Efeito Doppler Relativistico

Efeito Doppler Relativistico

(Parte 1 de 2)

INTRODUÇÃO4
EFEITO DOPPLER CLÁSSICO5
TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA9
EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO14
IMPLICAÇÕES CIENTÍFICAS E TECNOLÓGICAS18
CONCLUSÃO2
REFERÊNCIAS23

SUMÁRIO ANEXOS................................................................................................................................. 25

Neste trabalho será realizada uma explanação do efeito Doppler Relativístico seguindo uma linha de raciocínio progressiva e condizente com os acontecimentos históricos, de modo que a compreensão do assunto torne-se mais simples e exigindo menos conhecimento prévio sobre física. Primeiro serão apresentados os princípios do efeito Doppler clássico, seguido de uma introdução à Teoria da Relatividade Restrita, finalmente o efeito Doppler Relativístico seguido de suas implicações científicas e tecnológicas.

O efeito Doppler relativístico tem grande importância para a Teoria da

Expansão do Universo, é muito utilizado na astronomia para medidas de velocidades relativas de movimento de astros e galáxias, também é utilizada para aplicações tecnológicas como radares e comunicação via satélites.

Efeito Doppler assim chamado devido ao primeiro físico a estudar esse fenômeno, Christian Johann Doppler. Nascido em Salzburgo na Áustria em 1803, foi educado no Instituto Politécnico de Viena.

Em 1842 ele escreveu a obra Concerning the coloured light of double stars (sobre as cores da luz emitida pelas estrelas duplas) na qual ele apresenta os fundamentos efeito Doppler, tanto para o som quanto para ondas eletromagnéticas. Doppler observou a freqüência emitida por uma fonte onda sonora em movimento relativo com um observador se altera aparentemente. Mesmo prevendo o efeito para as ondas eletromagnéticas foi o físico francês Louis Fizeau quem em 1848, sugeriu que o efeito Doppler acústico poderia ser aplicado às ondas luminosas e, com isso, determinar as velocidades relativas das estrelas que estão na mesma linha do sinal luminoso recebido.

Apesar de Doppler ter estudado os princípios deste efeito e realizado previsões teóricas, ele não o comprovou, o que foi feito em 1845 por Buys Ballot, na Holanda, utilizando uma locomotiva que puxava um vagão aberto com vários músicos tocando trompetes, enquanto outros músicos de ouvidos apurados ficavam na estação para registrar as notas que ouviam. Foram utilizadas várias velocidades e notas, confirmando a teoria proposta por Doppler.

Como o efeito Doppler depende do movimento relativo entre o observador e fonte ele deve ser analisado para três casos: primeiro com a fonte em repouso e observador em movimento, segundo com a fonte em movimento e observador em repouso e por último com ambos em movimento. Serão agora deduzidas as fórmulas para o efeito Doppler aplicado a ondas sonoras.

Detector (observador) em movimento com fonte (estacionária) em repouso.

Na Figura 1, um detector D se move com velocidade vd na direção da fonte F estacionária que emite frentes de ondas esféricas de comprimento de onda λ e freqüência f propagando-se com a velocidade do som v.

onda de distância, que se expandem com velocidade v. Detector D com se aproxima da fonte

Figura 1 – Fonte estacionária que emite frentes de ondas esféricas, mostradas com um comprimento de Fonte: Adaptado de http://www.eca.usp.br/prof/iazzetta/tutor/acustica/doppler/doppler.html acessado 2 de novembro de 2009.

