Diferenciais de Ordem Superior,

Diferenciais de Ordem Superior,

(Parte 1 de 2)

Diferenciais de Ordem Superior

Iremos, agora, estudar as diferenciais sucessivas de funções a várias variáveis.

Começaremos com as diferenciais de segunda ordem. A expressão dyy fdxx fdf ∂ sugere a adoção de um operador, representado por dyy dxxd ∂

∂ =, e definido por

dyy fdxx ffdyydxxdf ∂

Apliquemos agora o operador d a df, ou seja, consideremos ddf, que é, por definição, a diferencial sucessiva de segunda ordem da função f, e denota-se por fd2 .

Iremos na seqüência determinar a expressão de fd2, para o que admitiremos que f satisfaça o teorema da permutibilidade da ordem na derivação parcial, assunção esta que será sempre admitida de ora em diante. Teremos:

2 dyy fdxdy yx fdx x fdyy fdydx xy fdxdy yx fdx x fdyyf y dydx xfy dxdyyfx xfx dyy fdx x fdyy dxx ddffd que é a expressão da diferencial de segunda ordem, admitida a existência das derivadas de primeira e segunda ordem da função. Esse resultado pode ser expresso simbolicamente por:

fdyy dxx

2 dyy dxdy yx dxx dyy dx x ∂

Aplicando novamente o operador d a fd2 , ou seja, fdd2 ., obtém-se, desde que as derivadas parciais de terceira ordem existam, e colocando-se fdfdd32 .=, a diferencial de terceira ordem da função f:

dyyfy dxdy yx fy dydx xfy dxdyyf x dydx yx fx dx xfx dyy fdxdy yx fdx x fdyy dxx fdd dyy fdxdy yx fdydx yx fdx x dyy fdxdy yx fdydx xy fdxdy yx fdydx yx fdx x

Por indução, a diferencial de ordem n da f, fdfddnn= −1 ., é escrita n n n n n n n n n n n dyy fdydx yx fCdydx yx fCdx x ffd ∂ ou, simbolicamente,

fdyy dxx

Essas noções são facilmente extensíveis para funções a n variáveis. A diferencial de primeira ordem ou diferencial total da função f das variáveis nxxx,...,,21 é dada por:

n x x f x f x

=21

Definindo a função ig das variáveis nxxx,...,,21por ()iixxxxg=,...,,21, onde ni,...,2,1=, vem, pela definição de diferencial, n n i i i x x dg x dg x dg x

=21

∂∂ nii i xgxgxgx g , vem iiiixxdxdg∆=∆==.1, ou seja, dx x fdx x fdx x fdf ∂

=21

Essa expressão sugere a consideração do operador:

dx x fdx x fdx x ffdxx dxx dxx df ∂

=2121

Por considerações semelhantes às aplicadas para a diferencial de funções de duas variáveis, obtemos para a diferencial de segunda ordem fdxx dxx dxx fd n



∂ =, e para a diferencial de ordem n:

fdxx dxx dxx fd n n

=21

, sempre admitindo a existência das derivadas de ordem n da f.

Exercícios

Cálculo de Valores Aproximados Veremos agora como empregar diferenciais para o cálculo de valores aproximados.

1) Calcule 01,302,1 aproximadamente.

Seja ),(yxfxzy ==. Então y z x

2) Calcule oo59cos32senaproximadamente, com três casas decimais.

quando não figuram como argumentos de funções trigonométricas, devem ser expressos em radianos, transformamos graus em radianos mediante uma regra de três :

→pi , calculando e transformando igualmente os demais valores em

a)()()2397,0.02,1R.:1,0
b)()()2293,205,4+R.:4,998

3) Calcular aproximadamente: (calcular com três casas decimais)

4) Ao se medir os lados de um triângulo ABC foram obtidos os seguintes dados:

lado mma2100±=; mmb3200±=; ângulo oC1600±=. Qual o grau de precisão com que podemos calcular o lado c ?

Pela lei dos cossenos: ),,(cos2222ααbafabbac=−+= f a a fdcc

onde: mbmbmama3;200;2;100=∆==∆=; os ângulos αα∆, devem ser expressos em radianos; por meio de uma regra de três obtemos:

A c

ab a

abba badc substituindo-se os valores indicados e calculando-se obtemos: 3381,4=≈∆dcc;

5) O volume de um cone circular reto de altura h e raio da base r é dado por

1 pi=. Se sua altura é aumentada de 4cm para 4,01, enquanto que o raio da

base diminui de 3cm para 2,98, ache um valor aproximado da variação V∆de seu volume.

∂ ∂= dhrrhdrdhh

Vdr r VdV pipi

Portanto, 0408,0−=≈∆dVV e o volume final seria:

6) Um lado de um retângulo mede ma4=, o outro mb24=. Qual será a variação da diagonal desse retângulo se o lado a é aumentado em 4mm e o b é encurtado de 1 m? Calcule aproximadamente a variação e compare-a com o valor exato.

7) Uma caixa fechada, com a forma de um paralelepípedo, tem dimensões externas de 10x8x6 cm, e é feita de plástico, o qual tem uma espessura de 2 m. Qual é o volume aproximado de material empregado na sua confecção?

Estimativa de Erros

1) Ao se medir a temperatura T de um gás ideal ocorre um erro de 0,3 % e ao se medir o volume V deste mesmo gás, ocorre um erro de 0,8 %. Qual o erro relativo máximo que se obtém para a pressão, sabendo-se que ele é calculado pela lei kTPV=?

dPP≈∆

P dPP

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