Exercicios resolvidos - Transformada de Laplace

Exercicios resolvidos - Transformada de Laplace

Carlos Henriquerow
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(Parte 1 de 3)

1. Transformada de Laplace.

1.1. Sea f : [0,∞) → < funcion continua a trozos y de orden exponencial. Demuestre que si F(s) denota la transformada de Laplace de f, entonces:

Solucion: f(t) es de orden exponencial ⇒

Notar que la integral de la funcion de la derecha converge para s > c, entonces la transformada de Laplace de f(x) converge absolutamente para s > c.

Luego

(b) La transformada de Laplace de la funcion t−1 2 cosh(t) tiene la forma

Encuentre h(s) y de aquı la expresion final de la transformada. 1

2 Solucion:

sea:

Ocupando estas cotas:∫ T

de esta ultima expresion se debe analizar el primer termino puesto que el segundo existe.

luego

Parte b:

Para obtener la transformada de la funcion t−1 2 se aplica la definicion de trans- formada de laplace y se hace el cambio de variable st = y2, sdt = 2ydy

√ pi

Ocupando esta transformada, se aplica la propiedad:

√ pi

√ pi

Sea

√ pi

√ pi

1.4. Encuentre

5 Solucion:

finalmente

(b)

Solucion 1: Aplicando la definicion de transformada de Laplace:

0 te−stdt +

Solucion 2: (usando escalon unitario)

1.6. Ocupando transformada de Laplace resuelva la siguiente ecuacion diferencial

Solucion

Se asume que la transformada de Laplace de la Serie es la Serie de las transformadas de Laplace:

ST = a0 + a1 + a2 ++ an
aST = a1 + a2 + a3 ++ an+1

Recordando la suma geometrica: luego

Se conocen las transformadas de Laplace:

Ahora se aplica el teorema de Convolucion:

9 finalmente

1.7. (a) Considere el problema con valores iniciales:

Determine la solucion usando transformada de Laplace, para esto suponga que la transformada de la serie es la serie de las transformadas y similarmente para la transformada inversa.

Solucion: parte (a):

luego

n=0 npienpi denotando

n=0 npienpi finalmete

1.8. Usando transformada de Laplace resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Solucion:

Aplicando las condiciones iniciales y escribiendo el problema como un sistema

Entonces:

Ahora se calculan las transformadas inversas:

Finalmente la solucion del sistema de ecuaciones diferenciales es:

[ ett cos(t)

ett sin(t)

1.9. (i) Encuentre las transformadas inversas de Laplace en los siguientes casos:

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