Baixe Usando o Winplot, da Escola à Universidade e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Química, somente na Docsity! Usando o Winplot, da Escola à Universidade (em desenvolvimento) Sérgio de Albuquerque Souza 31 de dezembro de 2004 1 O Winplot Sumário 1.1 Onde conseguir o Winplot ...ccccccccclccc 1.2 Instalando o Winplot ....ccccccl 1.2.1 Janela... 12.2 Ajuda ..... 1.3 Operações e Funções definidas do Winplot 1.3.1 As operações básicas ...ccccccccccc 1.3.2 Asconstantes ....ccccccccc 1.3.3 As funções básicas ...ccccccccccc 1.3.4 Funções trigonométricas e suas inversas . . cc ciclos. 1.3.5 Funções hiperbólicas e suas inversas . 1.3.6 Funções não tão elementares . .... 1.3.7. Função definida por várias sentenças 1.3.8 Observações gerais ...ccccccccl 2 Gráficos em 2D 2.1 Arquivo ..cccccclc 2.1.1 Abrir (CIA) cc 2.1.2 Novo (Ctl+AN) ..ccccccc 2.1.3 Salvar (CtrI+S) . cc clic 2.1.4 Salvar como (Ctrl+Shit+S) ..... 2.1.5 Imprimir (Ctrl+P) cc. 2.1.6 Formatar (Ctrl+P) . cc. 2.1.7 Selecionar Impressora... .Licccccccc 2.1.8 Copiar .. ciclista 2.1.9 Tamanho de Imagem... ..ccccccccccccs a 2.1.10 Copiar bitmap... ccccccclc 2.1.11 Senha ..lcccccccccc 2.112 Autor ..cccccccccl 2.1.13 Ajuda ..... 22 Equação ....cc.. 2.2.1 Explicitas (F1) 2.2.2 Paramétricas (F2). cc clic 2.2.3 Implícitas (F3) ..ccccccccccc 2.2.4 Polares (F4) LL clic 2.2.5 Ponto ..cccccccc e aee ee e 2.2.6 Segmentos ... 22.7 Reta... 2.2.9 Diferencial. ..clccccll voOovsvrIDOW 29 30 2.35 2.36 2.37 2.38 2.39 2.40 241 2.42 2.43 2.44 2.45 2.46 2.47 Definindo regiões sombreadas ...lccccccccccc a Exemplo sombreamento no plano (explicita) Definindo regiões sombreadas (implícitas) . Exemplo sombreamento no plano (implicita) Janela do Inventário ...ccccccccccccc re Janela do Inventário (duplicar) ...cccccccccccccscta Janela da tabela do inventário . . ..cccccccccccccc a Janela modificando o parâmetro da tabela... cccccccccco Definindo família de curvas. . cc... Exemplo de família de curvas .. cc... Exemplo da derivada de uma curva ..... Definindo as propriedades do diagrama . ..ccccccccccccs Exemplo da derivada de uma curva ...cccccclcccccc 34 35 36 37 37 38 38 39 39 40 4 4 42 CapíÍTULO 1 O Winplot O objetivo desse texto é introduzir os conceitos e as ferramentas básicas do programa Winplot, que é um excelente ferramenta computacional, extremamente eficiente, para fazer gráficos de duas dimensões (2D) e em três dimensões (3D) de maneira bastante simples e, diria até, intuitivo. Além da explicação dos elementos contidos no Winplot com exemplos existem também exercícios propostos nos níveis básico, médio e alto cabendo ao leitor a tentativa de executá-lo e logicamente entendê-los. A utilização desse software é motivado por cinco pequenos motivos: É gratuito! - Foi desenvolvido pelo Professor Richard Parris ”Rick”!, da Philips Exeter Academy, por volta de 1985. Escrito em C, chamava-se PLOT e rodava no antigo DOS. Com o lançamento do Windows 3.1, o programa foi renomeado para ” Win- plot”. A versão para o Windows 98 surgiu em 2001 e foi escrita na linguagem de programação C++. E de simples utilização - pois os menus, são bastante amigáve: “ajuda” (ver 1.4) em todas part: modo natural. , existe a opção de do programa e aceita as funções cos Exemplo 1.1 Para escrever = dobro do valor « multiplicado pelo cosseno 5 5 de x dividido por 5, basta digitar 2xcos(Pi)/5. É muito pequeno e portável - se comparado aos programas existentes hoje em dia, pois menos de 600Kb, cabe em um disquete e roda em sistemas Windows 95/98/ME/2K/XP. Existe uma pretensão de colocá-lo também nos sistemas GNU-Linux, mas roda com E sempre atualizado - por exemplo a última versão foi atualizada (compilada), até a edição deste material, em 06 de dezembro de 2004. Está também em português - onde o trabalho de tradução resultou da iniciativa e empenho de Professor Adelmo Ribeiro de Jesus? e com a participação nas vers mais recentes do Professor Carlos César de Araújo*. trparri eter.edu 2adelmo.je aQgregosetroianos.mat br dunifacs.br 1.1 Onde conseguir o Winplot A página oficial do Winplot, bem como de toda a família (de programas) do projeto Peanut Software são: Peanut Software Homepage (http://math.exeter .edu/rparris/): página princi- pal. Winplot (http://math.exeter.edu/rparris/winplot .html). Wingeon (http://math.exeter .edu/rparris/wingeom.html): é para construções ge- ométricas em duas e três dimensões. Os desenhos podem ser destacados e animados em uma variedade das maneiras. Winstats (http://math.exeter .edu/rparris/winstats html): tratamento gráfico para dados estatísticos. Winarc (http://math.exeter.edu/rparris/winarc.html): programa com alguns jo- gos matemáticos. Winfeed (http://math.exeter.edu/rparris/winfeed.html): programa para gerar fractais. Windisc (http://math.exeter.edu/rparris/windisc.html): programa para mate- mática discreta, aproximações. Winlab (http://math.exeter .edu/rparris/winlab.html): inclui atualmente oito sub- programas: seções cônicas, polígonos da estrela, uma utilitário para encontrar raízes de funções elementares, visualização 2D, gráficos funcionais aleatórios para que os estudantes à identifiquem. Winmat (http://math.exeter.edu/rparris/winmat .html): permite que o usuário calcule e edite matrizes, e resolvem problemas lineares padrão da álgebra. Wincalc (http://math.exeter .edu/rparris/wincalc.html): calculadora de alta preci- são do inteiro, para números com milhares de dígitos. Existe também uma excelente página, mantida pelo Professor Carlos César de Araújo, onde se encontram vários arquivos e textos relacionados com assuntos matemáticos: http://www.gregosetroianos.mat.br/ 1.2 Instalando o Winplot Após baixar o programa wppr32z.exe! da internet, basta salvá-lo em um diretório qualquer e a partir do gerenciador de arquivos, dar um duplo clique no referido arquivo, começando o processo de descompactação do arquivo. Escolha um diretório, caso não queira o padrão c:Ypeanut e clique no botão Unzip (figura 1.1). Note que o resultado final dessa operação será apenas um único arquivo wplotpr . exe, com aproximadamente 1,30 Mb de tamanho, no diretório escolhido anteriormente. Para facilitar futuros acessos ao programa, deve-se criar links do Winplot, na área de trabalho do computador, por exemplo, bastando para tanto, que a partir do gerenciador de arquivos, se dê um clique com o botão do lado direito do mouse e arraste até a área de trabalho do seu Windows. Pronto o link já está criado e pronto pra ser usado. Para começar a utilizar o Winplot basta clicar no link, ou no programa, duas vezes, aparecendo na tela a figura 1.2. inttp://math.exeter.edu/rparris/peanut/wppr32z.exe 6 1.3.1 As operações básicas no Winplot | descrição | na matemática a+b adição entre os valores de a e b a+b a—b subtração entre os valores de a e b a—b axbou ab | multiplicação entre os valores de a e b ab a/b divisão entre os valores de a e b E an a elevado a potência b a? 1.3.2 As constantes na matemática. no Winplot | descrição pi valor 3,141592654 x e valor 2,718281828 e deg fator de conversão de radianos para graus = ninf representa menos infinito —00 pinf representa mais infinito oo 1.3.3 As funções básicas no Winplot [ descrição I na matemática. abs(a) valor absoluto de «x, ou módulo de x sart(a)? raiz quadrada de x log(a) logaritmo de «x na base 10 log(b, x) logaritmo de x na base b In(x) logaritmo natural de x r exp(a) exponencial de x e” 1.3.4 Funções trigonométricas e suas inversas no Winplot I descrição | na matemática. sin(x) seno de x sen 1 cosseno de x cos q tangente de x tan x cossecante de x cosec 1 secante de 7 seca cotan x cotangente de x arco seno de x arcsin x arco cosseno de x arccos x arctan(a) arco tangente de x arctan x arccot x arccot(az) | arco cotangente de x 1.3.5 Funções hiperbólicas e suas inversas no Winplot | descrição | na matemática sinh(a) seno hiperbólico de x sinh x cosh(x) cosseno hiperbólico de x cosh x tanh(x) tangente hiperbólica de x tanh x coth(a) cotangente hiperbólico de x coth x argsinh(x) arco seno hiperbólico de x arc: argcosh(a) arco cosseno hiperbólico de x arc: argtahn(a) | arco tangente hiperbólico de x arc argcoth(a) | arco cotangente hiperbólico de x arccoth «x 1.3.6 Funções não tão elementares no Winplot | descrição na matemática n! n fatorial n! int(x) parte inteira do x frac(x) parte fracionária do x a — int(x) floor(x) maior inteiro menor que x ceil(a) menor inteiro maior que x root(n, x) raiz n-ésima de x pow(n,x)º n-ésima potência de x iter(n, f(x)) n-iterado de f(x), n vezes HETC LM F(a))...))) abs(x,y) norma do vetor à = (x,y) V2+9? abs(x,1,2) norma do vetor b = (x,y,2) v2++2? arg(x,y) ângulo polar entre —x e 7 mazx(a, ,..) o valor máximo entre a, b, ... minta,b,..) o valor mínimo entre a, b, ... mod(x,y) az mod y sgn(x) sinal de « (-1,0 ou 1) 1+: C hus(a) função Heaviside tanto) erf(a) função erro padrão , ! binom(n,r) combinação den r a r AR n=b sum(b, f(n,x)) | somatório de f(n, x) paran = 1 até b >” Hn,a) EE prod(b, f(n,x)) | produtório de f(n,x) para n = 1 até b HI Fn,x) n=1 rnd(x) valor aleatório entre —x e q gauss(x) o 27 gamma(a) função gama de x T(ax) 10 1.3.7 Função definida por várias sentenças f(x) se u<c g(x) se c<xu<d e join(fle, gld,....h)= h(x) se v>d e joint(flc. gld.....h) é definida de forma análoga à joinx, só que para funções que dependem de um parâmetro t. e chi(a,b, x) a função característica do intervalo [a, b], que atribuirá valor 1 se x estiver entre a e b, e O caso contrário. 