Cap - 3 - Caculo - de - Vigas

Cap - 3 - Caculo - de - Vigas

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ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 1

3 – Cálculo das Vigas

3.1 Introdução

Dando seqüência ao projeto do edifício exemplo, partiremos agora para o cálculo e dimensionamento das vigas.

As ações geram solicitações nas estruturas. Estas solicitações são determinadas através de teorias de cálculo estrutural. No caso geral, tem-se:

F = Fk → Fd = γf Fk → Sd ou, em estruturas de comportamento linear,

F = Fk → Sk → Sd = γf Sk . No caso da flexão simples, tem-se: Fd → Md.

As resistências são determinadas através de teorias apropriadas, a partir dos dados da seção transversal e das características mecânicas dos materiais.

No caso da flexão simples tem-se, como dados:

fck (resistência do concreto); fyk (resistência da armadura); e dimensões relativas da seção transversal (concreto e armadura).

Através de teoria apropriada determina-se o momento resistente último, Mu

3.1.3 Verificações de Segurança

Existe segurança adequada quando é verificada a condição: Md ≤ Mu. Por razões de economia, faz-se Md = Mu.

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3.1.4 Tipos de Ruptura na Flexão

Em geral, tem-se o seguinte tipo de ruptura:

se As = 0, ou muito pequena ⇒ ruptura frágil (brusca) por tração no concreto;

se As for muito grande (pequena deformação εs)⇒ ruptura frágil (brusca) por esmagamento do concreto comprimido; e

se As for “adequada” ⇒ ruptura dúctil (com aviso), com escoamento da armadura e acompanhada de intensa fissuração da zona tracionada

3.2 Hipóteses de Cálculo na Flexão

Para o dimensionamento usual das vigas em concreto armado, deve-se respeitar as seguintes hipóteses de cálculo:

a) Manutenção da seção plana ;

As seções A e B passam para A’ e B’, quando fletidas, permanecendo planas conforme a figura a seguir:

b) Aderência perfeita entre concreto e armadura;

Inexiste qualquer escorregamento entre os materiais, em outras palavras, a deformação da armadura εs é admitida igual à deformação da fibra de concreto εc , junto a esta armadura.

c) Tensão no concreto nula na região da seção transversal sujeita a deformação de alongamento; d) Diagramas tensão-deformação (de cálculo) no aço

aço de dureza natural: este aço apresenta patamar de escoamento conforme a figura d1.

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Figura d.1

Es = 21.0 kN/cm2 fyk = valor característico da resistência da armadura correspondente ao patamar de escoamento (resistência característica no escoamento) γs = 1,15 (coeficiente de ponderação da resistência da armadura) fyd = fyk / γs = valor de cálculo da resistência da armadura correspondente ao patamar de escoamento εyd = fyd / Es = deformação correspondente ao início do patamar de escoamento

Os aços desta categoria são os seguintes:

TIPO fyk (kN/cm2) fyd (kN/cm2)εyd
CA2525 21,74 0,00104
CA3232 27,83 0,00132
CA40A40 34,78 0,00166
CA50A50 43,48 0,00207

Os aços são designados pela sigla CA (Concreto Armado), seguido da resistência característica no escoamento em kN/cm2.

aço encruado (CA50B e CA60B)

Figura d.2

Até o ponto A (limite de proporcionalidade), tem-se diagrama linear; entre A e B, admitese diagrama em parábola do 2o grau; e, além do ponto B, um patamar.

Admite-se que o diagrama tensão-deformação na armadura seja o mesmo, na tração e na compressão.

σ f ε 0,010 ε arctg E diagrama de σ f ε 0,010 ε arctg E diagrama de

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 4 e) Diagramas tensão-deformação (de cálculo) no concreto diagrama parábola-retângulo

Figura e.1 γc = 1,4 (coeficiente de ponderação da resistência do concreto) fcd = fck / γc 0,85 : coeficiente para considerar a queda de resistência do concreto para cargas de longa duração (efeito Rusch)

diagrama retangular simplificado

Figura e.2 x = altura da zona comprimida, medida a partir da borda comprimida k = 0,85 , quando a largura da zona comprimida não diminui em direção à borda comprimida (seção retangular); em caso contrário usar 0,80.

f) Domínios de Deformação,

O estado limite último convencional ocorre quando o diagrama de deformação passa por um dos dois pontos, A ou B, na fig. f1).

