Equações de 2º Grau

Equações de 2º Grau

Equação do 2º grau

Tosca R.Xocaira Hannickel

Equações de 2º grau

Definições

   Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax2 + bx + c = 0; a, b, IR e

    Exemplo:

  • x2 - 5x + 6 = 0    é uma equação do 2º grau com a = 1,  b = -5  e  c = 6.

  • 6x2 - x - 1 = 0    é uma equação do 2º grau com a = 6,  b = -1  e  c = -1.

  • 7x2 - x = 0         é uma equação do 2º grau com a = 7,  b = -1  e  c = 0.

  • x2 - 36 = 0         é uma equação do 2º grau com a = 1,  b = 0 e c = -36.

Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na  incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

                                                a    é sempre o coeficiente de  x²;

                                                b    é sempre o coeficiente de x,

                                                c    é o coeficiente ou termo independente.

 

Equações completas e Incompletas

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

x² - 9x + 20 = 0   e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.

Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:

  • x² - 36 = 0(b = 0)

  • x² - 10x = 0(c = 0)

  • 4x² = 0(b = c = 0)

Raízes de uma equação do 2º grau

    Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas  raízes.

Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. Exemplos:

  • Dentre os elementos do conjunto A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equaçãox² - x - 2 = 0 ?

Solução

Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.

Para x = -1

(-1)² - (-1) - 2 = 01 + 1 - 2 = 00 = 0

(V)

Para x = 0

0² - 0 - 2 = 00 - 0 -2 = 0-2 = 0

(F)

Para x = 1

1² - 1 - 2 = 01 - 1 - 2 = 0-2 = 0

(F)

Para x = 2

2² - 2 - 2 = 04 - 2 - 2 = 00 = 0

(V)

   Logo, -1 e 2 são raízes da equação.

  • Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px - 2 = 0.SoluçãoSubstituindo a incógnita  x por 2, determinamos o valor de p.

  •  Logo, o valor de p é .

Resolução de equações incompletas

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:

   1ª Propriedade: 

   2ª Propriedade: 

 

   1º Caso: Equação do tipo  .

   Exemplo:

  • Determine as raízes da equação , sendo .SoluçãoInicialmente, colocamos x em evidência:                

   Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:                                               

   Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:                                               

   De modo geral, a equação do tipo tem para soluções .

  2º Caso: Equação do tipo 

   Exemplos:

  • Determine as raízes da equação , sendo U = IR.

            Solução

                       

  

 De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo.

Resolução de equações completas

Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

    Podemos representar as duas raízes reais por, x' e x", assim:   

   Exemplos:

  • A equação: Temos 

                       

Discriminante

   Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega (delta).

    Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

   De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º Caso: O discriminante é positivo .        O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

    Exemplo:

  • Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?SoluçãoPara que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter  

        Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

2º Caso: O discriminante é nulo              O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:                                   

    Exemplo:

  • Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais. SoluçãoPara que a equação admita raízes iguais é necessário que .

                     

   Logo, o valor de p é 3.

3º Caso: O discriminante é negativo .O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são números complexos.       

   Exemplo:

  • Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?SoluçãoPara que a equação não tenha raiz real devemos ter                

   Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.

Resumindo

  Dada a equação ax² + bx + c = 0,  temos:

  Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.  Para , a equação tem duas raízes reais iguais.  Para , a equação não tem raízes reais.

Exercícios de Equações de 2º Grau

    1. Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:

    1. Ache as raízes das equações:

    1. O número -3 é a raiz da equação . Nessas condições, determine o valor do coeficiente c:

    2. As equações abaixo estão escritas na forma normal reduzida. Calcule o discriminante de cada uma e faça um estudo completo da equação (número de raízes, concavidade, sinal)

    1. Num congresso havia 50 pessoas entre homens e mulheres. Descubra quantas mulheres e quantos homens estavam presentes. Sabendo que o produto das quantidades dos dois grupos é igual a 621 e que a quantidade e que a quantidade de mulheres é maior que a de homens. Justifique a resposta através da equação de 2º grau.

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