Análise combinatória e probabilidade

Análise combinatória e probabilidade

(Parte 2 de 4)

2. Deu me xemplo de fenomeno aleatorio que seja objeto de interesse ou de estudo de cada area a seguir:

(a) Economia (b) Matematica (c) Jogo de dados (d) Saude (e) Jogos de cavalos (f) Polıtica (g) Contabilidade (h) Fısica (i) Farmacologia (j) Mercado de Capitais

3. Em cada caso abaixo e descrita uma acao. Enuncie algo a ser observado, associado a cada acao, de modo a caracterizar um fenomeno aleatorio:

(a) Lancar um dado tres vezes. (b) Retirar, sem reposicao, duas cartas de um baralho de 52 cartas.

(c) Retirar, com reposicao, duas bolas de uma urna contendo bolas brancas e bolas vermelhas.

(d) Consultar 50 famılias, consistindo de pai, mae e dois filhos naogemeos.

Aula 15 – Experimentos e espaco amostral MODULO 2 - AULA 15

Aula 15 – Experimentos e espaco amostral

Objetivos

Nesta aula vocei dentificara os componentes de um experimento aleatorio ei dentificara seu espaco amostral. Pre-requisitos: aula 14.

Introducao

Como vimos na aula 14, experimentos aleatorios sao aqueles que, mesmo quando realizados em identicas condicoes, podem apresentar variacoes nos seus resultados. Queremos formular uma teoria matematica que descreva o experimento estudado. O primeiro passo no desenvolvimento de uma teoria matematica e construir um modelo matematico. Esse modelo sera usado para predizer os resultados do experimento. Nesta aula definiremos os elementos iniciais, necessarios para a construcao do nosso modelo probabilıstico.

O conjunto formado pelos resultados possıveis de um experimento ale- atorio e chamado de espaco amostral. Vamos representa-lo por Ω.

Ω( omega) ea ultima letra do alfabeto grego. Os sımbolos ω e Ω representam oomega minusculo e maiusculo, respectivamente.Exemplo 3

Consideremos o experimento de lancar um dado e observar o numerod af ace de cima. Sabemos que os unicos resultados possıveis sao 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Para este experimento temos, entao, Ω = {1,2,3,4,5,6}.

Exemplo 4

Vamos supor, agora, que jogamos uma moeda e observamos a face de cima. Podemos indicar o espaco amostral desse experimento por Ω = {K,C}, onde K indica cara e C indica coroa.

Exemplo 5

Para o experimento “lancar uma moeda duas vezes e anotar o par de faces de cima”temos o seguinte espaco amostral: Ω = {(K,K),(K,C),(C, K),(C, C)}.

Lembre-se de que, para identificar o espaco amostral de um certo experimento, devemos levar em conta as duas atividades que o caracterizam:

– a operacao realizada, e - o que queremos observar.

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Compare os dois exemplos a seguir.

Exemplo 6

Seja o experimento “lancar uma moeda quatro vezes e anotar a sequencia de faces observadas”. O espaco amostral Ω e formado por todas as possıveis quadruplas de resultados:

Ω= {(K,K,K,K),(K,K,K,C),, (K,C,C,C),(C,C,C,C)} .

Neste caso, #Ω = 24 = 16, isto e, existem 16 resultados possıveis.Estamos usando o Princıpio Multiplicativo, que estudamos na aula 6.

#Ω le-se cardinalidade de Ω. Os ımbolo #, precedendo o nome de um conjunto, indica a cardinalidade (numero de elementos) desse conjunto.

Exemplo 7

Considere o experimento “lancar uma moeda quatro vezes e anotar o numero de caras obtido”. Neste caso, o espaco amostral eΩ = {0,1,2,3,4} e# Ω=5.

Os exemplos 6 e 7 consistem em experimentos com a mesma acao, mas com a observacao de resultados distintos.

Exemplo 8

Consideremos o experimento que consiste em lancar dois dados e anotar o par de numeros resultantes. Para identificar seu espaco amostral, podemos pensar que o primeiro dado e rosa e que o segundo dado e branco. Teremos, entao diferentes resultados se forem observados 2-branco seguido de 3-rosa ou 3-branco seguido de 2-rosa. O diagrama abaixo fornece uma representacao grafica dos elementos de Ω:

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Por exemplo, o par (5,2) eas ituacao da figura a seguir.

com i =1 ,,6e j =1 ,...,6. Podemos dizer que
Ω= {(i, j) | i =1 ,, 6,j =1 ,... , 6} .

