Integrais triplas e duplas ( aplicações)

Integrais triplas e duplas ( aplicações)

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Priscilla Barros Feitosa

Trabalho de aplicações de integrais duplas e triplas

Barra do Bugres

2011

Priscilla Barros Feitosa

Trabalho de aplicações de integrais duplas e triplas

Trabalho apresentado para disciplina de cálculo II, do curso de Engenharia de Produção, da Universidade do Estado de Mato Grosso, ministrado pelo professor Diego Piason.

Barra do Bugres

2011

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO

Este trabalho tem por finalidade, explicar as aplicações das integrais duplas e triplas demonstrando conceitos usados em outras disciplinas, como por exemplo, física e mecânica. Usando imagens e exemplos de fácil entendimento ao leitor.

APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS

A Integral dupla é simplesmente a continuidade, extensão, da integral simples vista em cálculo I. A integral dupla é dada por duas integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável (x e y), e considerando as demais como constantes.

Além disso, pode ser vista como o volume sob a superfície descrita pela função a ser duplamente integrada.

Temos que, determinar área, centro de massa, momento de massa e momento de inércia, são aplicações de integrais duplas.

    1. CÁLCULO DE MASSA

Antes de adentrar nas fórmulas de cálculo de massa, é importante que se tenha alguns conceitos de centro de massa em mente. Cada disciplina (cálculo, física, mecânica etc) pode representar o centro de massa de formas diferentes.

Em física, pode-se dizer que centro de massa é o ponto de aplicação do peso do corpo (p=massa x aceleração da gravidade). Centro de massa é um conjunto de partículas (m1,m2,m3), cujas posições podem ser representadas pelos vetores posição (r1,r2,r3) respectivamente, em relação a um referencial inercial (posições relativas a um observador que seja ele próprio uma partícula ou sistema livre). É uma posição cujo vetor é assim definido:

Onde M, é a massa total do sistema, i.e. a soma de m1,m2,m3 ... mi, sendo i o número do conjunto de partículas.

PROBLEMA PROPOSTO

Três pontos materiais, A, B e D, de massas iguais a m estão situados nas posições indicadas na figura ao lado. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema de pontos materiais.

RESPOSTA

Para uma melhor compreensão do que é CENTRO DE MASSA, podemos analisar o seguinte fato: Se pegar um cilindro e lançá-lo para o alto ele irá girar, há um ponto que não gira, mas define a trajetória parabólica. Veja a figura abaixo.

O movimento de um corpo rígido, ou de um sistema de corpos rígidos, pode ser representado pelo movimento do centro de massa desse corpo ou sistema. Pra isso, admite-se que toda a massa do corpo, ou do sistema, esteja concentrada no centro de massa e que nele estejam aplicadas todas as forças externas.

Essa imagem é transferida para um plano cartesiano, juntamente com as coordenadas das partículas (como foi feito no exemplo acima), permitindo o cálculo do centro de massa.

Outros exemplos:

O centro de massa está localizado no bico do pássaro, o que faz com que ele se equilibre.

Outra experiência fácil de explicar esse conceito é: Coloque a tampa de uma caneta no chão e escolha dois candidatos a tentar pegar a tampa, de preferência que seja um homem e uma mulher. As regras são: mãos para trás e apoiar apenas as “canelas” no chão. O resultado vai ser que: O homem não irá conseguir, pois seu centro de massa se encontra no tórax, e ao tentar pegar perde o equilíbrio, uma vez que seu centro de massa sai do seu ponto de apoio. Com as mulheres é diferente, pois seu centro de massa se encontra nos quadris. (Tome cuidado para não escolher uma mulher muito nova, onde seu corpo não está completamente desenvolvido, pois estas ainda não possuem centro de massa definido).

Para calcularmos a massa necessita-se saber a DETERMINAÇÃO DO MOMENTO DA MASSA, A DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE MASSA E A DETERMINAÇÃO DO MOMENTO DE INÉRCIA.

1.2 DETERMINAÇÃO DA MASSA

Usando conceitos de cálculo, podemos retirar os dados desse plano cartesiano e defini-los em um domínio retangular da seguinte maneira:

R= {f(X,Y) ∈ R² / a < x < b ^ c < y < d}

Tal que D ⊂ R e Φ(x,y) = * f(x,y), (x,y) ∈ D, e, * 0, (x,y) D

Considerando a uma participação para o retângulo R dado por:

P= P [R]= P [a,b] x P [c,d]. O produto cartesiano das participações P [a,b] e P [c,d] resulta em um pequeno (exemplo na figura abaixo) retângulo onde podemos definir a fórmula:

A massa da região D, denotada m (D), será a integral dupla da função (x,y) sobre o domínio D ⊂ R², denotada

Portanto será definida como o seguinte limite:

DETERMINAÇÃO DO MOMENTO DE MASSA

Para calcular o momento de massa usa-se as mesmas considerações acima (cálculo de massa). O momento de massa da região D em relação ao eixo y será dada pelo limite:

E, em relação ao eixo x,

1.4 DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE MASSA

O centro de massa de uma região plana D ⊂ R² finita, com uma distribuição de densidade mássica superficial (x, y), ∀(x, y) ∈ D, é o ponto (x, y) vetorial definido por:

DETERMINAÇÃO DO MOMENTO DE INÉRCIA

Assim como um corpo massivo apresenta sua tendência de permanecer em seu estado inicial de movimento com uma velocidade constante, que inclusive pode ser zero, no caso em que o somatório das forças atuantes é nulo, também existe uma resistência à mudança no movimento rotacional. Esta resistência à mudança em sua velocidade angular é conhecida como momento de inércia do respectivo corpo.

O momento de inércia da região D em relação ao eixo x e y, respectivamente é:

E, em relação a origem temos:

Talvez, olhando tudo isso, pareça um “bicho de sete cabeças”. Entretanto, na prática é bem simples.

EXEMPLOS

Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,2), se a função densidade é (x,y) = 1 + 3x + y.

RESPOSTA: , uma vez que D= {(x, y)/ 0 < x < 1, 0 < y < 2-2x}

Com isso,

E, os momentos são:

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