Aplicações Equações Diferenciais

Aplicações Equações Diferenciais

(Parte 1 de 2)

Pesquisa apresentada à disciplina Métodos Matemáticos como pré-requisito à obtenção de parte da nota relativa à primeira unidade.

ORIENTADOR: Serge Magno Brasil.

1 TEMA 2 HISTÓRICO 3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 4 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 5 CIRCUITOS ELÉTRICOS

5.1Circuitos Elétricos de Primeira Ordem 5.2 Circuitos Elétricos de Segunda Ordem

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS

1 TEMA

Investigação de aplicações das Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) 2 HISTÓRICO

As equações diferenciais começaram com o estudo do cálculo por Isaac

Newton e Gottfreied W. Leibniz no século XVII. Newton atuou relativamente pouco na área das equações diferenciais, mas o desenvolvimento do cálculo e elucidação dos princípios básicos da mecânica forneceram a base para a aplicação das equações diferenciais no século XVIII especialmente por Euler.

Newton desenvolveu um método para resolver a equação de primeira ordem dy/dx=f(x,y) no caso em que f(x,y) é um polinômio em x e y usando séries infinitas.

Leinbniz foi um autodidata em matemática. Ele compreendia o poder de uma boa notação matemática assim como o sinal de integral. Também descobriu o método de separação das variáveis para as equações dy / dx = P(y) / Q(x). Em 1691, verificou a redução de equações homogêneas a equações separáveis e o procedimento para resolver equações lineares de primeira ordem.

Ao redor do início do século XVIII, a nova onda de pesquisadores de equações diferenciais começou a aplicar estes tipos de equações a problemas de astronomia e ciências físicas. Jakob Bernoulli, que foi o primeiro a palavra “integral” no sentido moderno, estudou e escreveu equações diferenciais para o movimento planetário, utilizando os princípios desenvolvidos por Newton. Halley utilizou os mesmos princípios para calcular a trajetória de um cometa que hoje leva o seu nome. O irmão de Jakob, Johann Bernoulli, foi, provavelmente, o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz e os princípios da mecânica para modelar matematicamente fenômenos físicos utilizando equações diferenciais e a encontrar suas soluções. Entretanto, cinquenta anos de teoria geral trouxeram significativos avanços, mas não uma teoria geral.

O desenvolvimento das equações diferenciais precisava de um mestre para consolidar e generalizar os métodos existentes. Muitas equações pareciam amigáveis, mas se tornaram decepcionantemente difíceis. O maior matemático do século XVIII, Leonhard Euler identificou a condição para que as equações de primeira ordem sejam exatas. Euler entendeu o papel e as estruturas das funções, estudou as propriedades e definições. Também foi o primeiro a entender as propriedades e os papéis das funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e muitas outras funções elementares. Em um artigo publicado em 1734, Euler desenvolveu a teoria dos fatores integrantes e encontrou a solução geral para as equações de coeficientes constantes, tal como

Depois de Euler vieram vários especialistas que refinaram e entenderam muitas das ideias das equações diferenciais baseadas nas ideias de Euler, utilizando as equações em áreas como física matemática, mecânica, energia, sistemas dinâmicos, astronomia etc. Porém o próximo avanço importante nesse assunto ocorreu no início do século XIX com os pesquisadores Gauss e Cauchy, quando as teorias e conceitos de funções variáveis complexas se desenvolveram. Gauss usou as equações diferenciais para melhorar a teoria das órbitas planetárias e da gravitação. Cauchy aplicou equações diferenciais para modelar a propagação de ondas sobre a superfície de um líquido.

As equações diferenciais são uma parte integral ou um dos objetivos de vários cursos de graduação de cálculo. Assim, é amplamente aceito que as equações diferenciais são importantes para a matemática pura e aplicada.

3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

A equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são funções e a equação envolve derivadas destas funções. Também podemos dizer que a equação diferencial é uma equação que contém derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.

As equações diferenciais podem ser classificadas em EDO (Equações

Diferenciais Ordinárias), quando possui apenas derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, e EDP (Equações Diferenciais Parciais), quando envolve derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a duas ou mais variáveis independentes.

Toda função definida em um intervalo “I” que tem, pelo menos, “n” derivadas contínuas em I, as quais, quando substituídas na equação diferencial de ordem “n”, reduzem a equação diferencial a uma identidade no intervalo. Em outras palavras, a solução de uma equação diferencial de ordem “n” é uma função Φ que tem, pelo menos, “n” derivadas de forma que F(x, Φ(x), Φ'(x),..., Φn(x))=0

4 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

É frequentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos.

