Método de esboços de gráfico - cálculo

Método de esboços de gráfico - cálculo

1 GRÁFICOS

1.1 MÉTODO PARA O ESBOÇO DE GRÁFICOS

Nessa seção, vamos apresentar um método para o esboço do gráfico de funções cuja segundaderivadaé contínuanareta toda. Cadaetapaserá ilustrada aplicando o método à seguintefunção

Para determinar o esboço do gráfico nos intervalos onde f , f ′ e f ′′ não mudam de sinal, vamos utilizar a tabela dada pela Figura 1.1, obtida considerando a posição em relação ao eixo das abscissas, o crescimento e a concavidade.

(1) Determine os limites de f no infinito:

No nossoexemplo,temosque i Capítulo 1. Gráficos

Figura 1.1: Possibilidades de sinais e esboços de gráficos

(2) Obtenha as expressões de f ′ (x) e f ′′ (x)

(3) Obtenha os seguintes pontos notáveis de f :

No nosso exemplo,

1.1. Método para o esboço de gráficos i f : uma vez que f não muda de sinal entre duas raízes consecutivas, basta determinar o sinal de f num ponto teste em cada intervalo determinadopelas raízes. No nosso exemplo, como ilustrado pela Figura 1.2.

Figura 1.2: Sinal de f f ′ : uma vezque f ′ não muda desinal entredois pontos críticos consecutivos, basta determinar o sinal de f ′ num ponto teste em cada intervalo determinadopelos pontos críticos. No nosso exemplo, como ilustrado pela Figura 1.3.

Figura 1.3: Sinal de f ′ f ′′ : uma vez que f ′′ não muda de sinal entre dois pontos degenerados consecutivos, basta determinar o sinal de f ′′ num ponto teste emcadaintervalodeterminadopelospontosdegenerados.Nonosso exemplo, como ilustrado pela Figura 1.4.

iv Capítulo 1. Gráficos

Figura 1.4: Sinal de f ′′

(5) Alinhe uma acima da outra as informações sobre os sinais de f , f ′ e f ′′, obtidasnoitemanterior,mantendoapenasospontosnotáveisetraçando sobre cada um deles uma reta vertical. Nas colunas determinadas pelas retas verticais, coloque sobre cada linha os sinais de f , f ′ e f ′′. No nosso exemplo, obtemos a seguinte tabela, ilustrada pela Figura 1.5.

(6) Trace o eixo das abscissas marcando simultaneamente todos os pontos notáveis obtidosno item (3) e tambémos limites H− e H+ obtidono item (1). Entre cada intervalo determinadopelos pontos notáveis, utilize as informações sobre os sinais em cada coluna da tabela do item (5) para determinaroesboçodográficonaqueleintervalo,deacordocom aspossibilidades dadas pela Figura 1.1, obtida considerando a posição em relação ao eixo das abscissas, o crescimento e a concavidade. No nosso exemplo, obtemos o seguinte diagrama, ilustrado pela Figura 1.6.

1.1. Método para o esboço de gráficos v

Figura 1.6: Diagrama para o esboço do gráfico de f

(7) Abaixo do diagrama do item anterior, trace um novo eixo das abscissas com todos os pontos notáveis. Com um traçado contínuo, junte os pedaços do gráfico obtidos no item anterior,com os seguintes cuidados:

• as pontas dos pedaços devem ser movimentadas para cima ou para baixo, sem cruzar o eixo das abscissas e sem mudar o crescimento e a concavidade, de modo a se unirem suavemente(sem bicos),

• o gráfico deve cruzar o eixo das abscissas exatamente nas raízes,

• o gráfico deve possuir reta tangente horizontal exatamente em cima dos pontos críticos,

• quando H− é finito, a reta assíntota horizontal y = H− deve ser desenhada no último intervalo à esquerda. O gráfico deve se aproximar por cima dessa reta, quando a concavidadefor pra cima, ou por baixo dessa reta, quando a concavidade for pra baixo.

