Equações diferenciais

Equações diferenciais

(Parte 1 de 3)

DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

CRÉDITOS: 04

CARGA HORÁRIA: 60 H/A

Objetivo:

Desenvolver o conhecimento de equações diferenciais e suas aplicações na física, química, biologia e engenharia..

EMENTA:

Equação diferencial. Equação diferencial de 1ª ordem. Aplicações de equações diferenciais na física, química e biologia.

PROGRAMA:

1 Equação Diferencial

1.1 Definição

1.2 Classificação

1.3 Ordem e grau

1.4 Solução

2 Equação diferencial de 1ª ordem.

2.1 Equação diferencial de variáveis separadas

2.2 Equação diferencial de 1ª ordem homogênea

2.3 Equação diferencial de 1ª ordem não homogênea

2.4 Equação diferencial exata

2.5 Equação diferencial redutível à exata (fatores de integração).

3 Aplicações de equações diferenciais na física, química e biologia.

BIBLIOGRAFIA

BOYCE, William E. & DI PRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 8º ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.

MATOS, Marivaldo P. Séries e Equações Diferenciais. São Paulo: Prentice Hall, 2001.

SVEC, Mária et al. Tópicos: Séries e Equações Diferenciais. Salvador: EDUFBA, 2002.

AYRES, Jr. Frank. Equações diferenciais. Rio de Janeiro: McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1978.

BASSANEZI, R. FERREIRA Jr.,W.C. Equações diferenciais. São Paulo: Harbra, 1988.

RAFIKOV, M. BORGES, P. A. Equações diferenciais ordinárias. Série das Matemáticas, no 02. Ijuí: UNIJUÍ, 1995.

ZILL, Dennis G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem / Dennis G. Zill; tradução Cyro de Carvalho Patarra; revisão técnica Antonio Luiz Pereira. - São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.

SOARES, LINO J. Introdução ao Estudo das Equações Diferenciais Ordinárias. Pelotas/RS: EDUCAT Editora da Universidade Católica de Pelotas, 2004.

1 EquaçÃo Diferencial

1.1 Definição

São equações que relacionam uma função com suas derivadas.

Uma lei que relaciona a variável x, a função y e as derivadas sucessivas da função y, isto é,

Ex.: 1)

2)

3)

4)

5)

6)

1.2 Classificação

1.2.1 Ordinárias (EDO)

A função y é denominada incógnita de uma variável independente x.

Quando existe apenas uma variável independente, a equação é chamada ordinária (cinco primeiros exemplos).

1.2.2 Parciais (EDP)

Se a equação envolve derivadas parciais de duas ou mais variáveis independentes é chamada parcial (sexto exemplo).

1.2.3 Linear (EDOL)

Uma equação diferencial ordinária de ordem n é linear se, e somente se, pode ser escrita sob a forma

onde para todo x. Onde são supostas constantes.

1.3 Ordem e grau

1.3.1 Ordem

A ordem de uma equação diferencial ordinária (EDO) é a ordem da mais alta derivada contida na equação.

1.3.2 Grau

É o grau da derivada de mais alta ordem

Ex.:1 1ª ordem e 1º grau

Ex.:2 1ª ordem e 1º grau

Ex.:3 2ª ordem e 1º grau

Ex.:4 4ª ordem e 3º grau

Ex.:5 3ª ordem e 2º grau

Ex.:6 2ª ordem e 1º grau

1.4 Solução

Uma função é chamada de uma solução, ou integral, da equação diferencial ordinária , se, quando substituída na equação dada a converte em uma identidade.

1.4.1 Solução geral de uma equação diferencial

Uma solução de uma equação diferencial, na qual figura n constantes arbitrárias, é chamada de solução geral. Será indicada por .

A solução geral é representada graficamente pela família de curvas integrais. O número de constantes na solução geral é igual à ordem da equação.

1.4.2 Solução particular

Uma solução particular de uma equação diferencial é a que é obtida da solução geral, calculando as constantes arbitrárias , com o uso de condições iniciais dadas:

Ex.: Verifique se as funções dadas são soluções para as respectivas equações diferenciais

a)

b)

c)

d)

2 Equação diferencial de primeira ordem

A edo de primeira ordem pode ser representada numa das três formas abaixo:

,

2.1 Equação diferencial de variáveis separadas

Quando a equação diferencial de 1ª ordem possui a forma diz-se que a mesma possui variáveis separáveis.

Multiplicando meios por extremos:

Onde se aplica o operador integral nos dois lados da igualdade e encontra-se a solução da equação.

Ex.: 1)

Podemos ter uma equação diferencial que satisfaça a uma condição inicial, nesse caso, alem da solução geral, encontramos também uma solução particular, determinando o valor da constante “c”.

Ex.: 2)

3)

Exercícios

Resolva a EDO por separação de variáveis

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

2.2 Equação diferencial de 1ª ordem homogênea

2.2.1 Função homogênea

Se uma função f satisfaz para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n.

Ex.:1)

2)

3)

4)

Consideramos a equação onde e são funções, se

, dividimos a equação por :

Equação diferencial ordinária de 1ª ordem linear homogênea.

(separação de variáveis)

Solução geral

Ex.:

Para determinar a solução particular tenho que ter condição inicial

Ex.: 2)

Exercícios

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