1.3.8 Observações gerais Vale esclarecer que 2” é calculado através o uso de logaritmos, pela fórmula e"? a qual requer que x seja positivo. O decodificador procura constantes inteiras no expoente quando a definição é editada, mas não há nenhuma verificação durante a representação gráfica para ver se um expoente variável está (próximo a) um inteiro. É conseqiientemente necessário supor que a base é positiva em uma expressão do tipo a”. Usando o pow(n, x) se evita esta convenção, porque aqui n é sempre avaliado como um inteiro (que se arredonda, se necessário). Qualquer letra pode ser usada como uma variável numérica e receber um valor es- pecífico a qualquer hora. Por exemplo, axa + ba + c representa uma função quadrática padrão, cujos coeficientes podem ser modificados. Qualquer conjunto de letras e números serão tratados como um produto de constantes e variáveis, caso este não se encontre na biblioteca de nomes de função. A tradução inicia- se no final esquerdo de cada conjunto. Embora xpi seja lido como x * pi, o conjunto pia: será interpretado como px ix a. Maiúsculas e minúsculas não são diferenciadas. Colchetes, chaves e parênteses podem ser usados como símbolos de agrupamento. Espaços serão ignorados. Você pode adicionar novas funções à biblioteca. A cada entrada deverá ser dada um nome e depois definida, como uma função de x, ou como uma função de x e y. Marque o botão apropriado antes de pressionar Enter. O programa checa se o nome é novo e se a fórmula faz sentido, depois adiciona ele à lista. n EE Figura 2.3: Formatar a impressão A largura (espessura) da imagem é também especificada em centímetros e a altura da imagem é determinada pela largura e pelo formato da janela. A opção moldura se estiver selecionada, desenha uma linha ao redor da figura. A opção impressora a cor deve ser selecionada se, e somente se, a sua impressora for colorida, pois caso contrário, pode acontecer coisas estranhas. 2.1.7 Selecionar Impressora Escolher a opção Selecionar Impressora... faz aparecer a janela (figura 2.4). Configurar página BA [210 x 297 mm] Figura 2.4: Configurar a impressão Nessa janela, podemos escolher o tamanho e a origem do papel, bem como a ori- entação, ou seja, retrato ou paisagem, bem como também as margens esquerda, direita, superior e inferior em milímetros do papel. O botão impressora, serve para a escolha da impressora. 14 2.1.8 Copiar Clique em Copiar se desejar colar a figura atual para outro programa do Windows, usando para tanto o formato .WMF (Windows Metafile), que é um formato vetorial que pode ser facilmente utilizado em editores de texto. Se desejar incluir cor de fundo selecione com Cor de fundo. 2.1.9 Tamanho de Imagem... Para modificar o tamanho da figura e conseqientemente o da janela, basta escolher a opção Tamanho de Imagem, o que faz aparecer a janela (figura 2.5), onde tem as opções de espessura e altura em centímetros. tamanho do desenho espessura [em] 80 altura (em) 72 Figura 2.5: Tamanho da imagem Quando impresso ou copiando a tela, as proporções são mantidas, por isso não há problema em imprimir uma janela grande a partir de uma imagem pequena. O problema é com o texto, que não é escalonado pelo processo de impressão, portanto pode parecer desproporcional, a menos que se ajuste o tamanho da janela com tamanho para a impressão. 2.1.10 Copiar bitmap A figura pode ser copiada como .BMP (Bitmap, mas colar esta imagem em um outro documento aumentará muito o tamanho de seu arquivo. Note que ao se fechar o programa a imagem será perdida como informa a figura 2.6 Lui! imagem perdida ao fechar janela Figura 2.6: Copiar como bitmap 2.1.11 Senha Você pode inserir uma senha para o arquivo, antes de salvá-lo, como mostra a figura 2.7. Com isso é possível controlar o que outros usuários podem fazer com seu arquivo. Pode-se proteger o acesso ao inventário!, ao caderno? e proteger contra a gravação ou mudança de nome do arquivo. Note que aparecem seis áreas onde são colocadas respec- tivamente 1Onde são guardadas as 2Onde são guardada: as equaçã as anotaçã as e senha: uma senha escolhida; e confirmar: confirmação da senha digitada no passo anterior; e autor: nome do autor do arquivo; ed data do arquivo; e e-mail: correio eletrônico do autor e e homepage: endereço do sítio na internet do autor. senha [uy confirmar | mma proteger salvar/renomear 7. inventário cademo mostrar data de gravação 1 autor [Sérgio de Albuquerque Souza data 20/08/2004 email [sergoBmatuipo br homepage [eve matuipb.br?"sergia remover Figura 2.7: Alteração da senha e do autor Note que se o arquivo está com alguma proteção, aparecerá na janela do Windows, no canto superior esquerdo, o nome do arquivo acompanhado do sinal + (ver figura 2.9 página 17). 