Exercicios resolvidos - Transformada de Laplace

Exercicios resolvidos - Transformada de Laplace

1. Transformada de Laplace.

1.1. Sea f : [0,∞) → < funcion continua a trozos y de orden exponencial. Demuestre que si F(s) denota la transformada de Laplace de f, entonces:

Solucion: f(t) es de orden exponencial ⇒

Notar que la integral de la funcion de la derecha converge para s > c, entonces la transformada de Laplace de f(x) converge absolutamente para s > c.

Luego

(b) La transformada de Laplace de la funcion t−1 2 cosh(t) tiene la forma

Encuentre h(s) y de aquı la expresion final de la transformada. 1

2 Solucion:

sea:

Ocupando estas cotas:∫ T

de esta ultima expresion se debe analizar el primer termino puesto que el segundo existe.

luego

Parte b:

Para obtener la transformada de la funcion t−1 2 se aplica la definicion de trans- formada de laplace y se hace el cambio de variable st = y2, sdt = 2ydy

√ pi

Ocupando esta transformada, se aplica la propiedad:

√ pi

√ pi

Sea

√ pi

√ pi

1.4. Encuentre

5 Solucion:

finalmente

(b)

Solucion 1: Aplicando la definicion de transformada de Laplace:

0 te−stdt +

Solucion 2: (usando escalon unitario)

1.6. Ocupando transformada de Laplace resuelva la siguiente ecuacion diferencial

Solucion

Se asume que la transformada de Laplace de la Serie es la Serie de las transformadas de Laplace:

ST = a0 + a1 + a2 ++ an
aST = a1 + a2 + a3 ++ an+1

Recordando la suma geometrica: luego

Se conocen las transformadas de Laplace:

Ahora se aplica el teorema de Convolucion:

9 finalmente

1.7. (a) Considere el problema con valores iniciales:

Determine la solucion usando transformada de Laplace, para esto suponga que la transformada de la serie es la serie de las transformadas y similarmente para la transformada inversa.

Solucion: parte (a):

luego

n=0 npienpi denotando

n=0 npienpi finalmete

1.8. Usando transformada de Laplace resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Solucion:

Aplicando las condiciones iniciales y escribiendo el problema como un sistema

Entonces:

Ahora se calculan las transformadas inversas:

Finalmente la solucion del sistema de ecuaciones diferenciales es:

[ ett cos(t)

ett sin(t)

1.9. (i) Encuentre las transformadas inversas de Laplace en los siguientes casos:

(b)

(i) Encuentre las siguientes transformadas de Laplace:

Solucion

(i) (a)

(i) (b)

(i) (a)

Por trigonometria

(i) (b)

1.10. Encuentre las siguientes transformadas de Laplace:

14 (en (b) U es la funcion Escalon Unitario)

Solucion

(b)

(c)

1.1. Resuelva el siguiente sistema con condiciones iniciales.

Solucion:

15 Aplicando las condiciones iniciales y escribiendo el problema como un sistema de ecuaciones algebraicas resulta:[ s ω

Entonces:

16 Finalmente las soluciones son:

1.12. (i) Resuelva la ecuacion:

Solucion: Por Laplace:

} = eat sinbt b eat sin bt

b sin bt

= eat cos(bt) + eata b sin(bt)

1.13. Usando transformada de Laplace encuentre la solucion de la ecuacion integral:

Solucion:

1.14. Calcule la transformada de Laplace de la onda cuadrada:

Solucion: Forma 1

w(t) = U(t) − 2U(t − 1) + 2U(t − 2) − 2U(t − 3) +

pi = p

(i) Considere ahora el circuito electrico RLC en serie El voltaje v(t) en el condensador C satisface la ecuacion diferencial

C d2v

RCL dv dt

Calcule el voltaje v(t)por el condensador de la corriente i(t) = Cdvdt (t), si la entrada de voltaje e(t) esta dado por la funcion de la parte (i), y las condiciones

Solucion:

Vi(t) = t − U(t − 1) − U(t − 2) −− U(t − i) − ...

(i)

(i)

dV3

0 Vi(τ)eττdτ dV3

Otra forma:

1.16. Encuentre la transformada inversa de las siguientes funciones:

(b)

(c)

2 Solucion:

(a) Fracciones Parciales :

(b)

Ademas que:

(c)

1.17. Usando transformada de Laplace resuelva los siguientes problemas. (i) Encuentre la solucion de:

EI d4y dx4

Aqui E,I,ω0 son constantes positivas y L > 0. (i) Encuentre la solucion de:

Solucion:

(i)

EI d4y dx4

EIs

Evaluando en L:

OJO Considere que: δ (

Se comportan igual:(δ (

EI L2

EI L2

Fracciones Parciales :

Fracciones Parciales :

1.18. Resuelva por medio de la transformada de Laplace el siguiente problema con condicion:

Solucion:

Calculemos

1.19. Resuelva la siguiente edo:

Solucion:

1.20. Se muestra en la figura un modelo no lineal de una caldera.

Usted podra hacer variar la seal de entrada g(t) (seal de combustible) con el fin de mantener dentro de ciertos rangos de operacion a la variable de salida h(t) (presion del vapor sobrecalentado).

Una buena aproximacion del modelo esta dada por:

a ,b ,c , d , e y f son constantes positivas. q(t)es el calor del horno, m(t) es el flujo masico de vapor generado y r(t) es la presion del vapor saturado.

(a) Encuentre la funcion de trasferencia W(s) = H(s)

Solucion:

(b)

A continuacion, encontrar la solucion si t ∈ [ (n−1)pik , npi k

Solucion:

32 1.2. Considere la ecuacion diferencial:.

(a) Sea f(t) = δ(t) la funcion delta de Dirac. Encuentre y(t) y grafique.

(c) Para la solucion de la parte (b) evalue y(N + c) con N ∈ N. Indique las condiciones necesarias para que y(N + c) converja cuando N → ∞, y demuestre que cuando converje:

(d) Sea f(t) = U(t) el escalon unitario. Encuentre y(t) y bosqueje.

Solucion:

pues

(b) i=0 ba

(c)

i=0 ba i=0 ba

Dado que a > 0 ⇒ siempre converje.

(d)

(e)

1.23. La funcion de transferencia que caracteriza a un motor de corriente continua y que relaciona la frecuencia que gira el motor y(t) y el voltaje de armadura v(t) viene dada por:

if es la corriente de campo constante caracteristica del motor,J es la inercia del motor,b es el coeficiente de friccion viscosa y Ra,La resistencia e inductancia de armadura respectivamente.

Calcular y(t) ocupando el teorema de convolucion.

Solucion:

= k JLa s + bRa+k2 JLa

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