Camada limite

Camada limite

(Parte 1 de 2)

Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química

A solução de Blasius

Prof. João Jorge Ribeiro Damasceno

Teoria da Camada Limite Hidrodinâmica (Solução de Blasius) 1

Seja o escoamento isotérmico de um fluido newtoniano incompressível paralelamente a uma placa plana, posicionada horizontalmente, de comprimento L e largura W. Utilizando-se as equações da continuidade e do movimento é possível obter informações sobre esse escoamento, que é o ponto de partida para o estudo da camada limite hidrodinâmica desenvolvida sobre a placa.

Define-se como camada limite hidrodinâmica o lugar geométrico do espaço no qual ocorrem modificações no vetor velocidade do fluido. Na Figura 1 é apresentada uma vista esquemática do escoamento, na qual δ(x) é a espessura da camada limite, x e y são, respectivamente, as coordenadas horizontal e vertical. Deve-se observar que fora da camada limite o escoamento é uniforme, pois fluido escoa como se fosse um fluido invíscito (viscosidade nula).

x δ(x)

Figura 1 – Vista esquemática do escoamento de um fluido newtoniano paralelamente à placa plana.

Para a resolução do problema é necessária a adoção de hipóteses simplificadoras. Sejam as seguintes hipóteses

• o ângulo de incidência do fluido à placa é nulo;

• a largura da placa é muito maior que seu comprimento (W<<L);

• o fenômeno é isotérmico e está em regime permanente;

• o fluido é newtoniano e incompressível;

• a velocidade na direção x fora da camada limite é uniforme e igual a v∞;

Percebe-se que se a placa tiver profundidade muito grande vz = 0, o que leva a:

)y,x(ve )y,x(v com vyyxxyx==+=yxeev.

A equação da continuidade deve ser utilizada para fornecer informações úteis a respeito do perfil de velocidades.

Teoria da Camada Limite Hidrodinâmica (Solução de Blasius) 2

Como o fluido em escoamento é incompressível, a equação da continuidade se resume a:

e, como já dito, vz = 0 tem-se então

vyx=∂∂+∂∂(1)

yvx

Uma vez que a componente horizontal da velocidade diminui ao longo da coordenada horizontal

é óbvio que 0

, o que indica que ocorre saída de fluido da camada limite.

Visto que o fluido é newtoniano e incompressível e o sistema é isotérmico, pode-se utilizar a equação de Navier-Stokes para estudar o transporte de quantidade de movimento no problema:

D

em que P é a pressão estática, µ é a viscosidade dinâmica do fluido e g é o vetor intensidade de campo gravitacional.

As três componentes da equação de Navier-Stokes em coordenadas cartesianas retangulares são:

• componente x

xzxyxxx gzvyvxvxPz vvy vvx vvt

• componente y zyzyyyxy g zvyvxvyPz

v y v v x v v

Teoria da Camada Limite Hidrodinâmica (Solução de Blasius) 3

• componente z

zzzyzxz gzvyvxvzPz vvy vvx vvt

Aplicando as hipóteses consideradas e definindo a pressão piezométrica como sendo ξ = P + ρgy , obtêm-se os seguintes resultados:

xyx x yvxv xy vvx

v ,(2)

x yvxv y v v x

v ,(3)
0z=∂∂ξ(4)

v Considerando agora as seguintes simplificações:

• a parcela difusiva 2 x

• a parcela difusiva 2 y v y y∂∂ρ ; obtém-se nas equações (2) e (3) xyx

v∂∂ν+∂∂ξρ−=∂∂+∂∂, (5)

x yvx1y vvx

y x xvy v v x

,(6)

em que ν = µ / ρ é a difusividade de quantidade de movimento ou viscosidade cinemática.

Como, por simplificação, ξ só varia com x, pode-se calcular tal dependência funcional fora da camada limite (y variável) e o resultado será válido para o interior da camada limite. Fora da camada limite os efeitos viscosos são desprezíveis (escoamento invíscito) e pode-se utilizar a equação de Bernoulli para fluidos ideais:

0dvvgdxdP=++ρ∞∞ ,

Teoria da Camada Limite Hidrodinâmica (Solução de Blasius) 4 e tem-se dx dv

d∞∞ρ−=ξ(7)

vdx

Como o ângulo de incidência do fluido à placa é nulo, v∞ é uma constante e tem-se 0dx d=ξ .

Assim, o seguinte sistema de equações diferenciais parciais descreve a camada limite hidrodinâmica formada sobre uma placa plana:

xyx

v∂∂ν=∂∂+∂∂, (8)

x yvy vvx

y x xvy v v x

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