Como hipóteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais.

Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio da matemática foi feita pelo economista inglês Thomas Malthus, em 1798. Basicamente, a ideia por trás do modelo malthusiano é a hipótese de que a taxa segundo a qual a população de um país cresce em um determinado instante é proporcional à população total do país naquele instante. Em outras palavras, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas existirão no futuro. Em termos matemáticos, se P(t) for a população total no instante t, então essa hipótese pode ser expressa por

onde k é uma constante de proporcionalidade. Esse modelo simples, embora não leve em conta muitos fatores que podem influenciar a população humana tanto em seu crescimento quanto em seu declínio, não obstante resulta ser razoavelmente preciso na previsão dos Estados Unidos entre os anos de 1790 e 1860.

De acordo com a lei empírica de Newton do resfriamento, a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia. Se T(t) representar a temperatura de um corpo no instante t, Tm a temperatura do meio que o rodeia e dT/dt a taxa segundo a qual a temperatura do corpo varia, a lei de Newton do resfriamento é convertida na sentença matemática

Entre outras tantas aplicações das equações diferenciais poderíamos citar casos como o decaimento radioativo do núcleo de um átomo, a disseminação de uma doença contagiosa em uma comunidade, a decomposição de substâncias químicas através de suas reações, a mistura de soluções com concentrações diferentes, a velocidade do fluxo de um líquido em um buraco com bordas na base de um tanque, o modelo matemático do movimento de um corpo em queda livre com e sem a resistência do ar etc. Além dos modelos matemáticos clássicos, podemos verificar modelos variados como a proporção de memorização de um certo assunto entre outros.

No nosso trabalho iremos enfatizar a aplicação das equações diferenciais em circuitos elétricos, de acordo com a lei de Kirchhorf, onde a tensão aplicada em uma malha fechada deve ser igual à soma das quedas de tensão nesta malha.

5 CIRCUITOS ELÉTRICOS

Gustav Robert Kirchhorf foi um físico alemão que dedicou-se, principalmente, no campo dos circuitos elétricos. Kirchhorf é autor de duas leis fundamentais da teoria clássica dos circuitos elétricos e da emissão térmica.

As leis de Kirchhorf são empregadas em circuitos elétricos mais complexos como aqueles com mais de uma fonte de resistores, capacitores ou indutores em série ou em paralelo. De acordo com a primeira lei de Kirchhorf, “em qualquer nó, a soma das correntes que o deixam é igual a soma das correntes que chegam até ele”. Esta lei é uma consequência da conservação da carga total existente no circuito. A segunda lei de Kirchhorf mostra que “a soma algébrica das forças eletromotrizes em qualquer malha é igual a soma algébrica das quedas de potencial contidos na malha”.

5.1 Circuitos Elétricos de Primeira Ordem

O estudo de circuitos RL e RC mostra que a evolução da tensão ou corrente no tempo exige a resolução de uma equação diferencial de primeira ordem da forma

então, x(t) = xp(t) + xc(t) é uma solução para a equação diferencial acima.

O termo xp(t) é chamado de solução particular ou resposta forçada e xc(t) é chamada de solução complementar ou resposta natural.

Considerando que f(t)=A=constante, a solução geral diferencial consiste de duas partes que são obtidas resolvendo as seguintes equações:

Sendo A constante, a solução xp(t) deve também ser constante, portanto xp(t)=k1. Substituindo na equação, tem-se k1=A/a.

que implica em ln xc(t)=-a.t + C.

Logo, xc(t) = k2.e-a.t. Portanto, a solução da equação (1) é

Para comprovação, podemos verificar o circuito RC:

A equação que descreve o circuito para t > 0 é

derivando a equação em t, temos: cuja solução é da forma

que substituindo na equação diferencial de primeira ordem tem-se portanto, a solução da equação é

5.1 Circuitos Elétricos de Segunda Ordem

Os circuitos elétricos RLC's são aqueles que possuem resistores, indutores e capacitores. Em geral a análise desses circuitos resulta em equações diferenciais de ordens maiores ou iguais a dois. Porém, estaremos estudando as equações de, no máximo, segunda ordem.

Para solucionar uma equação homogênea, pode-se utilizar a solução da equação de segunda ordem padrão

chegando na equação característica

Esta equação característica é usualmente escrita por inspeção direta da equação homogênea padrão

Desta forma é possível a existência de três combinações:

a) quando α > ω0 (Circuito Superamortecido), tem-se a solução da equação homogênea.

(Parte 1 de 2)

Comentários