A freqüência registrada por D é a taxa com que este detector intercepta as ondas. Considerando a fórmula λ = v / f e sabendo que as ondas se deslocam vt em um intervalo de tempo t em direção de D, este se desloca vdt no mesmo intervalo de tempo em direção a F, temos que o deslocamento total relativo das frentes de onda em direção a D é (vt

+ vdt), logo o número de ondas que intercepta D no tempo t é a freqüência f’ registrada que é dada por

Como λ = v / f temos (1)

Assim a freqüência percebida pelo observador será sempre maior que a freqüência emitida pela fonte, a menos que vd seja zero. De maneira análoga pode ser deduzida a fórmula quando o detector se afasta da fonte, neste caso o deslocamento total relativo das frentes de onda em relação a D é dado por (vt – vdt), logo f’ é

Resumindo os resultados (3) (detector em movimento fonte em repouso)

O sinal a ser usado depende do movimento do detector, se ele se aproxima da fonte a freqüência f’ é maior portando o que implica sinal positivo no numerador, caso ele se afasta o sinal é negativo.

Detector (observador estacionário) em repouso com fonte em movimento. Na Figura 2 temos um detector D em repouso e uma fonte F se move com velocidade vf, o movimento da fonte afeta os comprimentos de onda por ela emitidos, logo afeta também a freqüência registrada por D.

Figura 2 – Detector D em repouso. Fonte F em movimento com velocidade vf se aproximando de D. A frente de onda F1 foi emitida quando a F estava em S1, F2 quando F estava em S2. Comprimento de onda afetado λ‟.

Fonte: Adaptado de http://www.eca.usp.br/prof/iazzetta/tutor/acustica/doppler/doppler.html acessado 2 de novembro de 2009.

Para calcular essa variação usaremos o período T = 1 / f decorrido da emissão de duas frentes de ondas quaisquer, F1 e F2. No intervalo de tempo T, a frente de onda F1 se desloca vT e fonte se desloca vfT. No final desse intervalo F2 é emitida. No sentido em que F se move a distância entre as duas frentes de onda (F1 e F2) que é o comprimento de onda λ’ das ondas se deslocando nesse sentido é (vT – vfT). Portanto D registra a frequencia f’

Note que f’ será sempre maior que f o menos que vf seja igual a zero. De maneira análoga pode ser deduzida a fórmula para quando a fonte se afasta do observador, para tal a distância entre as frentes de onda, ou seja, λ’ é igual a (vT + vfT). Então D registra a freqüência f’

Resumindo (6) (fonte em movimento e observador em repouso)

Para determinar o sinal deve se levar em conta o movimento da fonte, se ela se aproxima a freqüência f’ deve ser maior que f isso implica que o sinal é negativo, caso contrário o sinal é positivo.

Fonte e detector (observador) em movimento Combinando as equações (3) e (6), obtemos uma equação geral para o efeito Doppler do som, onde tanto a fonte como o detector se movem em relação ao ar.

(7) (fonte e observador em movimento)

Fazendo vf = 0, obtemos a equação (3) e fazendo vd = 0, obtemos a equação (6). As considerações de sinais são feitas individualmente para o numerador e denominador seguindo o mesmo raciocínio das equações (3) e (6) respectivamente.

Como foi dito anteriormente o efeito Doppler se aplica também a ondas eletromagnéticas, mas não foi possível sua comprovação prática e nem exatidão teórica, na época. Podendo ser comprovada um bom tempo depois com o surgimento da Teoria da Relatividade Restrita proposta pelo físico Einstein em 1905. Em seu artigo intitulado Zur Elektrodynamik beweter Körper (“Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento”) mostrou que esse efeito pode ser obtido diretamente dessa teoria.

Portanto para a demonstração do efeito Doppler Relativístico será feita uma breve introdução a Teoria da Relatividade Restrita.

Até meados de 1900 os a maioria dos intelectuais admitiam que o tempo fosse absoluto, independentemente do referencial escolhido. Porém um físico chamado Hendrik Lorentz começou a estudar o eletromagnetismo e a partir de disso formulou o que é hoje conhecido como Transformações de Lorentz (veja ANEXO A), baseado no fato de que a razão entre as forças eletromagnéticas estão sujeitas a pequenas alterações devido a seu movimento, resultando em uma contração momentânea do tamanho dos corpos em movimento. Abrindo caminho para o desenvolvimento da Relatividade Restrita proposta por Einstein.