Figura f.1 σ 0,85f ε t ) parábola do 2 patamar

M x k f deformação de estado limite h d x x

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Sendo:

d = altura útil da seção = distância do CG da armadura à borda comprimida x = altura da zona comprimida (medida a partir da borda comprimida)

Diz-se que o diagrama de deformação do tipo 2 está no domínio de deformação 2 quando a altura da zona comprimida obedece à condição:

Por sua vez, o diagrama de deformação encontra-se no domínio 3 de deformação quando a altura da zona comprimida obedece à condição:

x23 ≤ x ≤ x34 = 0,0035 d / (0,0035 + εyd) Analogamente, o diagrama de deformação está no domínio 4 quando:

A seção que atinge o ELUlt. nos domínios D2 e D3 é dita sub-armada ou normalmente armada. Quando o ELUlt. é atingido no D4, a seção é dita superarmada. Trata-se de situação antieconômica, pois a armadura não é explorada na sua plenitude. Procura-se evitar o dimensionamento neste domínio.

3.3 Dimensionamento à Flexão

3.3.1 Seção Retangular à Flexão

A seção retangular com armadura simples é caracterizada da seguinte forma:

a zona comprimida da seção sujeita a flexão tem forma retangular; a barras que constituem a armadura está agrupada junto à borda tracionada e pode ser imaginada concentrada no seu centro de gravidade

Resultantes das tensões:

no concreto: Rcd = 0,85⋅fcd⋅b⋅0,8⋅x = 0,68⋅b⋅x⋅fcd na armadura: Rsd = As⋅σsd h d x 0,8x d - 0,4x M

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Força: Rcd = Rsd ou 0,68⋅b⋅x⋅fcd = As⋅σsd(1)

Equações de equilíbrio: Momento: Mud = Rcd ⋅ (d-0,4⋅x) ou Mud = Rsd ⋅ (d - 0,4⋅x)

Substituindo o valor das resultantes de tensão, vem:

Mud = 0,68⋅b⋅x⋅fcd⋅(d - 0,4⋅x)(2)

Ou

Mud = As⋅σsd⋅(d - 0,4⋅x)(3)

Nos casos usuais de dimensionamento, tem-se b, fcd e faz-se Mud = Md (momento fletor solicitante em valor de cálculo). Normalmente, pode-se adotar d ≅ 0,9 h. Dessa forma, a equação (2) nos fornece o valor de x:

xd M

Com o valor de x, tem-se o domínio de deformação correspondente, podendo ocorrer as seguintes situações:

I) domínio 2, onde x≤ x23 = 0,259 d; e σsd = fyd I) domínio 3, onde x23 ≤ x ≤x34 = 0,0035 d / (0,0035 + εyd); e σsd = fyd

I) domínio 4, se x ≥ x34; neste caso, convém alterar a seção para se evitar a peça superarmada; esta alteração pode ser obtida da seguinte forma:

⇒ aumentando-se h (normalmente, b é fixo pois depende da espessura da parede onde a viga é embutida);

⇒ adotando-se armadura dupla.

Obs.: o aumento da resistência do concreto (fck), também permitiria fugir do domínio 4.

Para a situação adequada de peça sub-armada tem-se, σsd = fyd . Assim, a equação (3) nos fornece

MA yd dsd

Para o cálculo de uma viga de seção “T,” deve-se inicialmente determinar uma largura que contribui para resistir ao esforço solicitante. Esta largura de contribuição da mesa, bf, mostrada na figura a seguir.

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Figura 3.3.2.1 Onde:

balanco) em laje para (6h h 8 b onde contínua viga de interno vao em 0,6 contínua viga de extremo vao em 0,75 isostatica viga em a l l sendo l o vão correspondente da viga.

Se a altura comprimida (0,8 x) for menor ou igual à espessura da laje (hf), tem-se uma seção retangular com armadura simples, já vista. Quando x for maior do que hf, a forma da zona comprimida (sujeita à tensão 0,85fcd) tem a forma de um “T”. A análise da seção pode ser feita como se indica a seguir.

