problema de neumann

problema de neumann

O Problema de Neumann

Alexsandro da Silva Neo 30 de junho de 2009

Problema de Neumann

Problema de valor de contorno e uma equacao diferencial provida de um conjunto de restricoes adicionais, as chamadas condicoes de contorno. Uma solucao para um problema de valor de contorno e uma funcao que seja solucao da equacao diferencial e satisfaca as condicoes de contorno. Estudaremos a condicao de contorno de Neumann, como o proprio tıtulo ja diz. Em suma, temos a condicao de contorno de Neumann quando a derivada normal e especificada no problema. Nos restrigiremos a equacao diferencial de Laplace, mas antes disso, ilustraremos alguns exemplos fısicos correspondente a condicao de contorno de Neumann.

Exemplo 1. (A Corda Vibrante)Imagine que o final de uma corda esta livre para se mover transversalmente sem qualquer resistencia, entao nao existe componente vertical de tensao no final, assim ux = 0. Isto e uma condicao de Neumann.

(Calor) A conducao do calor e descrita pela equacao da difusao. Se um objeto D nao transmite calor e ele e perfeitamente isolado, entao nao temos fluxo do calor sobre o bordo e assim temos a condicao de Neumann, ∂u

Suponha que Ω e uma regiao limitada de Rn, ∂Ω e a fronteira de Ω e seja f : ∂Ω → R uma funcao contınua. O Problema de Neumann para a equacao de Laplace e encontrar uma funcao u : Ω ∪ ∂Ω → R tal que

onde ∂u

∂n denota a derivada direcional de u na direcao da normal do ∂Ω.

Uma coisa bem natural, agora, e se perguntar: sempre existe uma solucao para o Problema de Neumann? E se existe, ela e unica? Caso exista a solucao do problema, tem-se uma formula? Comecemos a responder essas perguntas; vejamos a condicao necessaria para a existencia da solucao do Problema de Neumann.

A condicao necessaria para a existencia da solucao do Problema de Neumann e que a integral de f sobre ∂Ω seja nula. A prova dessa afirmacao sai direto da primeira identidade de Green. Com efeito, segue-se que vale a igualdade

Ω a∆bdν pela primeira identidade de Green e fazendo a = 1 e b = u, temos que ∫

Portanto, ∫

Dessa condicao torna-se claro que alguns dos Problemas de Neumann para a equacao de Laplace podem nao ter solucao. Por exemplo, se a componente normal do fluxo de massa for de mesmo sinal em todos os pontos da fronteira (soluto entrando em todos os pontos ou saindo em todos os pontos) entao a integral de f sobre a fronteira nao sera nula e assim nao satisfaz a condicao necessaria da existencia para o Problema de Neumann.

Teorema 2. Se u satisfaz o Problema de Neumann, ou seja,

Entao, (i) Para toda constante c, temos que v = u + c tambem e solucao. (i) Se v e solucao do problema, v e da forma v = u−c, com c constante.

Demonstracao. Para (i) basta verificar que ∆v = 0 e ∂v

∂n = f. Com efeito,

A sentenca (i), significa que se existe a solucao do Problema de Neumann entao ela e unica a menos de uma constante. Tomemos w = u − v. Assim, w satisfaz

Pela primeira identidade de Green, segue-se que ∫

Ω a∆bdν donde, ∫

Ω a∆bdν e fazendo a = b = w obtemos ∫

Ω w∆wdν

O que implica que |∇w|2 = 0 em Ω e assim, ∇w = 0 em Ω (observe que

Ω e uma regiao). Logo, w = u − v = c, onde c e uma constante, ou seja, v = u − c, com c constante.

O Problema de Neumann pode ser reduzido ao Problema de Dirichlet.

Desse modo, e possıvel resolver o Problema de Neumann transformando ele para um Problema de Dirichlet e uma vez resolvido o Problema de Dirichlet, basta retornar a solucao encontrada ( o retorno se faz por meio das equacoes de Cauchy - Riemann ). Encontrando assim a solucao de tal problema. Mostraremos como podemos reduzir de um caso ao outro em dimensao 2. Mas o que e o Problema de Direchlet? O Problema de Direchlet para a equacao de Laplace e dada uma funcao g ∈ C0(∂Ω), encontrar uma funcao v ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) que satisfaca

Seja Ω ⊂ R2 uma regiao simplesmente conexa. Iremos transformar o Problema de Neumann para o Problema de Dirichlet.

Isto e, vamos transformar o problema

no seguinte problema

Suponhamos que exista uma solucao u para o Problema de Neumann tal que u,ux, e uy podem ser extendido continuamente para a fronteira de Ω (isto e, essas funcoes podem ser definidas sobre a fronteira de Ω onde as funcoes resultantes sao contınuas em Ω). Construiremos em Ω uma funcao v a qual satisfaz as equacoes de Cauchy - Riemann (ux = vy;uy = −vx). Dessa forma, v sera harmonica

A existencia da funcao v vem do fato de que a funcao u e harmonica. Com efeito, seja

Derivando v em relacao a y, obtemos

Agora, derivando v em relacao a x iremos ver que a condicao uy = −vx e satisfeita.

Enunciaremos duas afirmacoes e demonstraremos a primeira afirmacao (a segunda afirmacao e consequencia direta da afirmacao 1).

Afirmacao 1. Para todo ponto de ∂Ω a derivada de u em alguma direcao →

l e igual a derivada de v na direcao obtida por uma rotacao anti-horaria de

Demonstracao. Com efeito, seja → p a direcao obtida por uma rotacao anti-

= uysenθ + uxcosθ

= uxcosθ + uysenθ

Afirmacao 2. Para qualquer ponto da fronteira de Ω a derivada de u na direcao da normal da fronteira e igual a derivada de v na direcao da tangente da fronteira.

Fixando o valor de v em um ponto A sobre a fronteira de Ω, encontramos para qualquer ponto B sobre ∂Ω o valor de v(B) pela igualdade

onde ds denota um elemento do arco sobre a fronteira de Ω.

Dado que a integral de f sobre a fronteira de Ω e nula, a equacao acima define v sobre a fronteira de Ω. Temos

A funcao v satisfaz

Logo, transformamos o Problema de Neumann no Problema de Dirichlet.

Podemos reduzir o Problema de Neumann para o Problema de Dirichlet para dimensoes maiores, mas nao mostraremos pois requer tecnicas mais avancadas e finalizamos esse texto resolvendo o Problema de Neumann para o semi-plano superior. Considere o seguinte problema

onde u e limitada quando y → ∞, u e ux sao nulos quando |x| → ∞ e

Encontraremos a solucao do problema introduzindo uma nova variavel v(x,y) a qual v(x,y) = uy(x,y). Entao,

Reformulando o problema em termos de v obtemos o Problema de Dirichlet

Entao,

2pi

Referencias Bibliograficas

[01] I. G. Petrovsky. Lectures on Partial Diferential Equations. Dover, New York, 1991.

[02] W. A. Strauss. Partial Dierential Equations - An Introduction. Wiley, New York, 1992.

[03] S. I. Naismith. Elements of Partial Differential Equations. McGraw-Hill, 1957.

[04] M. A. Pinsky. Partial Differential Equations and Boundary-Value Problems with Applications, McGraw-Hill, 1991.

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