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PROF.: BRUNO VIANNA 1

Professor: Bruno ViannaTurma: _ _____º turno
Nome:nº _

LISTA DE MATEMÁTICA I - 3º TRIMESTRE (3º ANO)

Introdução

Em 1545, Jerônimo Cardano (1501 – 1576), em seu livro “Ars Magna” (A Grande Arte), mostrou o método para resolver equações do 3º grau que hoje é chamado de Fórmula de Cardano. Aplicando a fórmula de Cardano, seu discípulo Bombelli (1526 – 1572) obteve em seu trabalho “Álgebra” raízes quadradas de números negativos. Embora não se sentisse completamente a vontade em relação a essas raízes quadradas, Bombelli e outros matemáticos da época operavam livremente com elas, aplicando regras usuais da época.

Apenas no século XIX, quando Gauss (1787 – 1855), o grande matemático da época, divulga a representação geométrica dos números complexos

(utilizando a i 1 como unidade imaginária) é que a tal sensação de desconforto desaparece.

Definição

Denomina-se número complexo z toda expressão da forma z = a + bi, onde “a” e “b” são números reais e i2 = – 1.

Obs.: i é denominada unidade imaginária.

Forma Algébrica

IR)zIm(b

IR)zRe(a biaz

Em que: “a” é a parte real de “z” e “b” é a parte imaginária de “z”.

Igualdade ca dicbiazz21

Conjugado

Sendo biaz um número complexo, define-se como complexo conjugado de “z” o complexo biaz .

Divisão z z

Potências de “i”

Para n IN, temos:

Representação Geométrica

Todo número complexo z = a + bi pode ser associado a um ponto P ( a ; b ) do plano cartesiano.

O ponto “P” é denominado afixo ou imagem de “z”.

P ( a , b ) Im

O a Re

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A distância “ ” de “P” até a origem “O” é denominada módulo de “z” e

Denomina-se argumento do complexo “z” a medida do ângulo “ ”, formado pelo semi-eixo real positivo Ox com OP, medido no sentido anti-horário, conforme indicado na figura:)zarg(

Forma Trigonométrica ou Polar )seni(cosz onde “ ” é o módulo e “ ” é o argumento de “z”.

Multiplicação

Potenciação (Fórmula de Moivre)

Abraham de Moivre (1667 – 1754) Radiciação k2 seni k2 cosznn

As raízes n-ésimas de “z” têm módulo igual a n e seus argumentos são obtidos da expressão n substituindo k por números inteiros de 0 até n – 1 .

01) Resolva a equação x2 + 16x + 96 = 0 , no conjunto dos números complexos.

(C) i

03) O valor de i80 é:

(A) -1 (B) 1 (C) i (D) -i

04) (Cesgranrio) O valor de ii2 é igual a:

(A) -1 (B) 1 (C) i (D) -i

05) (RURAL-9) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 - 3i , o valor de a b é:

06) A solução da equação x2 + 4 = 0 em C representa dois números complexos cuja suas formas trigonométricas são:

(A) z1 = 4 cis 0º ez2 = 4 cis 180º
(B) z1 = 2 cis 90º ez2 = 2 cis 270º
(C) z1 = cis 0º ez2 = cis 180º
(D) z1 = 2 cis 0º ez2 = 2 cis 180º
(E) z1 = 4 cis 135º ez2 = 4 cis 45º

07) O número complexo z = -4 , escrito na forma trigonomética, é igual a:

(C) cis 180º (D) cis 360º

08) (UNI-RIO) A forma algébrica do número complexo z = 2 cis 135º

09) (UFMG) A forma trigonométrica do número complexo z = 434 i é:

i i ao número complexo:

(A) 1 + I (B) – 1 + i (C) – 1 – i (D) 1 – I (E) 2 + i

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Re

Im 0

1) (UFF-97) Considere os números complexos m, n, p e q, vértices de um quadrado com lados paralelos aos eixos e centro na origem, conforme a figura abaixo.

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