Figura 3.3.2.2

O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimida em retângulos (1 e 2). As resultantes de tensão sobre as partes 1 e 2 valem:

Resultante do concreto na alma:Rcwd = 0,85 fcd bw (0,8 x) (2)

Resultante do concreto na aba colaborante: Rcfd = 0,85 fcd (bf - bw) hf (1) b R

0,85f R b b h 0,8

0,85f0,85f M

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A equação de equilíbrio de momento fornece:

Mud = Md = Mcfd + Mcwd = Rcfd (d - hf / 2) + Mcwd ou

Mcwd = Md - Rcfd (d - hf / 2)

Este momento deve ser resistido pela parte 2 que é uma seção retangular bw por d. Portanto

Com a posição da linha neutra, obtém-se a resultante do concreto na alma, Rcwd, através de (2).

A equação de equilíbrio de força permite escrever:

Rsd = As fyd = Rcfd + Rcwd De onde se obtém a área de aço, As, necessária para resistir ao esforço solicitante.

3.3.3 Seção Retangular com Armadura Dupla

Quando se tem, além da armadura de tração As , outra A’s posicionada junto à borda oposta comprimida, diz-se que se tem seção com armadura dupla. Normalmente, ela é empregada para se conseguir uma seção sub-armada sem alterar as dimensões da seção transversal. A armadura comprimida A’s introduz uma parcela adicional na resultante de compressão permitindo, assim, aumentar a resistência da seção.

Seja o esquema de cálculo mostrado a seguir:

Equilíbrio de força:Rsd = Rcd + R’sd

Figura 3.3.3.1 As σsd = 0,68 b x fcd + A’sd σ’sd (a) h d d’ A’

A b x ε’

0,4d’ R R’

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Equilíbrio de momento: Md = Rcd (d - 0,4 x) + R’sd (d - d’) Md = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) + A’sd σ’sd (d - d’) (b)

Tem-se duas equações, (a) e (b) e três incógnitas: x, As e A’s (pois, as tensões nas armaduras dependem de x). Costuma-se adotar um valor de x (naturalmente, menor ou igual a x34), por exemplo, x = d/2.

Dessa forma, podem ser determinadas as armaduras As e A’s como se indica a seguir. As equações (a) e (b) sugerem a decomposição mostrada na figura seguinte.

Figura 3.3.3.2

Conforme se indica na figura acima, pode ser determinada a primeira parcela do momento resistente, designada por Mwd:

Mwd = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) e

Rsd1 = Mwd / (d - 0,4 x).

Como σsd = fyd (peça sub-armada), tem-se

As1 = Rsd1 / fyd. Assim, fica conhecida a parcela restante do momento resistente

∆Md = Md - Mwd. Também,

∆Md = R’sd (d - d’) = A’sd σ’sd (d - d’) e

∆Md = Rsd2 (d - d’) = As2 σsd (d - d’) que permitem determinar as áreas restantes de armadura, As2 e A’s.

R’sd = Rsd2 = ∆Md / (d - d’) e

As2 = Rsd2 / fyd.

O cálculo de A’s, requer a determinação da tensão σ’sd.

0,4x d’ R R’

M d d’ A’ x ε’ ∆M ε

A d-d-d’

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Com x = x, tem-se, no domínio 3, εc = 0,0035 e no domínio 2:

εc = 0,010 x / (d – x) (por semelhança de triângulos).

Logo: ε’s = εc (x - d’) / x que permite obter σ’sd (no diagrama σ x ε da armadura). Finalmente:

A’s = R’sd / σ’sd e

As = As1 + As2.

3.4 Dimensionamento ao Cisalhamento

3.4.1 Modelo Simplificado para o Comportamento da viga (treliça básica de Mörsch)

O panorama de fissuração, que se implanta na viga por ocasião da ruptura, sugere um modelo em forma de treliça para o seu esquema resistente (fig. 3.4.1.1). Esta treliça é constituída de banzos paralelos ao eixo da viga (banzo superior comprimido de concreto, e banzo inferior tracionado correspondente à armadura longitudinal de flexão), diagonais comprimidas de concreto inclinadas de 45o (bielas diagonais) e pendurais correspondentes à armadura transversal. Esta armadura é, em geral, constituída de estribos distanciados de s e posicionados ao longo da viga, perpendicularmente ao seu eixo. As cargas atuantes na viga são substituídas por forças concentradas equivalentes aplicadas aos “nós” da treliça.

viga realmodelo

Figura 3.4.1.1 s s

Rcd

Rsd pd pd . s

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Os esforços na treliça múltipla podem ser estimados através de uma treliça mais simples, isostática, fig. 3.4.1.2, dita treliça clássica ou treliça de Mörsch. Cada pendural nesta treliça representa (z/s) estribos, da treliça original, o mesmo ocorrendo com a diagonal comprimida.