Sendo assim, os possıveis resultados sao todos os pares ordenados (i,j),

Exercıcios

1. Deo espaco amostral de cada um dos experimentos a seguir:

(a) Lancar duas moedas e anotar o par de faces de cima. (b) Lancar duas moedas e anotar o numero de “caras”.

(c) Lancar duas moedas e anotar se os resultados sao iguais ou diferentes.

(d) Jogar um dado duas vezes e anotar a sequencia de numeros observados.

(e) Jogar um dado duas vezes e anotar a soma dos numeros obtidos. (f) Jogar um dado duas vezes e anotar o produto dos numeros obtidos.

(g) Jogar um dado duas vezes e anotar o numero de ocorrencias de numeros primos. Um numero natural ep rimo quanto e diferente de 1 e soe divisıvel por 1 e por ele mesmo.

(h) Selecionar, ao acaso, 3 lampadas a partir de um lote e observar se cada uma e defeituosa (d) ou perfeita (p).

(i) Anotar se um cliente, ao fazer um pedido numa lanchonete, escolhe sanduıche (s), batatas fritas (b), os dois (d) ou nenhum dos dois (n).

(j) Perguntar a fregueses num supermercado se gostam (s) ou nao (n) de um certo produto e registrar suas respostas.

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Espaco Amostral

Oe spaco amostral representa, na Teoria das Probabilidades, o mesmo papel que o conjunto universo representa na Teoria dos Conjuntos. Importante Conjunto Universo foi estudado na aula 3. ressaltar que estudaremos, apenas, experimentos cujos espacos amostrais sao finitos. Um exemplo de experimento aleatorio cujo espaco amostral e infinito eaa cao de escolher uma pessoa ao acaso, numa multidao, e medir sua altura. Podemos tentar limitar os valores possıveis, digamos, entre 0,30 e 3 metros, mas, de qualquer forma, ainda terıamos uma quantidade infinita de valores possıveis. A altura pode ser qualquer numero real dentro de um certo intervalo.

Quando considerarmos um experimento composto de mais de uma acao, por exemplo,

–l ancar um dado duas vezes e anotar o par resultante; –l ancar um dado seguido de uma moeda e anotar o par obtido;

– retirar duas cartas de um baralho de 52 cartas e observar os naipes etc., oP rincıpio Multiplicativo seram uito util no calculo do numero de elementos do espaco amostral. As vezes nao e necessario descrever o espaco amostral, sendo suficiente, para o calculo das probabilidades, conhecer sua cardinalidade, isto e, qual o numero de elementos de Ω.

Exemplo 9

Consideremos o experimento “lancar uma moeda e um dado e anotar o par de resultados”. Sabemos que para o lancamento da moeda ha dois resultados possıveis: cara e coroa. Para o dado, sao seis as possibilidades: 1,2,3,4,5,6. Pelo Princıpio Multiplicativo, temos um total de 2×6 = 12 elementos em Ω.

(k.1)

(k.6)

(k.5)

(k.4)

(k.3) (k.2)

(c,1)

(c,6)

(c,5) (c,4)

(c,3) (c,2) lançamentoda moedalançamentodo dado resultados possíveis (elementos de r) k: cara c: coroa

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Exemplo 10 Quantos sao os resultados possıveis na loteria esportiva?

Solucao:

A loteria esportiva e composta de 13 jogos. Para cada jogo, ec laro, sao possıveis tres resultados, que se traduzem em “coluna da esquerda”, “coluna

do meio”e “coluna da direita”. Logo, #Ω = 3 ×× 3| {z }

13 termos

Exemplo 1 Ol ancamento de tres dados possui 6 × 6 × 6 = 216 resultados possıveis.

Retirada com e sem reposicao

Quando realizamos um experimento em que retiramos algo mais de uma vez, devemos sempre observar se o objeto retirado eo u nao reposto antes da proxima retirada. Uma retirada com reposicao eu me xperimento diferente de uma retirada sem reposicao.