2.1.12 Autor Esta opção será ativada se o autor do arquivo protegido incluiu informações e seus contatos e o resultado dessa opção será a figura 2.8. autor Sérgio de Albuquerque Souza 05/08/2004 sergio(êmat utpb. br ev mat ulpb bri“ sergio Figura 2.8: Informações do autor 21.13 Ajuda Esta opção abrirá uma janela com um texto que ajudará em relação às opções do menu no qual está se trabalhando. 16 Figura 2.12: Exemplo do gráfico da função f(x) = a? — 2 2.2.2 Paramétricas (F2) Uma curva na forma paramétrica, ou seja, a curva é definida pelos pontos (x,y) = (f(t), 9(t)) em R2, onde t é o parâmetro de variação do ponto sobre a curva. Para definir essa curva, basta escolher essa opção ou teclar F2, surgindo a seguinte janela (figura 2.13). COMECE) HE) = [3cos/3t) fltJ=[Scos(3t) glt)= [Ssinf4t) alt) = [Bsin(4t) polar polar tmn [000000 Emi fo. 00000 tmêx [314159 tmãx [314153 espessura da linha Ho espessura da linha po densidade de plotagem po densidade de plotagem po F eolcarsetaemt= [Al4i5s | f7eomcarsctaemt= [BlAISS tamanho daseta [10 tamanho daseta [10 cor | torância do passo [0.00 cor | tolerância do passo [0.00 ok | canos] ajuda | ok | cancelar) ajuda | Figura 2.13: Definindo uma função paramétricamente Nesta janela, deve-se digitar expressões para f(t) e g(t) que definem a curva e escolher: e polar: marque esta opção para entrar com as equações paramétricas no sistema. polar, dadas por equações que definem p e 8 em função de um parâmetro t; e t mín: o t mínimo do intervalo para as funções f(t) e g(t), o domínio padrão é de [0,27]; 19 e t máx: o x máximo do intervalo para as funções f(t) e g(t): e espessura da linha: (padrão é 1) serve para engrossar a curva (x,y) = (F(t), g(t)); e densidade de plotagem: (padrão é 1) ao aumentar a densidade dos pontos a veloci- dade de desenho do gráfico diminuirá, mas pode ser útil caso a curva pareça muito poligonal. e colocar seta em t: marque esta opção para desenhar uma seta no ponto definido pelo parâmetro t; e tamnaho da seta: especifica o tamanho da seta; e tolerância do passo: (padrão é 1) serve para impedir que o programa ligue os pontos para algumas funções (int, floor, ceil, por exemplo) que mudam bruscamente (sal- tam) de um nível para outro, as operações gráficas são suspensas quando o passo definido está bem próximo a um ponto de descontinuidade. Se o programa está ligando pontos em uma descontinuidade, a tolerância (que é medida em pixels) está colocada muito baixa; e cor: serve para escolher uma das 24 cores para a curva (ver figura 2.11 página 18). Exemplo 2.3 Neste exemplo (ver figura 2.14), foi utilizado f(t) = 3cos(3t) e g(t) = 3sin(4t) no intervalo [0,7] na cor vermelha com espessura igual a 2 e outra curva na cor Figura 2.14: Exemplo do gráfico da curva (3cos(3t), 3sin(4t)) Exercício 2.3 (Médio) Fazer o gráfico da circunferência em coordenadas cartesianas e polares, usando as funções paramé s. Exercício 2.4 (Alto) Fazer o gráfico da reta bissetriz entre os ei: nadas cartesianas e polares, usando as funções param x ey em coorde- 20 2.2.3 Implícitas (F3) Para funções definidas implicitamente, ou seja dada através de uma equação, como por 2 exemplo ç +y? = 1, são desenhadas por um método especial, pois o programa procura aleatoriamente por um ponto inicial que satisfaça a equação e uma vez que este ponto é encontrado, a curva a partir deste ponto é desenhada, ao se calcular numericamente certas equações diferenciais. Tendo em vista que o gráfico desenhado pode não ser conexo (não ter um só pedaço), o programa demora mais tempo procurando por mais pontos iniciais. Se você desejar parar a busca dos pontos, basta pressionar S (Sair) para parar sair da busca. Para traçar essa curva, basta escolher essa opção ou teclar F3, surgindo a seguinte janela (figura 2.15). TT busca longa co D olhar espessura da linha [2 FP jironteira cancelar ajuda Figura 2.15: Definindo uma função implicitamente Nesta janela, deve-se digitar as expressões para a equação e escolher: e busca longa: marque esta opção para encontrar mais pontos iniciais e para sair da busca, tecle S (Sair); e cor: serve para escolher uma das 24 cores para a curva (ver figura 2.11 página 18). e olhar: marque esta opção visualizar a realização do gráfico da curva, esta opção torna-o mais lento, porém é bastante didático (tecle S para sair); e espessura da linha: (padrão é 1) serve para engrossar a curva; e fronteira: marque esta opção para a busca ficar restrita a região visualizada do plano R2, deixando-o mais rápido. 