Máximos e Mínimos - Exercícios Respondidos e Comentados

Máximos e Mínimos - Exercícios Respondidos e Comentados

Matemática Econômica Máximos e Mínimos 1.º Derivada 2.º Iguala a derivada a zero Exercícios 1. O custo total associado a produção de em bem é CT = 2q + 17 e a equação de demanda é q = 20 – p. Determine: a) O preço que maximiza a receita b) O preço que maximiza o lucro a) Primeiro analisamos os dados existentes: CT = 2q + 17 q = 20 – p p = ? Se q = 20 – p, logo: q = 20 – p Pv = 20 – q RT = Pv . q RT = (20 – q) . q RT = 20q – q2 1.º passo: Derivar RT = 20q – q2 RT’ = 20 – 2q ou Rmg = 20 – 2q 2.º passo: Igualar a derivada a zero Rmg = 0 20 – 2q = 0 20 = 2q q = 20 2 q = 10 A quantidade que maximiza a receita é 10, então substituímos na fórmula do preço, temos: Pv = 20 – q Pv = 20 – 10 Pv = 10 O preço que maximiza a Receita é $ 10,0.

2.º Passo: Igualar a derivada a zero Lmg = 0 - 2q + 18 = 0 18 = 2q q = 182 q = 9 A quantidade que maximiza o lucro é 9, então substituímos na fórmula do preço, temos: Pv = 20 – q Pv = 20 – 9 Pv = 1 O preço que maximiza o Lucro é $ 1,0. Prova-se 1. Para Pv = 10, temos: RT10 = 20q – q2 RT10 = 20 . 10 – 102 RT10 = 20 – 10 RT10 = 10

b) LT = RT – CT Já de posse dos dados, substituímos: LT = (20q – q2) – (2q + 17) LT = - q2 + 20q – 2q – 17 LT = - q2 + 18q – 17 1.º Passo: Derivar LT = - q2 + 18q – 17 LT’ = - 2q + 18 ou Lmg = - 2q + 18 Pv = 20 – q q = 20 – Pv q = 20 - 10 q = 10

2. Para Pv = 15, temos: RT15 = 20q – q2 RT15 = 20 . 5 – 52 RT15 = 100 – 25 RT15 = 75 Pv = 20 – q q = 20 – Pv q = 20 - 15 q = 5

3. Para Pv = 5, temos: RT5 = 20q – q2 RT5 = 20 . 15 – 152 RT5 = 300 – 225 RT5 = 75 Pv = 20 – q q = 20 – Pv q = 20 - 5 q = 15

Concluímos que qualquer que seja o preço diferente de 10 receita será menor2. A função custo total de um produto é CT = q2 + 20q + 15 e a equação 2 de demanda é q = 30 – p. Obtenha: a) O preço que maximiza o lucro b) O lucro máximo q = 30 – p, logo: Pv = 30 - q a) Sabendo que LT = RT – CT, necessitamos saber a função receita: RT = Pv . q RT = (30 – q) . q RT = 30q – q2 Agora podemos montar nossa função lucro LT = RT – CT LT = 30q – q2 – (q2 + 20q + 15) 2 LT = 30q – q2 - q2 - 20q – 15 2 1.º Passo: Derivar LT = - 3q2 + 10q – 15 2 Lmg = - 3q + 10

2.º Passo: Igualar a derivada a zero Lmg = 0 - 3q + 10 = 0 10 = - 3q q = 10 3 q = 3,3 Substituindo na fórmula, Pv = 30 – q Pv = 30 – 3,3 Pv = 26,67 O preço que maximiza o lucro é $ 26,67.

b) Para obtermos o lucro máximo substituímos na fórmula a quantidade encontrada: LT = - 3q2 + 10q – 15 2 LT = - 3 . 3,32 + 10 . 3,3 – 15 2 LT = - 16,64 + 3,30 – 15,0 LT ≈ $ 1,6 3. A equação da demanda de um produto é p = 30 – 5lnx a) Ache a função Receita b) Ache o valor de x que maximiza a receita a) Pv = 30 – 5lnx (onde x = q), logo: RT = PV. q, ou seja, neste caso Pv . x Então temos, RT = (30 – 5lnx) . x RT = 30x – 5xlnx b) Temos a função receita RT = 30x – 5xlnx 1.º Passo: Derivar Derivando y = 5x . lnx y = u. v + u.v y = 5 . lnx + ( 5x . 1 ) x y = 5lnx + 5 Rmg = 30 – (5lnx + 5) Rmg = 30 – 5lnx – 5 Rmg = 25 – 5lnx 2.º Passo: Igualar a derivada a zero Rmg = 0 25 – 5lnx = 0 25 = 5lnx lnx = 25 5 lnxe = 5 x = e5 A base do x é “e” e seu logaritmo natural é sua base elevado ao resultado obtido igual a ele mesmo. Exemplos: a) lnxz = 3 O logaritmo de x na base z é igual a 3, logo, z elevado a 3 é igual a x. x = z3 b) lnx5 = 2 x = 52 = 10

