matematica aula6

matematica aula6

(Parte 1 de 2)

6 AULA

À medida que os problemas se tornam mais complicados, o mØtodo algØbrico vai se impondo naturalmente ao mØtodo aritmØtico. Resolver equaçıes farÆ parte das nossas atividades diÆrias. Mas, o que significa resolver uma equaçªo? Tomemos como exemplo esta equaçªo:

Nªo importa de que problema ela tenha vindo. Desejamos, antes de mais nada, responder à pergunta que fizemos.

Resolver uma equaçªo significa encontrar um nœmero tal que, se for colocado no lugar da letra x, torna a igualdade correta. Veja o que acontece se substituímos x por 2.

Logo, x = 2x = 2x = 2x = 2x = 2 nªo Ø soluçªo da nossa equaçªo. Veja agora o que acontece se substituímos x por 6.

Portanto, x = 6 x = 6 x = 6 x = 6 x = 6 Ø soluçªosoluçªosoluçªosoluçªosoluçªo da nossa equaçªo. Dizemos tambØm que x = 6x = 6x = 6x = 6x = 6 Ø raizraizraizraizraiz da equaçªo dada.

É importante saber que x = 6x = 6x = 6x = 6x = 6 Ø a œnicaœnicaœnicaœnicaœnica soluçªo da equaçªo do nosso exemplo.

VocŒ pode tentar substituir x por outros nœmeros; mas fique certo de que jamais encontrarÆ outras igualdades corretas.

Resolvendo equaçıes

6 AULA

Introduçªo

AULAAs equaçıes que aprenderemos a resolver nesta aula sªo chamadas de equaçıes do primeiro grauequaçıes do primeiro grauequaçıes do primeiro grauequaçıes do primeiro grauequaçıes do primeiro grau, ou seja, sªo equaçıes em que a letra x nªo aparece

elevada a nenhum expoente. Um fato importante relativo às equaçıes de 1” grau Ø que:

Toda equaçªo de 1” grau possui uma soluçªo.Toda equaçªo de 1” grau possui uma soluçªo.Toda equaçªo de 1” grau possui uma soluçªo.Toda equaçªo de 1” grau possui uma soluçªo.Toda equaçªo de 1” grau possui uma soluçªo.

Inicialmente, vamos aprender a resolver equaçıes do 1” grau. Nªo nos importarÆ, portanto, de quais problemas elas vieram.

EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1 Resolva a equaçªo 2x + 3 (x - 2) = 7x - 34.

Neste primeiro exemplo, nªo hÆ denominadores. Entªo, a primeira coisa a fazer Ø eliminar os parŒnteses. Observe que na multiplicaçªo 3 (x - 2), o nœmero 3 multiplica todos os termos que estªo dentro do parŒnteses, ou seja:

3 (x3 (x3 (x3 (x3 (x----- 2) = 3x 2) = 3x 2) = 3x 2) = 3x 2) = 3x ----- 3 · 2 3 · 2 3 · 2 3 · 2 3 · 2

Voltemos, entªo, à equaçªo dada.

2x + 3 (x 2x + 3 (x 2x + 3 (x 2x + 3 (x 2x + 3 (x ----- 2) 2) 2) 2) 2)=====7x 7x 7x 7x 7x ----- 34 34 34 34 34 2x + 3x 2x + 3x 2x + 3x 2x + 3x 2x + 3x ----- 3 · 2 3 · 2 3 · 2 3 · 2 3 · 2=====7x 7x 7x 7x 7x ----- 34 34 34 34 34

2x + 3x 2x + 3x 2x + 3x 2x + 3x 2x + 3x - - - - - 6 6 6 6 6=====7x 7x 7x 7x 7x ----- 34 34 34 34 34

Agora, todos os termos que contŒm a letra x devem ser transportados para o lado esquerdo. Observe, entªo, a mudança do sinal dos termos que trocaram de lado.

2x + 3x 2x + 3x 2x + 3x 2x + 3x 2x + 3x ----- 7x 7x 7x 7x 7x=====6 6 6 6 6 ----- 34 34 34 34 34 Continuamos fazendo as contas:

Temos entªo: ----- 2x = 2x = 2x = 2x = 2x = ----- 28 28 28 28 28

É conveniente trocar os sinais dos dois lados:

2x = 282x = 282x = 282x = 282x = 28 e dividir os dois membros por 2 para obter o valor de x.

x = 14x = 14x = 14x = 14x = 14

Nossa aula

28 + 36 28 + 36 28 + 36 28 + 36 28 + 36=====98 98 98 98 98 ----- 34 34 34 34 34
64 64 64 64 64=====6464646464

AULA2 · 14 + 3 (14 2 · 14 + 3 (14 2 · 14 + 3 (14 2 · 14 + 3 (14 2 · 14 + 3 (14 ----- 2) 2) 2) 2) 2)=====7 · 14 7 · 14 7 · 14 7 · 14 7 · 14 ----- 34 34 34 34 34 EstÆ certo. A raiz da equaçªo dada Ø realmente x = 14x = 14x = 14x = 14x = 14.

EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2

Como resolver a equaçªo abaixo?

Neste exemplo, a equaçªo possui denominadoresdenominadoresdenominadoresdenominadoresdenominadores. Portanto, a primeira coisa a fazer, neste caso, Ø eliminar esses denominadores. Para isso, buscamos um nœmero que seja mœltiplo de todos os denominadores e multiplicamos todostodostodostodostodos os termos da equaçªo por esse nœmero.

5 2 5 2 5 2 5 2 5 2

Fazemos agora as simplificaçıes:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

5 (x 5 (x 5 (x 5 (x 5 (x ----- 4) + 30x = 8x + 70 4) + 30x = 8x + 70 4) + 30x = 8x + 70 4) + 30x = 8x + 70 4) + 30x = 8x + 70

Agora nªo hÆ mais denominadores. Logo, podemos resolver essa equaçªo do mesmo modo que fizemos no primeiro exemplo.

27x 27x 27x 27x 27x=====9090909090

5x 5x 5x 5x 5x ----- 20 + 30x 20 + 30x 20 + 30x 20 + 30x 20 + 30x=====8x + 708x + 708x + 708x + 708x + 70 5x + 30x 5x + 30x 5x + 30x 5x + 30x 5x + 30x ----- 8x 8x 8x 8x 8x=====70 + 2070 + 2070 + 2070 + 2070 + 20

Vamos agora resolver alguns problemas com o auxílio da Ælgebra. Em cada um deles vamos tentar, a partir do enunciado, obter uma equaçªo e, em seguida, resolvŒ-la.

6 AULAEXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3

Um feirante levou 60 mamıes para vender na feira. Começou vendendo cada um por 50 centavos. Depois, como a venda estava fraca, baixou o preço para 30 centavos e vendeu todos os outros. Sabendo que ele arrecadou R$ 2,80, quantos mamıes ele vendeu pelo preço mais caro?

Digamos que seja x o nœmero de mamıes que ele vendeu pelo preço mais caro. Como cada uma dessas frutas foi vendida por R$ 0,50 entªo, na primeira parte da venda ele arrecadou 0,50 · x0,50 · x0,50 · x0,50 · x0,50 · x.

6060606060- x mamıes x mamıes x mamıes x mamıes x mamıes. Como cada um deles foi vendido por R$ 0,30, entªo, na segunda

Quantos mamıes sobraram? Se ele tinha inicialmente 60 mamıes e vendeu x mamıes, entªo sobraram parte da venda o feirante arrecadou 0,30 (60 0,30 (60 0,30 (60 0,30 (60 0,30 (60 ----- x) x) x) x) x). Se ele arrecadou no total R$ 2,80, nossa equaçªo Ø:

0,50 · 0,50 · 0,50 · 0,50 · 0,50 · x + 0,30 (60 x + 0,30 (60 x + 0,30 (60 x + 0,30 (60 x + 0,30 (60 ----- x) = 2,80 x) = 2,80 x) = 2,80 x) = 2,80 x) = 2,80

Vamos agora resolver essa equaçªo. Observe inicialmente que, na parte decimal de um nœmero, o zero colocado à direita pode ser dispensado. Ficamos entªo com:

0,5 · x + 0,3 (60 0,5 · x + 0,3 (60 0,5 · x + 0,3 (60 0,5 · x + 0,3 (60 0,5 · x + 0,3 (60 - - - - - x) = 2,8 x) = 2,8 x) = 2,8 x) = 2,8 x) = 2,8

Para evitar trabalhar com decimais, multiplicamos todos os termos da equaçªo por 10.

5x + 3 (60 5x + 3 (60 5x + 3 (60 5x + 3 (60 5x + 3 (60 ----- x) = 228 x) = 228 x) = 228 x) = 228 x) = 228

5x + 3 5x + 3 5x + 3 5x + 3 5x + 3 • 60 60 60 60 60 ----- 3x 3x 3x 3x 3x=====228228228228228
5x + 180 5x + 180 5x + 180 5x + 180 5x + 180 ----- 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x=====228228228228228
5x 5x 5x 5x 5x ----- 3x = 228 3x = 228 3x = 228 3x = 228 3x = 228=====180180180180180
2x 2x 2x 2x 2x=====4848484848

Agora fica fÆcil:

x x x x x=====2424242424

Portanto, o feirante vendeu 24 mamıes pelo preço mais caro.

EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4

Uma caixa com 30 lÆpis custa R$ 4,80. Quanto deverÆ custar uma outra com 40 lÆpis?

(Parte 1 de 2)

Comentários