2 Exemplo 2.4 Neste exemplo (ver figura 2.16), foi utilizado a equação E + =1 na cor vermelha com espessura igual a 2. Exercício 2.5 (Médio) Fazer o gráfico da circunferência e da reta bissetriz entre os eixos x ey. Exercício 2.6 (Alto) Fazer o gráfico dos pontos eqúid a? ntes ao ponto (1,1) e ao eixo x. Que curva é 2.2.4 Polares (F4) Para definir a curva polar p = f(0) basta escolher esta opção ou teclar F4, surgindo a seguinte janela (figura 2.17) onde a letra t representa o ângulo polar 6 em radianos. Nesta janela, deve-se digitar a expressão para a curva polar p = f(0) e escolher: 21 Após definir o par (x,y), pode-se escolher outras visualizações do ponto alterando as seguintes opções: e tamanho do ponto: (padrão é 2) serve para definir o “tamanho” que o ponto será visualizado; e cor: serve para escolher uma das 24 cores para a curva (ver figura 2.11 página 18). e sólido ou circulo: para visualizar o ponto cheio ou apenas o circulo; e âncora: marque esta opção para desenhar as duas projeções ortogonais sobre os eixos coordenados; e pontilhado: se a opção âncora estiver marcada, serve para desenhar as duas projeções com linhas pontilhadas. (rst)... Esta opção serve para marcar um ponto nas coordenadas polares (p,0) E R2, mos- trando uma janela (figura 2.20), com as seguintes opçõe ET tamanho do ponto [3 E E sólido O cielo MT âncoras FT pontilhado FF exibirarcos 7 pontilhado cancelar | | ajuda Figura 2.20: Definindo um ponto em coordenadas polares Após definir o par (r,t) = (p,0), pode-se escolher outras visualizações do ponto alte- rando as seguintes opções: e tamanho do ponto: (padrão é 2) serve para definir o “tamanho” que o ponto será visualizado; e cor: serve para escolher uma das 24 cores para a curva (ver figura 2.11 página 18). e sólido ou circulo: para visualizar o ponto cheio ou apenas o circulo; e âncora: marque esta opção para desenhar as duas projeções ortogonais sobre os eixos coordenados; e pontilhado: se a opção âncora estiver marcada, serve para desenhar as duas projeções com linhas pontilhadas; e exibir arcos: marque esta opção para visualizar o ângulo polar e o módulo; e pontilhado: se a opção exibir arcos estiver marcada, serve para desenhar as linhas pontilhadas. 24 lista... Esta opção serve para marcar um ponto ou vários pontos nas coordenadas cartesianas ou polares, a partir de uma lista de pontos da memória, ou a partir de uma regra definida pelo usuário, tendo as seguintes opções (ver figura 2.21: ERES É sólido É cireuo tamanho [3 T âncoras [” pontihado cor T esibirarco [ pontihado e | É ley] EE E colar flsta JN =] de/3 ateja =[n/2 y=[15 plotar fechar Figura 2.21: Definindo ponto(s) a partir de uma lista e sólido ou circulo: para visualizar o ponto cheio ou apenas o circulo; e tamanho: (padrão é 2) serve para definir o “tamanho” que o ponto será visualizado; e âncora: marque esta opção para desenhar as duas projeções ortogonais sobre os eixos coordenados; e pontilhado: se a opção âncora estiver marcada, serve para desenhar as duas projeções com linhas pontilhadas; ibir arcos: marque esta opção para visualizar o ângulo polar e o módulo; e pontilhado: se a opção exibir arcos estiver marcada, serve para desenhar as linhas pontilhadas; e cor: serve para escolher uma das 24 cores para a curva (ver figura 2.11 página 18); e (x,y) ou (r,t): para optar entre coordenadas cartesianas ou polares; e colar: colar da memória (clipboard)! onde cada campo numérico é interpretado como uma coordenada; e lista: se marcado, mostrará uma lista de pontos definidos pelo usuário com a va- riação de um parâmetro inteiro (padrão N) e pela definição do ponto de acordo com essa variável e variando de à até. Exemplo 2.6 Neste exemplo (ver figura 2.22), foi utilizado: e o ponto (2,1) em coordenadas cartesianas, tamanho 3, na cor vermelha, do tipo sólido e com âncoras sólidas; “Deve: os númer: » pe sedimento Copiar/Colar do Windows tom O pro! e o ponto (—-2,1) em coordenadas polares, tamanho 3, na cor azul, do tipo sólido e com âncoras pontilhadas; e os pontos definidos pela regra (N/2,1.5) com N variando entre —3 e 3, em coorde- nadas cartesianas, tamanho 3, na cor vermelha, do tipo circulo e sem âncoras. Figura 2.22: Exemplo de pontos no plano Exercício 2.8 (Médio) Encontrar todos os pontos simétricos do ponto (2,1) em relação aos eixos nas coordenadas cartesianas