apostila de geometria analitica filipe

apostila de geometria analitica filipe

(Parte 1 de 11)

Filipe Rodrigues de S. Moreira

Graduando em Engenharia Mecânica –

Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) (Fevereiro 2005)

Geometria Analítica

Capítulo I. Introdução

A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos, mas apesar do seu brilhantismo faltava operacionabilidade. Infelizmente isto só foi conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria.

Ocorre porém que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o toque de genialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemática e o segundo por razões filosóficas. E, digase de passagem, não trabalharam juntos: a geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas simultâneas e independentes.

Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao Parlamento de Toulouse dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à matemática, certamente não era porque faltasse outra maneira de preencher o seu tempo disponível. Na verdade Fermat simplesmente não conseguia fugir à sua verdadeira vocação e, apesar de praticar matemática como hobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o avanço desta ciência quanto ele. Além da geometria analítica, Fermat teve papel fundamental na criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo de Probabilidades e, especialmente, da teoria dos números, ramo da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros.

A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno texto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos (1636 no máximo) que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra completa. É que Fermat, bastante modesto, era avesso a publicar seus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analítica.

O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de freqüentar rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia.

A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria como um dos três apêndices do Discurso do método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos.

A Geometria Analítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições deixadas por Fermat e

Descartes. Inclusive sua marca mais característica, um par de eixos ortogonais, não usada por nenhum deles. Mais, cada um a seu modo, sabia que a idéia central era associar equações a curvas e superfícies. Neste particular, Fermat foi mais feliz. Descartes superou Fermat na notação algébrica.

Capítulo I. Introdução ao 2 e estudo do ponto.

Sejam os conjuntos {1,2}B= e {3,4}A=. De certo, são conjuntos finitos, de números reais e com o auxílio da reta real, podemos facilmente representar graficamente os seus elementos.

É conhecida uma operação entre conjuntos, chamada produto cartesiano, a qual produz como resultado um outro conjunto, em que os novos elementos são entidades matemáticas, formadas por duas partes, uma oriunda do conjunto A e outra do conjunto B. Essa entidade matemática é denominada par ordenado. Vamos explicitar o resultado do produto cartesiano entre os conjuntos A e B. {(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}AB×=. Veja que nos elementos deAB×, o primeiro número no par ordenado é advindo do conjunto A enquanto que o segundo veio do conjunto B. Vamos definir uma maneira de representar o conjunto AB× e para isso utilizaremos também retas reais, porém numa disposição diferente. Veja!!!

Utilizando-se de retas reais podemos representar esse resultado do conjuntoAB×, porém a questão é que essas retas reais estão dispostas convenientemente, uma perpendicular à outra. A essas retas, nessa disposição, chamamos eixos coordenados. Na reta que está na posição horizontal, representaremos os elementos advindos do conjunto A e na reta vertical os elementos advindos do conjunto B. Como podemos perceber, os quatro elementos do conjunto AB× foram representados fazendo-se o cruzamento de um número advindo do conjunto A com o seu respectivo no conjunto B. Suponha agora que o conjunto A seja do tipo: {/34}AxRx=∈≤≤ e que o conjunto B seja expresso da forma {/12}BxRx=∈≤≤. Fazendo agora a operação AB×, chega-se em uma nova figura mostrada a seguir:

Como podemos perceber o resultado dessa operação foi uma região, um contorno geométrico fechado e seu interior. Agora imagina o que acontece se definirmos o conjunto A como sendo os reais e o conjunto B também. Como é de se esperar, se fizermos o produto cartesiano dos reais com o próprio conjunto dos reais,

teremos o que chamamos de plano cartesiano ou ainda de 2 . A partir daqui, se pode definir o que chamamos de ponto com sendo o resultado do produto cartesiano entre dois conjuntos unitários, ou ainda como sendo um elemento de produto cartesiano entre dois conjuntos não vazios.

O ponto pode ser entendido como o “endereço” de certa posição num dado plano. Como se pode representar pontos com pares de números reais, é possível definir operações algébricas com esses pontos.