Em 1905 aos vinte e cinco anos de idade Einstein publicou três artigos de extraordinária importância cientifica. Um sobre o movimento browniano, um segundo sobre o efeito fotoelétrico (que lhe garantiu um Prêmio Nobel). Por último um sobre a teoria de relatividade restrita, propondo uma revisão drástica dos conceitos newtonianos de espaço e tempo.

Esta teoria resumidamente propõe que as leis físicas devem ser as mesmas em qualquer sistema de referência inercial e que a velocidade da luz no vácuo deve ser sempre a mesma em qualquer sistema de referência inercial. Denomina-se relatividade restrita, pois só é definida em sistemas de referência inercial e sem a influência de campos gravitacionais, em 1915 Einstein desenvolveu a teoria da relatividade geral que abrange as limitações anteriores.

Estes dois postulados simples propostos por Einstein possuem conseqüências importantes como: (1) Um evento que ocorre simultaneamente com outro em relação a um observador pode não ocorrer simultaneamente em relação a outro observador. (2) Quando existe movimento relativo entre dois observadores e eles fazem medidas de tempo e distância, os resultados podem não concordar. (3) Para que a lei da conservação de energia e a lei da conservação do momento linear sejam as mesmas em qualquer sistema de referência inercial, a segunda lei de Newton e as equações da energia cinética devem ser reformuladas.

A relatividade restrita pode parecer contrária a intuição, mas a teoria concorda solidamente com as observações experimentais. Uma contrariedade intuitiva é admitir que o tempo possa ter medidas diferentes em referencias inerciais diferentes. Para provar isso serão feitas deduções simples.

Primeiro postulado de Einstein “As leis físicas são as mesmas em qualquer sistema de referência inercial”, caso houvesse alguma lei diferente, ela serviria para distinguir um sistema de referência inercial de outro. Um exemplo é a força eletromotriz (fem) induzida em uma bobina pelo movimento de um imã nas suas vizinhanças. No sistema de referência no qual a bobina está em repouso, o imã se movimenta e induz uma fem. No sistema que o imã está em repouso a bobina se movimenta e também induz uma fem. De acordo com o primeiro postulado, ambos os pontos de vista são válidos e fazem a previsão da mesma fem.

Segundo postulado de Einstein “A velocidade da luz no vácuo é sempre a mesma (constante „c‟ = 299.792.458 m/s, exata) em qualquer sistema de referência inercial e não depende da velocidade da fonte”, para explicar melhor será usado um exemplo. Suponha que dois observadores meçam a velocidade da luz no vácuo, ambos em sistemas de referência inercial. De acordo com o primeiro postulado os dois devem obter o mesmo resultado, mesmo que exista movimento relativo entre eles. Imagine que o primeiro observador (observador A) está dentro de um ônibus espacial em orbita, há uma velocidade de aproximadamente 7770 m/s. O segundo observador (observador B) está em repouso na superfície da Terra e pode ver o ônibus espacial.

Em um dado momento o ônibus espacial acende um farol, emitindo um feixe de luz na mesma direção de seu movimento, para A a velocidade desse feixe é c, mas para o B pela mecânica newtoniana esse feixe teria velocidade de (c + 7770)m/s, o que contradiz o primeiro e segundo postulado, portanto o B deve medir o valor c e não (c + 7770)m/s. Isso não concorda com o senso comum porque a nossa intuição é baseada em experiências do cotidiano, que geralmente não incluem velocidades próximas a da luz. Segue a Figura 3 como representação

Figura 3 – Representação da constância da velocidade da luz no vácuo. Situação imaginária e fora de escala. Fonte: Autoria própria.

Agora suponha que o ônibus espacial esteja em órbita com a velocidade da luz c em relação ao observador B VA/B = c m/s. Para B o feixe de luz também se desloca com velocidade c, ou seja, como o ônibus espacial e luz se deslocam a mesma velocidade, a luz deve ficar sempre no mesmo ponto do espaço que fica o ônibus. Porém de acordo com o segundo postulado, concluímos que para A a luz também se desloca com velocidade c, portanto o feixe de luz não pode ficar sempre no mesmo ponto do espaço. Este resultado é contraditório levando a conclusão que nenhum observador inercial pode se deslocar com a velocidade da luz no vácuo.