e polares. Exercício 2.9 (Alto) Fazer uma lista de 10 pontos que dê a noção sob a circunferência centrada na origem e de raio 1 nas coordenadas cartesianas e polar: 2.2.6 Segmentos De maneira análoga ao de se marcar dois pontos, tem-se também a possibilidade de se marcar segmentos em coordenadas cartesianas ou polares, para tanto basta escolher as coordenadas dos pontos inicial e final do segmento. (6,7)... Esta opção serve para marcar um segmento nas coordenadas cartesianas definidas pelos ponto (171.1) e (x»,y>) como mostrando uma janela (figura 2.23), com as seguintes opçõe: Após definir os pares de pontos (71,11) e (x»,y>), pode-se escolher outras opçõe: e espessura da linha: (padrão é 2) serve para definir o ” largura” que o segmento será visualizado; e cor: serve para escolher uma das 24 cores para a curva (ver figura 2.11 página 18); e pontos: se marcado, criará os pontos extremos do segmento definido; e sólido ou pontilhado ou tra tracejado. ado: para visualizar o segmento cheio, pontilhado ou 26 Figura 2.27: Exemplo de retas no plano 2.2.8 Recursiva Esta opção proporciona uma maneira de desenhar um sequência de pontos, onde a cursividade diz como cada ponto é obtido através do ponto anterior (ver figura 2.28). movos= [| rabsfa)y novou= |» T” conectar pontos limite da tela cancelar ajuda Figura 2.28: Definindo pontos recursivamente e novo x: coloque a expressão de como conseguir o valor de x em relação aos valores de x e y obtidos anteriormente; e novo y: coloque a expressão de como conseguir o valor de y em relação aos valores de x e y obtidos anteriormente; e conectar pontos: para conectar os pontos da sequência; ncia será os limites de visua- imite da tela: se estiver marcada, o domínio da seg lização do plano, pois a sequência pode ultrapassar a mesma. Quando você clicar nada irá mudar na tela porque a recursividade não é definida até que um ponto inicial seja definido. Este é um problema de valor inicial que será tratado mais adiante na subseção 2.5.1 na página 40. 29 2.2.9 Diferencial Esta opção serve para visualizar um campo de direções do tipo: dy/dx di Para ver o campo definido pela equação Rm F(x,y) deve-se colocar a função F (x,y) e escolher as opções (ver figura 2.29): campo O semgrade (inclinações comprimentos [1.5 cor colunas horizontais [20 espessura da linha [1 Pê fronteira cancelar | | ajuda Figura 2.29: Definindo um campo de direções para dy/dx e campo sem grade ou inclinações: serve para definir se será exibido ou não as inclina- ções do campo; e comprimentos e colunas horizon: servem para definir o tamanho e a quantidade de segmentos exibidos caso a opção inclinação estiver selecionada; e cor: serve para escolher uma das 24 cores para o campo de direções (ver figura 2.11 página 18); e espessura da linha: (padrão é 1) serve para definir o “largura” que os segmentos serão visualizados. e fronteira: caso deseje que o programa interrompa o processo da curva solução quando ultrapassar o limite da tela. As curvas soluções da equação (as trajetórias) são selecionadas no ítem que será descrito na subseção 2.5.2 na página 40. dx/dt di Para ver o campo definido pelas equações — = f(x,y.t) e o g(x,y.t), que dependem de t assim como de x e y, deve-se definir as função xº = Hay, tey =g(x,y.t) bem como escolher as opções (ver figura 2.30): e sem grade ou inclinações ou vetores: serve para definir se será exibido ou não as inclinações do campo ou os vetores do campo; : servem para definir o tamanho e a quantidade estiver selecionada; e comprimentos e colunas horizon: de segmentos exibidos caso a opção in. naç 30 ey 2 campo € semgrade & inclinações O vetores comprimentos [15 cor colunas horizontais [20 densidade [1 espessura da linha [i T resmiçãos T dependente do tempo 7 fronteira cancelar ajuda Figura 2.30: Definindo um campo de direções para dx/dt e dy/dt e cor: serve para escolher uma das 24 cores para o campo de direções (ver figura 2.11 página 18); e densidade: (padrão é 1) ao aumentar a densidade dos pontos a melhora a eficiência da curva solução fazendo mais cálculos intermediários; e espessura da linha: (padrão é 1) serve para definir o “largura” que os segmentos serão visualizados; e restrição O ;: marque esta opção, caso queira colocar uma restrição à curva na forma O <r(x,y,t), ou seja a solução será interrompida quando não satisfazer essa condição; e depende do tempo: marque esta opção se o parâmetro t estiver presente na equação de definição. Isto afeta como o programa reage quando a curva solução retorna ao seu ponto inicial. e fronteira: caso deseje que o programa interrompa o processo da curva solução quando ultrapassar o limite da tela. As curvas soluções da equação (as trajetórias) são selecionadas no ítem que será descrito na subseção 2.5.3 na página 40. 