Aula - 03 - Integral - Definida

Aula - 03 - Integral - Definida

Métodos de Cálculo II

  • Aula - 3

Integral Definida

  • Integral Definida

    • Determinar uma área sob a curva de uma função (que se traduz na operação conhecida como integral definida), é um procedimento que guarda estreitas relações com a operação de desvendar a primitiva de uma função (integral indefinida).
    • Vamos procurar entender o procedimento que possibilita este cálculo.
    • Na antiguidade o cálculo da área de certas figuras era obtido por aproximação. A área de uma figura mais complexa era determinada a partir do cálculo de áreas de figuras mais simples.

Método de Exaustão de Arquimedes

  • Método de Exaustão de Arquimedes

    • Por volta de 400 a.C. Eudoxo geometrizou a técnica que Arquimedes chamou de método de exaustão.
    • O método consiste em exaurir (preencher) a figura que se quer calcular a área com polígonos regulares.
    • Quanto maior for número de lados do polígono, maior será a convergência entre a área do polígono e a da figura.
    • Vamos aplicar esse método para calcular a área do círculo.

Método de Exaustão de Arquimedes

  • Método de Exaustão de Arquimedes

Método de Exaustão de Arquimedes

  • Método de Exaustão de Arquimedes

    • Seja An a área do polígono Pn. Então, An = n.At;

Método de Exaustão de Arquimedes

  • Método de Exaustão de Arquimedes

    • O perímetro do polígono é pn=n.bn;
    • A área total é dada por:

Método de Exaustão de Arquimedes

  • Método de Exaustão de Arquimedes

    • No caso acima n=8, mas se n cresce cada vez mais, isto é, n, o polígono Pn vai se aproximando cada vez mais do círculo;
    • Enquanto o perímetro Pn se aproxima do comprimento do círculo (que é 2r), a altura hn vai se aproximando do raio r.
    • Logo, em termos matemáticos, isto é traduzido da seguinte maneira:

Área sob uma curva

  • Área sob uma curva

    • Para determinar a área de uma figura plana qualquer, procedemos de modo análogo.
    • Considere então o problema de definir a área de uma região plana S, delimitada pelo gráfico de uma função contínua, conforme o gráfico abaixo:

Área sob uma curva

  • Área sob uma curva

    • Especificado o intervalo [a,b], procedemos a divisão em n subintervalos onde os pontos a=x0 e b=xn.

Área sob uma curva

  • Área sob uma curva

    • xi=xi-xi-1 é o comprimento de cada intervalinho [xi-1, xi].
    • Esse intervalo pode ser tão pequeno quanto se queira e o ponto médio desse intervalo é definido por ci.

Área sob uma curva

  • Área sob uma curva

    • A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn, é dada por:
    • Também neste caso, podemos observar que a medida que n cresce muito e cada xi torna-se muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se da área sob a curva da função y=f(x).
    • Em termos matemáticos, traduzimos isto, assim:

Área sob uma curva

  • Área sob uma curva

    • Seja y=f(x) uma função contínua no intervalo [a,b]. A área sob a curva de f(x) é definida por:
    • A integral definida está associada ao limite da definição acima.
  • Definição

    • Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e P uma partição qualquer de [a,b]. A integral definida de “a” até “b” denota-se por:

Área sob uma curva

  • Área sob uma curva

    • Se existe, dizemos que f é integrável em [a,b].
    • Quando a função f é contínua e não-negativa em [a,b], a definição da integral definida coincide com a definição da área. Portanto, neste caso, a integral definida é a área da região sob o gráfico de f de “a” até “b”.
    • Observação: sempre que utilizamos [a,b] supomos a < b.
      • Se a>b, então se a integral à direita existir;
      • Se a=b e f(a) existir, então,

Propriedades

  • Propriedades

    • 1) k.f(x) é integrável em [a,b] e
    • 2)
    • 3)
    • 4) f(x) + g(x) é integrável e
    • 5)
    • 6) Se f(x)  g(x) e a  b, então

Teorema Fundamental do Cálculo

  • Teorema Fundamental do Cálculo

    • Se F(x) é uma primitiva de f no intervalo [a,b], então:

Exemplo

  • Exemplo

    • Calcule a área da região sob o gráfico da função f(x)=x-x2.

    • Uma vez que f(x)0 no intervalo [0,1], a área A da região sob seu gráfico é dada por:
    • Além disso a função é contínua nos reais e, portanto, possui primitiva, que neste caso é:
    • Pelo TFC, temos então que:

Bibliografia utilizada:

  • Bibliografia utilizada:

    • Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São Paulo, 1992.
    • Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, 2006.
    • Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006.
    • Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-Verlag. New York, 1979.
    • Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990.

Comentários