Op roximo exemplo mostra a diferenca que pode ocorrer quando uma retirada ef eita com ou sem reposicao.

Exemplo 12

Em uma urna ha 4 bolas numeradas de 1 a 4. Duas bolas sao retiradas, uma em seguida a outra, e seus numeros sao anotados. Deoe spaco amostral em cada caso:

1. as bolas sao retiradas sem reposicao;

2. a primeira bola ed evolvida a urna antes de se retirar a segunda bola. Solucao:

2. Como a primeira bola e devolvida, nas duas retiradas a urna contem o total inicial de bolas. Logo, neste caso,

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Exercıcios

2. Deo espaco amostral e sua cardinalidade, para cada um dos experimentos abaixo.

(a) Retirar uma bola de uma urna que contem bolas brancas e pretas e verificar sua cor.

(b) Jogar um dado duas vezes e anotar a sequencia de numeros obtidos.

(c) Jogar um dado tres vezes e anotar a quantidade de numeros pares obtidos.

(d) Jogar um dado duas vezes e anotar o produto dos numeros observados.

(e) Emu m loted e1 0 lampadas sabe-se que 4 sao defeituosas. As lampadas sao testadas, uma a uma, ate que todas as defeituosas sejam encontradas. Contar o numero total de lampadas testadas.

(f) Num conjunto de famılias com 3 filhos, descrever as possıveis sequencias dos sexos dos filhos.

(g) De um grupo de 5 pessoas (A,B,C,D,E), sorteiam-se duas, uma apos a outra, sem reposicao. E anotado o par obtido.

3. Determine o numero de resultados em cada um dos seguintes experimentos:

(a) Umd ado verde e umd ado vermelho sao lancados e e anotado o par de numeros obtidos.

(b) Umd ado verde e umd ado vermelho sao lancados e e anotada a soma dos numeros que aparecem.

(c) Sao feitos exames de sangue numa escola. O tipo de sangue (A, B, AB ou O)eap resenca ou ausencia do fator Rh (Rh+

Os tipos de sangue que formam o grupo ABO foram descobertos em 1901 por Karl Landsteiner. Sao 4 tipos: A, B AB e O, determinados, primordialmente, por dois antıgenos e dois anticorpos.

A combinacao desses 4 componentes determina o tipo individual de sangue: a presenca do antıgeno implica a usencia do anticorpo correspondente. O tipo A possui antıgeno A e nao possui o B. O Tipo B, o inverso disso. O tipo O nao possui antıgenos e o tipo AB possui os dois.

ou Rh−) de cada aluno sao anotados.

(d) Sao lancadas tres moedas e e anotada a sequencia obtida de caras e coroas.

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Frequencia relativa de um resultado

Como vimos anteriormente, a Teoria das Probabilidades se baseia nos aspectos de regularidade dos experimentos aleatorios. Vamos caracterizar melhor esses aspectos mencionados e responder a pergunta que fizemos na aula anterior: qual o significado de uma frase como “temos uma chance de 30% de ganhar um jogo”?

Se um experimento aleatorio e repetido uma certa quantidade de vezes, a frequencia relativa de um certo resultado do experimento ear azao entre o numero (m) de vezes que este resultado foi obtido e o numero (n)d e realizacoes do experimento.

Exemplo 13

Suponhamos que o experimento “lancar uma moeda equilibrada e observar a face de cima”foi realizado n vezes. A tabela abaixo mostra o numero de ocorrencias do resultado “cara”(m)e af requencia relativa de caras (m/n).

numero de lancamentos numero de caras frequencia relativa de caras (n) (m) (m/n)

Conforme o numero de lancamentos vai aumentando, a frequencia rela- tiva vai se aproximando de 0,5(= 12 ). Como o lancamento de uma moeda possui apenas dois resultados possıveis, sendo a moeda equilibrada, o valor

12 para o resultado “cara”atende ae xpectativad o bservador.

De uma forma mais geral, consideremos que um experimento e repetido, em condicoes identicas, um numero arbitrariamente grande de vezes. Suponha que, em n realizacoes desse experimento, um certo resultado E e observado m vezes. A fracao m/n ea frequencia relativa do resultado E apos n repeticoes do experimento.