2.210 Polinomial Esta opção serve para definir uma função polinomial, com grau máximo 8, que passa por determinados pontos, para tanto será exibida a janela no modo editar polinômio (ver figura 2.31), onde será dado inicialmente três pontos arbitrariamente. A opção Arquivo desta janela já foi detalhado em 2.1 na página 12. A opção Ver desta janela será detalhado em 2.3 na página 39. O botão esquerdo do mouse é usado para arrastar pontos (destacados) pela tela e botão direito para adicionar e/ou remover pontos. Na opção Edição existem as opçõ e Atributos: abre uma janela (ver figura 2.32) onde se define o nome do polinômio, o intervalo, a espessura da linha, a cor, o tamanho do ponto, a densidade dos pontos do mesmo modo que foram definidos para uma função explicita (ver 2.2.1 na página 31 ECR É acima É abaixo y = xx - fé ente ve x+ ” Jr intervalo def abaixo esquerdo [1 deito fi cor sombrear entrev=amey= +] E deletar um deletar todos fechar Figura 2.35: Definindo regiões sombreadas 2.212 Desigualdades explícitas Esta opção pode ser usada, caso tenha sido definida alguma função implícita (ver 2.2.3 página 21), para mostrar regiões delimitadas pelas as curvas das funções implícitas, como mostra a figura 2.37, selecione uma da primeira caixa e escolha as seguintes opções: e alterar = a ;j ou alterar = a ;: se clicado trocara a equação escolhida por uma inequação substituindo a igualdade pela desigualdade escolhida; e deletar um ou deletar todos: serve para apagar uma região de sombreamento (esco- lhida) ou todas as regiões definidas nos ítens anteriores. e lançar: serve para preencher a região com a geração do número indicado de pontos aleatórios uniformemente distribuídos”, pressione qualquer tecla para interromper o processo de geração dos pontos; e mostrar região ou mostrar pontos: mostra a região ou os pontos lançados. Exemplo 2.10 Neste exemplo (ver figura 2.38), foram utilizado as curvas «2 + > — 2 >+y=1ex-2y=0 e utilizados as seguintes regiões (inequaçõe. 3 eus! >1 2 3 Espe a tre ev—-2y= Exercício 2.16 (Médio) Exiba uma região delimitada entre duas circunferências dis- tintas e centradas na origem. Exercício 2.17 (Alto) Exiba uma região delimitada entre uma circunferências e uma elipse, centradas na origem e apenas no primeiro quadra: Se a região visível, a média coordenadas desses pontos lançados aleatoriamente, é uma apro- ximação do centróide dessa região. 34 Figura 2.36: Exemplo sombreamento no plano (explicita) 2.213 Inventário [Ctrl+HI] A janela do inventário aparece automaticamente depois que a primeira entrada é criada (ver figura 2.39) e permite que você veja e edite as entradas existentes e faça outras modificações e construções. Para selecionar um ítem clique sobre a entrada com o mouse, onde somente uma entrada pode ser selecionada por vez. Após selecionada a entrada (equação, ponto, função, etc) na janela, pode escolher, caso seja possível, as seguintes opções: e editar: este botão abre a caixa de diálogo usada para criar a entrada selecionada, onde é permitindo fazer as mudanças necessárias; e apagar: apaga a entrada selecionada do inventário e da tela. Não existe a opção de “voltar” para esta operação e todas as entradas que dependem da entrada apagada, serão apagadas, portanto muito cuidado; e dupl: este botão duplica a entrada selecionada e abre uma caixa de diálogo pergun- tando se quer apagar a original (ver figura 2.40); e copiar: a descrição da entrada é colocada na memória, use Ctrl+V para colar como texto em outro local, por exemplo no bloco de notas (notpad); e tabela: abre uma janela de texto (ver figura 2.41) que mostra valores utilizados da entrada selecionada. Você pode alterar o conteúdo do tabela escolhendo a opção parâmetros (ver figura 2.41), para tanto escolha mínimo e máximo para o parâmetro e o número de passos (subdivisões). Também pode ver tabelas para a próxima entrada escolhendo Arquivo/próximo no menu ou teclando F2; e mostrar gráfico: clique nesta opção para mostrar /ocultar, na janela principal, o gráfico da entrada selecionada; xx+yy/3=1 xx/I+yy=l x-2y=0 alterar = 3 < alterar = a > E! E xx tyy/3>1 xx/2+yy<l x-2y>0 deletar um deletar todos lançar | [ioooo pontos (e mosarregião O mostrar pontos EE * = 000029 “= o S m E El cor ajuda fechar Figura 2.37: Definindo regiões sombreadas (implícitas) e mostrar equa: clique nesta opção para mostrar /ocultar, na janela principal, a equação (os primeiros 60 caracteres) da