vetores

vetores

(Parte 1 de 3)

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL

Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática

Cálculo Diferencial e Integral I

Vetores

Existem algumas grandezas que ficam completamente determinadas por apenas um número real, tais como comprimento, área, volume, temperatura. Essas grandezas são chamadas escalares.

Outras, no entanto, não ficarão bem determinadas se além da magnitude não são apresentados uma direção e um sentido. Essas grandezas são chamadas vetoriais e sua representação, de vetores. Temos como exemplo a velocidade, a aceleração, a força.

Geometricamente, podemos representar os vetores por segmentos de reta orientados (ou flechas). A direção e o sentido da flecha especificam a direção e o sentido do vetor e o comprimento da flecha determine a sua magnitude.

B – ponto final do vetor

A – ponto inicial do vetor

Se chamarmos o vetor de temos que .

Suponha que se está planejando um vôo de Porto Alegre ao Rio de Janeiro. O tempo que leva o vôo é uma grandeza escalar pois basta um número real para determina-la. Já o deslocamento é uma grandeza vetorial pois precisa-se saber a distância a ser percorrida ( de modo que se tenha combustível suficiente ) e em que direção ir ( para não se errar o destino ). Essas duas quantidades especificam o deslocamento ou vetor de deslocamento entre as duas cidades.

Podemos ter, entre vários pares de cidades, vetores deslocamento que têm o mesmo comprimento e a mesma direção. Dizemos que os vetores de deslocamento entre as cidades são os mesmos, embora não coincidam.

Cidade B Cidade D Cidade F

Cidade A Cidade C Cidade E

Os segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são ditos segmentos eqüipolentes e representam um mesmo vetor.

Assim sendo, o vetor determinado por um segmento orientado é o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento de e costuma ser representado por uma das seguintes formas: v , ou .

Módulo de um Vetor

O módulo de um vetor será representado por ou .

Vetor Nulo

Se os pontos inicial e final de um vetor coincidem, então o vetor tem comprimento zero e é chamado de vetor nulo ou vetor zero e denotado por .

Vetor Unitário

Se então é chamado vetor unitário.

Vetores Opostos

, chamado de oposto de é um vetor que tem mesmo módulo e mesma direção de mas sentido contrário.

Versor de um Vetor

O versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e sentido de .

Exemplo:

  • | | = 4

Vetores paralelos

Dois vetores e são paralelos, e indica-se // , se tiverem a mesma direção.

Observação

Se dois vetores são paralelos então possuem representantes numa mesma reta e são ditos colineares.

Vetores ortogonais

Dois vetores e são ortogonais, e indica-se , se algum representante de formar um ângulo reto com algum representante de .

Vetores Coplanares

Vetores coplanares são vetores que possuem representantes num mesmo plano.

Exemplo:

v

  • e são coplanares (e paralelos).

  • , e são coplanares.

  • , , e não são coplanares.

u

Observação

Dois vetores são sempre coplanares. Três ou mais vetores podem ou não ser coplanares.

1. Operações com Vetores

1.1 Adição de Vetores

+ é o vetor soma de e .

Se e são vetores paralelos então a representação geométrica do vetor soma será feita conforme mostram as figuras abaixo:

v

w

v

v + w

  • w

v

v

w

(Parte 1 de 3)

Comentários