Baixe Apostila de polinômios e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Apostila adaptada e editada da intenert pelo Professor Luiz www.solucaomatematica.com.br POLINÔMIOS e Definição Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(x)=açx” + ag X! + ago x +... tax] +ax+ ao Onde: An, An1, Qn.25 ---» 2, Ay, Ap SÃO NÚMEros reais chamados coeficientes. ne IN xe C (nº complexos) é a variável. GRAU DE UM POLINÔMIO: Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente a*0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P) =n. Exemplos: a) P(x)=5 ou P(x)=5.xº é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0. b) P(x)-=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1. c) P(x)=4x*+7x* é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5. Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio. e Valor numérico O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo: Se P(9)=x"+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é: P(x)= x+2x2+x-4 P(2)= 242.222-4 P(2)= 14 Observação: Se P(a)-0, o número a chamado raiz ou zero de P(x). Por exemplo, no polinômio P(x)=x?-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio. Sugestão ou Dúvidas envie email para luiz(0)solucaomatematica.com.br MSN: luizsolucaomatematica()homail. com Apostila adaptada e editada da intenert pelo Professor Luiz www.solucaomatematica.com.br Alguns exercícios resolvidos: 1º) Sabendo-se que -3 é raiz de P(x)=x"-+4x2-ax+1, calcular o valor de a. Resolução: Se —3 é raiz de P(x), então P(-3)=0. P(-3)=0 => (-3)+4(-3)-a.(-3)+1 = 0 3a =-10 => a=-10/3 Resposta: a=-10/3 2º) Calcular m e IR para que o polinômio P6)=(m?- Dx+(m+)x2-x+4 seja: a) do 3ºgrau b) do 2º grau c) do 1º grau Resposta: a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x? e x” devem ser diferentes de zero. Então: m-120 => m/z] => mzl m+120 => mz-1 Portanto, o polinômio é do 3º grau se mz1 e mz-1. b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x” deve ser igual a zero e o coeficiente de x” diferente de zero. Então: m-1=0 => m=] => m=H] m+120 => mz-1 Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1. c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x? e x” devem ser iguais a zero. Então: m-1=0 => m/=1 =>m=+1 m+1=0 =>m=-1 Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1. 3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de xº é 1. Se P(I)=P(2)=0 e P(3)-30, calcule o valor de P(-1). Resolução: Temos o polinômio: P(x)=xax*+bx-+c. Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes). Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema: Sugestão ou Dúvidas envie email para luiz(0)solucaomatematica.com.br MSN: luizsolucaomatematica()homail. com Apostila adaptada e editada da intenert pelo Professor Luiz www.solucaomatematica.com.br x'+x)-7xº +9x—1 | x2+3x-2 =x! - 3x) 42x? 2 -2x+41 > O(x) -2x)-5x3]+9x-1 +2x)+6x?- 4x x) 4+5x-1 =x? -3x+2 2x+1 > R(x) Verificamos que: xx 7X +Ox-1 = (x +3x-D) (x -2x +) + (2x+1) Pê) DG) Cs) Ré) e Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x2-2x+3 por D(x)=2x-1. Utilizando o método da chave temos: 442 -2x+3 | 2x-1 — 4 + 2x 2x Logo: R(x)-3 A raiz do divisor é 2x-1=0 => x=1/2. Agora calculamos P(x) para x=1/2. P(1/2) = 4(1/4) - 2(1/2)+3 P(1/2)=3 Observe que R(x) = 3 = P(1/2) Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao valor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor. Sugestão ou Dúvidas envie email para luiz(0)solucaomatematica.com.br MSN: luizsolucaomatematica()homail. com Apostila adaptada e editada da intenert pelo Professor Luiz www.solucaomatematica.com.br e Teorema do resto O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a). Note que —b/a é a raiz do divisor. Exemplo: Calcule o resto da divisão de x>+5x-1 por x+1. Resolução: Achamos a raiz do divisor: x+1=0 => x=-1 Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1): PED=(DHS(-1-1 => P(1)=-5=RG9) Resposta: R(x) = -5. e Teorema de D'Alembert Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0 Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x*+5x?- px+2 seja divisível por x-2. Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)-0. P(2)=0 => 2.8+5.4-2p+2=0 => 16+20-2p+2=0 => p-19 Resposta: p=19. e Divisão de um polinômio pelo produto (x-a)(x-b) Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do polinômio P(x) pelo produto (x-a) (x-b), sabendo-se que os restos da divisão de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, re 1». Temos: a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r; (eg. 1) bé a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r, (eq. 2) E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x) (eg. 3) O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo: Sugestão ou Dúvidas envie email para luiz(0)solucaomatematica.com.br MSN: luizsolucaomatematica()homail. com Apostila adaptada e editada da intenert pelo Professor Luiz www.solucaomatematica.com.br R(x)-cx+d Da eq.3 vem: P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d Fazendo: x=a => P(a) = e(a)td (eq. 4) x=b => P(b) = c(b)+d (eg. 5) Das equações 1,2,4e 5 temos: ca+d=1 cb+d=r, Resolvendo o sistema obtemos: c=Ah o; qm , comazb a-—b a-— Logo: R(x)= ADh 00 coma+b a-—b a-—b Observações: 1º) Se P(x) for divisivel por (x-a) e por (x-b), temos: P(a)= 1-0 P(b)= 1, =0 Portanto, P(x) é divisivel pelo produto (x-a) (x-b), pois: non ar, — an R(s) = !-0+0=0 1 a-—b a-—b 2º) Generalizando, temos: Se P(x) é divisivel por n fatores distintos (x-a,), (x-a»),..., (x-a,) então P(x) é divisível pelo produto (x-a,)(x-a»)... (x-ay). Exemplo: Um polinômio P(x) dividido por x da resto 6 e dividido por (x-1) dá resto 8. Qual resto da divisão de P(x) por x(x-1)? Resolução: Sugestão ou Dúvidas envie email para luiz(0)solucaomatematica.com.br MSN: luizsolucaomatematica()homail. com