entrada selecionada; e família: clique para converter a entrada em uma família de curvas (ou ponto: Para isto funcionar, deve ser definido uma entrada que contenha um parâmetro extra, veja o exemplo. Exemplo 2.11 Neste exemplo usaremos a função explicita y = vz +a que depende do parâmetro a. O parâmetro a será usado para criar uma família de curvas. Escolha a na caixa parâmetro, coloque o intervalo dos valores ao preencher as caixas mínimo e máximo e digite quantas curvas devem estar na família ao preencher a caixa passos(ver figura 2.43). Marque a opção olhar se quiser que o gráfico se, feito passo a passo com um tempo definido na caixa retraso. Clique em definir para completar o processo e ver o gráfico. Note a mudança no inventário para esse exemplo. Para desfazer esta construção, selecione a entrada e clique desdefinir. O procedimento acima é uma maneira de “animar”um gráfico, veja o resultado dessa família na figura 2.44. Ver 2.Y na página 41 para maiores informações sobre animação de gráficos. e nome: permite preceder a entrada por uma pequena descrição, por exemplo escrever função afim para a função y = ax +b, que será mostrado no inventário (ver figura 2.39), muito útil quando se tem muitas entradas; e derivar: clique neste botão para calcular a derivada da entrada selecionada. Esta opção de cálculo só se aplica para certos exemplos. O resultado é desenhado e adicionado no inventário. Uma derivada também pode ser selecionada depois. Você pode editar uma derivada, mas só os seus atributos (como cor, espessura, etc), nunca a definição. Exemplo 2.12 Neste exemplo usaremos a função explicita y = x na cor vermelha com espessura 2 e a sua derivada aparece na janela na cor azul e com espessura 1 (ver figura 2.45). 36 minimo [ooo másimo zo mumdepasos [50 cancelar Figura 2.42: Janela modificando o parâmetro da tabela parâmetro [a [4.0] mínimo Jó máximo [1 passos [IO RF olhar retiaso [50 definir desdefinir Figura 2.43: Definindo família de curvas Para alterar os valores das constantes, basta abrir a janela ANIM e escolher a cons- tante a ser alterada. Como por exemplo, vamos definir o gráfico da elipse xx/(AA)+yy/(BB)=1, dando a equação implicitamente, onde temos duas constantes A e B. Para de definir os limites máximo e mínimo das constantes, basta digitar no campo correspondente e clicar nos botões def R e def L, respectivamente, (R = right = direito e L = left = esquerdo). Para se observar um valor qualquer basta digitar o número e teclar |Enter;, ou com o mouse deslocar o botão do valor até atingir o valor desejado. A opção auto cícl e auto rev tem a finalidade de deixar a animação rodando, até que se digite S para sair da animação, onde o primeiro se repete indefinidamente, enquanto a segunda opção a animação ”vai e volta”. Na opção automostrar, você define quantos quadros (slides) deseja ve Veja o exemplo, abaixo onde estão definidos 10 quadros: 2.3 Ver Neste menu estão as opções relacionados com os arquivos, ou seja, ler, gravar, imprimir e etc. 2.3.1 Grade Ctrl+G Nesse caso estamos visualizando também, os setores polares, que é conseguido alte- rando na visualização da grade, obtida em Ver/Grade (Ctr1+G), como mostrado abaixo: Nessa janela pode se definir o que visualizar como: eixos, setores, marcas, setas, ta- manho das marcas, rótulos, qual quadrante, se vai ter grade e outros detalhes a mais, que são úteis, para melhor compreensão do gráfico. Nesta janela, deve-se digitar expressões para f(t) e g(t) que definem a curva e escolher: 39 Figura 2.44: Exemplo de família de curvas 2.4 Bnts = Botões Neste menu estão as opções relacionados com os arquivos, ou seja, ler, gravar, imprimir e etc. 2.5 Um Neste menu estão as opções relacionados com os arquivos, ou seja, ler, gravar, imprimir e etc. 2.5.1 Seqgiiência... 2.5.2 Trajetória dy/dx... A curva solução, que é desenhada da esquerda para a direita, pode ultrapassar o limite da tela. Se você quiser que o programa interrompa o processo quando isto acontecer selecione “limite da tela”. 2.5.3 Trajetória dy/dt... 2.6 Dois Neste menu estão as opções relacionados com os arquivos, ou seja, ler, gravar, imprimir e etc. 40 Figura 2.45: Exemplo da derivada de uma curva web [xsin(x)] ponto inicial É constant [2 parâmetro [A passos [10 7 segmento inicial JM tlechas tamanho [10 cor definir desdefinir Figura 2.46: Definindo as propriedades do diagrama 2.7 Anim = Animação Neste menu estão as opções relacionados com os arquivos, ou seja, ler, gravar, imprimir e etc. 2.8 Misc = Miscelâneo Neste menu estão as opções relacionados com os arquivos, ou seja, ler, gravar, imprimir e etc. 4