Rswd = Vde RVcwdd=2

Figura 3.4.1.3 a) Tensão média na diagonal comprimida (biela comprimida de concreto)

Figura 3.4.1.4

J Rsd1 Rsd

Rswd=Vd Rcw

Rcd

Rcw

Vd Rsd RcwRswd=Vd

Rsd1

Rsd

Rcd

Rsd z z bw h1

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Conforme a figura acima (Figura 3.4.1.4), pode-se escrever que a tensão média na biela comprimida é dada através de:

στcwd cwdw dw w oRbh V

2, sendo τo dwVbz

Como z ≅ d/1,15, tem-se, também:

στcwd cwdw dw dw dw w wdRbh V b z Vbz V b d Vbd onde τwd dwVbd b) Tensão média no estribo

Figura 3.4.1.5

Sendo Asw a área total correspondente a um estribo, tem-se para o estribo usual de 2 ramos:

Asw = 2 As1 (As1 = área da seção da armadura do estribo). Conforme a fig. 3.4.1.5, tem-se:

ρswd swdsw d sw w w sw w ow zs A V zAs b b ou σ swd swdsw d sw d sw d sw w w sw wd w

A V dA

V dA dAs b b bd A bs z z φt As1 estrib

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= = taxa geométrica de armadura transversal.

3.4.2 Dimensionamento a) Verificação do Concreto

Admite-se que a segurança de uma viga ao cisalhamento esteja devidamente atendida quando ττwdwucdf≤=⋅03, (não maior do que 4,5 MPa)

Com,

dwd=τ(Vd = γf V)

dbVw

De resultados de análises experimentais, permite-se considerar na flexão simples:

τcckf=015, (em MPa). b) Cálculo dos Estribos

Dessa forma, atribuindo à tensão de tração nos estribos o valor fywd, eles podem ser quantificados através da expressão:

ρ ττw wd c

Onde fywd = 43,48 kN/cm2 para os aços CA50.

3.4.3 Arranjos das armaduras

Também para o dimensionamento ao cisalhamento deve-se respeitar as seguintes condições:

a) Armadura transversal mínima (estribo mínimo) ρw para oCA CA

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A este estribo mínimo corresponde uma força cortante V*.

b) Tipo de estribo

Normalmente, utiliza-se estribo de 2 ramos (para bw ≤ 40 cm) e estribos de 4 (ou mais) ramos se bw > 40 cm.

c) Diâmetro dos estribos (φt) d) Espaçamento dos estribos (s) Recomenda-se obedecer às seguintes condições:

cm d CA CA

As duas últimas condições são aplicadas quando se tem armadura comprimida de flexão (A’s).

e) Cobertura do diagrama de força cortante

Costuma-se garantir a resistência ao cisalhamento, adotando-se estribos uniformes por trechos de viga. Desta forma, resulta a “cobertura em degraus” do diagrama de força cortante; cada degrau correspondendo a um trecho de estribo constante. A fig. 3.4.3.1 ilustra este procedimento. Para vigas usuais de edifícios, pode-se adotar, em cada vão, 3 trechos: um central correspondente à armadura mínima (ρwmin e V*), e mais dois trechos, adjacentes aos apoios do vão com estribos calculados para as respectivas forças cortantes máximas.

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Seções próximas aos apoios

Nas proximidades dos apoios, a quantidade de armadura de cisalhamento pode ser menor do que aquele indicado pelo cálculo usual. Este fato ocorre porque parte da carga (próxima aos apoios) pode se dirigir diretamente aos apoios, portanto, sem solicitar a armadura transversal.

A NBR-6118 propõe as regras seguintes para o cálculo da armadura transversal, quando a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas da peça, comprimindo-a:

no trecho entre o apoio e a seção situada à distância h/2 da face deste apoio, a força cortante oriunda de carga distribuída poderá ser considerada constante e igual à desta seção (fig. 3.4.3.2);

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