• quando H+ é finito, a reta assíntota horizontal y = H+ deve ser desenhada no último intervalo à direita. O gráfico deve se aproximar por cima dessa reta, quando a concavidade for pra cima, ou por baixo dessa reta, quando a concavidade for pra baixo.

É convenienteassinalar os pontos críticos desenhando uma segmento de reta tangente horizontal no respectivo ponto do gráfico. No nosso exemplo, obtemos o esboço do gráfico de f ilustrado pela Figura 1.7.

Observamos que esse métodofunciona para esboçar o gráfico de funções que tem um número finitode pontosnotáveis.

vi Capítulo 1. Gráficos

Figura 1.7: Esboço do gráfico de f

Vamosagoraampliarométodoparaoesboçodográficodefunções,incluindo funçõesque possuamassíntotasverticais. Devemoslevar emconsideraçãoas seguintes modificações.

(A) No item (3) do método, acrescente aos pontos notáveis, os pontos verticais.

(B) No item (4) do método, como f , f ′ e f ′′ não são contínuas nos pontos verticais, elas podem mudar de sinal nesses pontos. Portanto acrescente os pontos verticais aos respectivos pontos (ou raízes, ou críticos, ou degenerados)quedeterminamosintervalosondecadaumadessasfunções mantém o seu sinal.

(C) No item(7) do método, em cada pontovertical v desenhe a reta assíntota vertical x = v. Ográficodeveseaproximardessaretaparacima(maisinfinito),quandoaconcavidadeforpracima,ouparabaixo(menosinfinito), quando a concavidade for pra baixo.

Agora vamos aplicar o métodoà seguintefunção levando em conta as modificações acima.

1.1. Método para o esboço de gráficos vii

(2) Temosque

(3) Temosque

Raízes: r

Críticos: 1

Degenerados: −2

como ilustrado pela Figura 1.8.

Figura 1.8: Sinal de f

como ilustrado pela Figura 1.9.

viii Capítulo 1. Gráficos

Figura 1.9: Sinal de f ′

como ilustrado pela Figura 1.10.

Figura 1.10: Sinal de f ′′ (5) Obtemos a seguinte tabela, ilustrada pela Figura 1.1.

1.1. Método para o esboço de gráficos ix

Figura 1.12: Diagrama para o esboço do gráfico de f

(6) Obtemos o seguinte diagrama, ilustrado pela Figura 1.12. (7) O esboço do gráfico de f ilustrado pela Figura 1.13.

Figura 1.13: Esboço do gráfico de f

Vamos agora completar o método para o esboço do gráfico de funções, incluindo funções definidas por pedaços. Devemos levar em consideração as x Capítulo 1. Gráficos seguintes modificações.

(D) Aplique o método a cada expressão algébrica, restringindo a aplicação do método ao respectivo domínio de definição. No nosso exemplo, temos a expressão algébrica

no intervalo (−∞,0), e também a expressão −xe−x

(E) Verifique se, em cada ponto m onde ocorre mudança na expressão algébrica, s função f é contínua e derivável. No item (7) do método:

• Se f for descontínua em m, as pontas devem permanecer separadas. Uma bola fechada deve ser desenhada na ponta do pedaço cuja expressão algébrica está definida em m. Uma bola aberta deve ser desenhada na ponta do pedaço cuja expressão algébrica não está definidaem m.

• Se f for contínua, mas não for derivável em m, as pontas sobre m devem ser unidasformandoum bico.

• Se f for derivável em m, as pontas sobre m devem ser unidas suavemente.

Agora vamos aplicar o métodoà seguintefunção

levando em conta as modificações acima. O único ponto onde f muda de expressão algébrica é m =0. Neste ponto, temos que f é contínua, mas não é derivável. Os ítens de (1) a (5) já foram feitos para as duas expressões algébricas de f . Vamos então apresentar apenas os ítens (6) e (7).

(6) Obtemos o seguinte diagrama, ilustrado pela Figura 1.14.

(7) O esboço do gráfico de f ilustrado pela Figura 1.15.

1.1. Método para o esboço de gráficos xi Figura 1.14: Diagrama para o esboço do gráfico de f

Figura 1.15: Esboço do gráfico de f

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