Sistemas Lineares

  Equação linear

  Equação linear é toda equação da forma:

a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b

em que a1, a2, a3, ... , ansão números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas

x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).

Veja alguns exemplos de equações lineares:

  • 3x - 2y + 4z = 7

  • -2x + 4z = 3t - y + 4

  • (homogênea)

As equações a seguir não são lineares:

  • xy - 3z + t = 8

  • x2- 4y = 3t - 4

 

  Sistema linear

Um conjunto de equações lineares da forma:

é um sistema linear de m equações e n incógnitas.

         A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.

Matrizes associadas a um sistema linear

       A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:

  •  matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.

Em relação ao sistema:

a matriz incompleta é:

  • matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sitema.

Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:

  Sistemas homogêneos

      Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:

 Veja um exemplo:

 

A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.  

Classificação de um sistema quanto ao número de soluções

Resolvendo o sistema , encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).

No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).

Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).

   Resumindo, um sistema linear pode ser:

  a) possível e determinado (solução única);  b) possível e indeterminado (infinitas soluções);  c) impossível (não tem solução).

 

  Sistema normal

Um sistema  é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.

Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.

 

 Regra de Cramer

Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante  obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

 

  Discussão de um sistema linear

Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:

 a) possível e determinado, se D=det A0; caso em que a solução é única.

Exemplo:

m=n=3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.

 

 b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais.

Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.

Exemplo:

D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0

Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.  

c) impossível, se D=0 e Dxi0, 1 in; caso em que o sistema não tem solução.

Exemplo:

 

                 

Como D=0 e Dx0,  o sistema é impossível e não apresenta solução.

 

 Sistemas Equivalentes

Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.

Por exemplo, dados os sistemas:

          e   

verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2.

 

 Propriedades

a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.

Por exemplo:

e   

S1 ~S2

   b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:

S1 ~S2

 

c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Por exemplo:

 

Dado  , substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II), obtemos:

 

S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas.

Sistemas escalonados

   Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.

   Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.

   Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:

 a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.

 b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.

 c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

 

     Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema:

I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)

Exemplo 1:  

1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:

  •  Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:   

         

  •  Trocamos  a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:

          

  • Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:

          

2º passo: Anulamos os coeficientes  da 2º incógnita a partir da 3º equação:

  • Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:

          

Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.

-2z=-6 z=3

Substituindo z=3 em (II):

-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1

Substituindo z=3 e y=-1 em (I):

x + 2(-1) + 3= 3 x=2

Então, x=2, y=-1 e z=3  

Exemplo 2:  

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:

  • Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:

         

  • Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -3 com a 3º equação:

          

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação:

  • Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3º equação:

        

Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema é impossível.

 

II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n)

Exemplo:

 

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:

  • Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:

         

  • Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -1 com a 3º equação:

                    

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação:

  • Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por -3 com a 3º equação

         

O sistema está escalonado. Como m<n, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções. A diferença entre o número de incógnitas (n) e o de equações (m) de um sistema nessas condições é chamada grau de indeterminação (GI):

GI= n - m

Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:

  • Consideramos o sistema em sua forma escalonada:

          

  • Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:

           GI  = n-m = 4-3 = 1

Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor , supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. Sendo t=, substituindo esse valor na 3º equação, obtemos:

12z - 6= 3012z= 30 + 6 =

Conhecidos z e t, substituímos esses valores na 2º equação:

Conhecidos z,t e y, substituímos esses valores na 1º equação:

Assim, a solução do sistema é dada por S=, com IR.

Para cada valor que seja atribuído a , encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema. 

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