B é um ponto qualquer, do plano XOY e para cada B está assossiado um par ordenado, par esse que é representado da seguinte

relativa ao eixo Y

forma: (xb ,yb) onde xb é a posição relativa ao eixo X e yb é a posição

Como dito acima, o ponto é representado no eixo cartesiano por uma coordenada x, denominada de abscissa e uma coordenada y, chamada ordenada. Dizemos que dois pontos são iguais quando acontece a seguinte propriedade: (, ) ( , )A AB B A B A BA x y Bx y x e y=⇔ = =

I.1 - Distância entre dois pontos

Sejam A(xA ,yA) e C(xC ,yC) dois pontos do plano. A distância entre esses dois pontos é exatamente o valor da hipotenusa do triângulo ABC mostrado abaixo. Logo se conseguirmos determinar o valor dos catetos, utilizando o Teorema de Pitágoras, será possível achar essa distância. Logo, como o cateto

CAABxx=− e o cateto CABCyy=−, aplicando o Teorema de Pitágoras vêm:

R1) Uma formiga está sobre uma mesa e o ponto inicial que ela se encontra é o ponto P(2, 3). Ela caminha em linha reta e para no ponto Q(-6, -3). Calcular a distância que a formiga andou. Solução: Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, chegamos à distância que a formiga andou.

R2) Duas circunferências são tangentes externamente. O centro de uma circunferência está no ponto C1(3, 5) e o centro da outra está no ponto C2(0, 1). Calcule a soma dos raios dessas circunferências. Solução:

Foi dito que essas circunferências são tangentes externamente, logo a soma dos raios é exatamente a distância

a) P(0, 0) e Q(3, 4)

P1-) Calcule a distância entre os pontos abaixo: b) P(1, 13) e Q(6, 1) c) P(7, 0) e Q(1, 8) d) P(-6, 13) e Q(-1, 1)

P2-) Dado um triângulo ABC, com vértices A(0, 0), B(12, 5) e C(3, 4). Calcule o seu perímetro.

35), são seus vértices. Determine os valores das diagonais AC, BD, CE, DF, EA e FB. O que podese concluir sobre esse hexágono?

P4-) Determine os valores de x e y que tornam A e B o mesmo ponto: a) A(1+ x, y - 2x + 2) e B(-3, -1 + 3y). b) A(2x + y, y - 5 ) e B(x2 – 4, 2y - 9). c) A(x – y – 3 , x + y – 3) e B(2x , 3y).

P5-) Sabe-se que as coordenadas do baricentro de um triângulo qualquer são dadas por:

CBAG x

Calcule as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, com vértices A(-6, 0), B(6, 0) e

C(0, 36).

Mostre que GA = GB = GB = 34.

I.2 - Razão de secção

Esse assunto tem sido pouco explorado nas provas em geral, mas em contra partida, embora seja um assunto relativamente simples, quando é cobrado poucos candidatos acertam a questão. Isso a acontece devido principalmente à falta de rigor e didatismo dos livros que esse assunto. A idéia aqui é que você perceba o conceito que está por trás desse assunto e assim a sua compreensão vai ser automática.

Tem-se um dado segmento AC de extremos A(xa ,ya) e C(xc ,yc). Queremos determinar um ponto B, sobre a reta que contêm o segmento AC (veja que B está sobre a reta e não necessariamente no segmento), tal que a relação rBC AB= seja mantida. Vamos explicar o que essa relação apresentada quer dizer: quando escrevemos que rBC AB=, estamos querendo passar a informação de que o tamanho AB é “r” vezes maior que o tamanho BC. O problema é que em algumas provas oficiais, foi cobrado esse conceito, porém, com um valor negativo para “r”. A partir desse momento essa notação “rBC AB=” se torna, na verdade, um abuso de linguagem e uma falta de rigor, porque o que significa a divisão entre dois tamanhos ser negativa ? De fato, quando se pensa em tamanhos se trata de um absurdo, porém podemos dar um tratamento mais elegante à essa questão considerando AB, não como segmento mas sim como um vetor. Ainda assim a expressão “rBC AB=” é uma heresia matemática, pois não se defini uma divisão de vetores, logo, uma maneira mais formal de se formular esse enunciado é usando a expressão .ABrBC=uuuruuur . Fazendo desse jeito, até a questão é simplificada, pois é possível resolver o problema de uma só vez (tanto para o termo em “x” como para o termo em “y”).

Veja: .ABr BC=uuuru uur . Assim, temos: )(BCrAB

r−=− isolando B chegamos a Cr rAr

Esse resultado significa que a relação entre Bx, x e x é dada por:

CAB xr rxr

Da mesma forma achamos a relação entre y, y e y é dada por:

CAB yr ryr

I.3 - Coordenadas do ponto médio

Seja B o ponto médio de AC. Para acharmos as coordenadas de B, basta ver que: 1=BC AB, ou seja,

BC=AB então fazendo r = 1 nas equações (I) e (I) temos que:

(Parte 1 de 11)

Comentários