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Resumo

Nesta aula vimos que todo fenomeno aleatorio tem um espaco amostral associado, que e o conjunto de resultados possıveis do experimento realizado. Aprendemos a identificar o espaco amostral de fenomenos aleatorios dados.

Vimos tambem que, quando realizamos um experimento aleatorio um grande numero de vezes, podemos definir a frequencia relativa de um resultado como sendo a razao entre o numero de ocorrencias desse resultado e o numero de vezes que repetimos o experimento.

O conceito de frequencia relativa e importante para definirmos probabilidade, mas veja que trata-se de um conceito empırico. Nao esperamos que voce realize um experimento (digamos, jogar um dado e anotar a face de cima) mil vezes ou mais, para concluir algo sobre a frequencia relativa de um resultado. Mesmo assim, o nosso “senso comum”, a experiencia adquirida na observacao do mundo e da natureza, nos permitem afirmar algo a respeito do que podemos esperar.

Exercıcios

4. Jogue uma moeda 50 vezes e anote o numero de ocorrencias de “coroa”. Calcule a frequencia relativa de coroa e a de cara.

5. A tabela abaixo indica as observacoes realizadas em 500 lancamentos de um dado:

Calcule a frequencia relativa de cada resultado possıvel nesse total de lancamentos.

6. Um dado el ancado repetidamente e os resultados observados estao listados na tabela abaixo:

Determine a frequencia relativa de cada resultado ao final desses lancamentos.

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7. Um anel circular e dividido em setores iguais, numerados, como indica a figura abaixo. No seu centro esta preso um ponteiro. Fazemos o ponteiro girar 500 vezes e anotamos, em cada tentativa, o numero do setor para o qual o ponteiro aponta quando para.

A tabela abaixo mostra a quantidade de vezes que cada setor foi assinalado pelo ponteiro. Calcule a frequencia relativa de cada resultado.

Auto-avaliacao

Vocen ao deve ter encontrado dificuldades para resolver os exercıcios propostos nesta aula. De qualquer maneira, se vocet eve duvidas em algum deles, releia a teoria, com calma, e tente novamente. Alguns experimentos descritos nos exercıcios fazem parte do nosso dia-a-dia. Se a duvida persistir, entre em contato com os tutores da disciplina.

Aula 16–E ventos MODULO 2 - AULA 16

Aula 16 – Eventos

Objetivos

Nesta aula voce aprendera a descrever os diversos eventos associados a um experimento aleatorio. Pre-requisitos: aulas 2, 3, 4,

Introducao

Na aula anterior, vimos que, em um mesmo experimento, podemos estar interessados em diferentes resultados (como nos exemplos 6 e 7 da aula 15). Nesta aula vamos caracterizar o conjunto de todos os possıveis alvos de nossa observacao na realizacao de um experimento aleatorio.

Consideremos o experimento “lancar um dado e anotar o resultado”.

Como vimos na Aula 14, o espaco amostral desse experimento e Ω= {1,2,3,4,5,6}.S e voce apostar na ocorrencia de um numero par, tera sucesso caso o resultado seja:

A e um subconjunto do espaco amostral Ω. Por isso, dizemos que A e um evento associado a esse experimento.

Um evento e qualquer subconjunto do espaco amostral.

Apos realizado o experimento, dizemos que ocorreu um evento E se o resultado observado for um elemento de E.

Vimos nas aulas 4 e 5 que um conjunto de n elementos possui 2n subconjuntos. Logo, um experimento cujo espaco amostral possua cardinalidade n admite 2n eventos distintos.

O conjunto vazio denomina-se evento impossıvel. Eu m evento que nunca ocorre, o evento E = ∅.

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O conjunto Ω denomina-se evento certo. Eu me vento que sempre ocorre, o evento E =Ω .

Os subconjuntos unitarios chamam-se eventos elementares (ou simples).

Eventos com mais de um elemento sao compostos de eventos elementares, por isso tambem sao chamados de eventos compostos.

Exemplo 14

Consideremos que uma moeda el ancada duas vezes e o par de resultados e anotado. Representando por K e C os resultados “cara”e “coroa”, respectivamente, sabemos que Ω = {(K,K),(K,C),(C,K),(C,C)}. Como #Ω = 4, ha2 4 = 16 eventos associados a Ω, que listamos abaixo, com uma possıvel interpretacao para cada um:

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