Compreendido os postulados de Einstein voltamos ao ponto inicial como o tempo pode ter medidas diferentes em referenciais distintos?

Figura 4 – (a) Medida de ∆t0, trajetória do pulso de luz visto pelo observador A.(b) Medida de ∆t, trajetória do pulso de luz visto pelo observador B.

Fonte: Adaptado de SEARS E ZEMANSKY. Física IV, 10 ed. 2007, p. 147.

Novamente vamos considerar uma experiência imaginária. Um observador A e um observador B ambos em sistemas de referência inercial S‟ e S respectivamente. O sistema S‟ (imagine um trem com o observador A dentro) se move com velocidade constante u em relação ao sistema S. De acordo com o explicado anteriormente u deve der menor que c. A mede um intervalo de tempo ∆t0 entre dois eventos que ocorrem em um mesmo ponto do espaço de S‟, ponto O‟. O primeiro evento é a emissão de um pulso de luz a partir de O‟ e o segundo é a o retorno do pulso ao mesmo ponto, depois de refletido por um espelho situado a uma distância d (imagine uma fonte de luz no chão do trem como o ponto O‟ que emite um pulso na vertical atingindo um espelho no teto que o reflete novamente para O‟ à distância d é a altura do teto). Para facilitar o entendimento veja a Figura 4a. O pulso de luz nesse sistema percorre um distância 2d, de modo que ∆t0 é dado por

O observador B mede um intervalo de tempo ∆t diferente, pois em seu sistema de referencia S os dois eventos ocorrem em pontos diferentes do espaço, durante o intervalo de tempo ∆t a fonte se deslocou uma distância u∆t em relação a S (imagine B vendo o trem se deslocando e junto o ponto O). Então para B a distância que o pulso percorreu não é 2d e sim um valor 2l (veja a Figura 4b) maior dado por

Para isso é necessário admitir que ambos os observadores meçam a mesma distância de d (prova em ANEXO B). Como a velocidade da luz é constante o intervalo de tempo em S para o percurso de ida e volta do pulso é

Deseja-se saber a relação entre ∆t0 e ∆t que não dependa de d. Para isso explicitamos d na equação (8) e algebricamente temos

Sendo (13)

Temos (14) (dilatação do tempo)

Gráfico 1 – Curva do valor de gama (γ) de acordo com a variação da velocidade u em relação à ao sistema S. Fonte: SEARS E ZEMANSKY. Física IV, 10 ed. 2007, p. 150.

Como u é sempre menor que c temos que γ é sempre maior ou igual a um (veja o Gráfico 1) logo ∆t é sempre maior que ∆t0 ocorrendo à dilatação do tempo. Existe apenas um sistema de referência inercial para o qual um relógio está em repouso, existindo uma infinidade de sistemas para o qual este relógio possui velocidade relativa. Portanto o intervalo de tempo entre dois eventos que ocorrem no mesmo ponto, em um referencial que o relógio encontra-se em repouso é uma grandeza mais fundamental do que o intervalo de tempo entre dois pontos distintos e denomina-se tempo próprio. Assim todo observador que se desloca em relação a um relógio mede um tempo mais longo.

Tendo compreendido as explanações anteriores será agora demonstrada à dedução da fórmula do efeito Doppler Relativístico, tratando período T como ∆t. No referencial do observador O temos

, momento que a fonte F emite o sinal eletromagnético de S1 , instante em que o sinal chega a O

∆tf em relação a F (tempo próprio) momento quando F emite outro sinal em S2, sendo ∆to’ no referencial do observador , instante que este último sinal chega a O

d a distância S2 – S1

(Parte 1 de 2)

Comentários