar a integral:
Solução
- Devemos escolher parte da função cuja derivada esteja na função, como a derivada de sen x = cos x e a derivada do cos x = sen x, e, ambas estão na função, na dúvida... selecionamos a parte que está no denominador, isto é: cos x;
- Chamamos u = cos x;
- Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = - sen x.dx;
- Como na função original a função seno é positiva, basta multiplicar ambos os lados por –1 para que ela fique positiva;
Solução
Solução
- Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e “du”;
- Integral original:
- Nova integral:
- Que também pode ser re-escrito como:
Solução
Solução
- Basta calcular: ;
- O passo final é desfazer a substituição de u pelo o valor da original:
Outro Exemplo
Outro Exemplo
- Use o método de substituição para encontrar a integral:
Solução
- Chamamos u = 3x;
- Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = 3.dx;
- Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e “du”;
- Note que 3.dx não está na equação original, apenas dx. Para ficar apenas com dx, fazemos:
Solução
Solução
- Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e “du”;
- Integral original:
- Nova integral:
- Que também pode ser re-escrita:
Solução
Solução
- Calculando , temos:
- Substituindo u pelo seu valor original, teremos:
Técnicas de Integração
Técnicas de Integração
- Integração por partes:
- No Cálculo-I, quando calculávamos a derivada do produto de duas funções aplicávamos uma regra: chamávamos uma das funções de u, a outra função de v e sua derivada era dada por u’v + uv’.
- Exemplo
- Seja f(x)= ex.senx. Chamamos u=ex, v=senx e f’(x)=ex.senx+ex.cosx.
- A integração por partes irá se aplicar a esses casos em que a função é constituída por um produto e também nos casos em que uma das funções pode ser derivada repetidamente e a outra pode ser integrada repetidamente.
Técnicas de Integração
Técnicas de Integração
- Integração por partes:
- Assim, considere f(x) e g(x) duas funções deriváveis. A regra do produto nos diz que:
- Ou, dito de outra maneira:
Técnicas de Integração
Técnicas de Integração
- Em termos de integrais indefinidas, a equação se torna:
Rearranjando os termos, temos:
- Rearranjando os termos, temos:
- Que é a fórmula da integração por partes.
- Porém essa fórmula é mais facilmente lembrada na forma diferencial. Sejam:
- u = f(x) du = f’(x)dx;
- v = g(x) dv = g’(x)dx.
- Usando a regra de substituição, a fórmula acima pode ser simplificada para:
Exemplo-1:
Exemplo-1:
- Usando o método da integração por partes, determine:
Solução
- Usamos a fórmula simplificada da integração por partes, fazendo:
- u = x, du = dx;
- v = senx, dv = cosxdx.
- Então:
Observações
Observações
- O objetivo da integração por partes é passar de uma integral que não sabemos como calcular para uma integral que podemos calcular.
- Geralmente, escolhemos dv primeiro sendo a parte do integrando, incluindo dx, que sabemos integrar de maneira imediata; u é a parte restante.
- Lembre-se de que a integração por partes nem sempre funciona.
Bibliografia utilizada:
Bibliografia utilizada:
- Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São Paulo, 1992.
- Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, 2006.
- Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006.
- Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-Verlag. New York, 1979.
- Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990.