4. A função de utilidade de um consumidor é u(x) = 10x . e-0,1x em que x é o número de garrafadas de cervejas consumidas por mês. Quantas garrafas ele deve consumir para maximizar sua utilidade ou satisfação? u(x) = 10x . e-0,1x Deriva, u(x) = u . v + u . v u(x) = 10 x . -0,1e-0,1x + 10 . e-0,1x u(x) = -xe-0,1x + 10e-0,1x Iguala a zero, -xe-0,1x + 10e-0,1x = 0 10e-0,1x = xe-0,1x x = 10e-0,1x e-0,1x x = 10 Exercícios: 1. A função demanda mensal de um produto é P = 20e-x/2. Qual o preço que maximiza a receita mensal? R=7,36 P = 20e-x/2 RT = Pv . x RT = (20e-x/2) . x RT = 20qe-x/2 Rmg = RT u= 20x u = 20 v = e-x/2 v= - 1e -x/2 2 Rmg = u . v + u . v Rmg = 20x . (- 1e-x/2) + 20 . e-x/2 2 Rmg = - 10xe-x/2 + 20.e-x/2 Rmg = 0 0 = - 10xe-x/2 + 20e-x/2 10xe-x/2 = 20e-x/2 x = 20e-x/2 10e-x/2 x = 2 Pv = 20e-x/2 Pv = 20e-2/2 Pv = 20e-1 Pv = 20. 1 e Pv = 20 2,71739 Pv = $ 7,36

b) CM = x2 – 20x + 400 Para x = 0 (no ponto mínimo) CM = x2 – 20x + 400 CM = 02 – 20.0 + 400 CM = 400Cmg = 3x2 – 40x + 400 Cmg = 3.02 – 40.0 + 400 Cmg = 400 CM = 400 = Cmg (no ponto mínimo) 3. A receita mensal de vendas de um produto é RT = 30x – x2 o seu custo é CT = 20 + 4x: a) Obtenha a quantidade que maximiza o lucro. Resp. x = 13 b) Mostre, para o resultado obtido acima, que o custo marginal é igual a receita marginal. a) q = ? Max LT = RT – CT LT = 30x – x2 – (20 + 4x) LT = 30x – x2 – 20 – 4x LT = – x2 + 26x – 20 Lmg = – 2x + 26 Lmg = 0 0 = – 2x + 26 2x = 26 x = 26 2 x = 13

2. Dada a função custo anual CT = x3 – 20x2 + 400x: a) Obtenha o custo médio e o custo marginal b) Mostre que, no ponto mínimo do custo médio, o custo médio é igual ao custo marginal. CT = x3 – 20x2 + 400x a) CM = CT x CM = x3 – 20x2 + 400x x CM = x2 – 20x + 400 Cmg = CT CT = x3 – 20x2 + 400x Cmg = 3x2 – 40x + 400 b) Cmg = CT CT = 20 + 4x Cmg = 4 Rmg = RT RT = 30x – x2 RMg = 30 – 2x Rmg p/ x = 13 Rmg = 30 – 2. 13 Rmg = 30 – 26 Rmg = 4 = Cmg

4. O preço de venda de um produto é Pv = 50,0. Se o custo é CT = 1.00 + 3x + 0,5x2, determine a quantidade que maximiza o lucro. Resp. x = 47 LT = RT – CT RT = Pv . x RT = 50 . x RT = 50x LT = 50x – (1.00 + 3x + 0,5x2) LT = 50x – 1.00 – 3x – 0,5x2 LT = 47x – 1.00 – 0,5x2 Lmg = LT Lmg = 47 – 1x Lmg = 0 0 = 47 – 1x x = 47. 5. Se a função receita de um produto é RT = -2x2 + 40x, obtenha o valor de x que maximiza a receita. Resp. x = 10 RT = -2x2 + 40x Rmg = RT Rmg = - 4x + 40 Rmg = 0 0 = - 4x + 40 4x = 40 x = 40 4 x = 10 4. O preço de venda de um produto é Pv = 50,0. Se o custo é CT = 1.00 + 3x + 0,5x2, determine a quantidade que maximiza o lucro. Resp. x = 47 LT = RT – CT RT = Pv . x RT = 50 . x RT = 50x LT = 50x – (1.00 + 3x + 0,5x2) LT = 50x – 1.00 – 3x – 0,5x2 LT = 47x – 1.00 – 0,5x2 Lmg = LT Lmg = 47 – 1x Lmg = 0 0 = 47 – 1x x = 47. 5. Se a função receita de um produto é RT = -2x2 + 40x, obtenha o valor de x que maximiza a receita. Resp. x = 10 RT = -2x2 + 40x Rmg = RT Rmg = - 4x + 40 Rmg = 0 0 = - 4x + 40 4x = 40 x = 40 4 x = 10

6. A receita marginal de venda de um produto é Rmg = - 4x + 600. Obtenha o valor de x que maximiza a receita. Rmg = - 4x + 600 0 = - 4x + 600 4x = 600 x = 600 4 x = 150 7. O custo total de uma firma é de CT = 0,1x2 + 5x + 200, e a equação de demanda p = 10 – x .Determine x para que o lucro seja máximo. x = 16,6. 20 CT = 0,1x2 + 5x + 200 p = 10 – x 20 LTmáx = ? RT = Pv . x RT = 10x – x2 20 LT = RT – CT LT = 10x – x2 – (0,1x2 + 5x + 200) 20 LT = 10x – x2 – 0,1x2 - 5x - 200) 20 LT = 5x – 3x2 – 200 20 Lmg = 5 – 6x 20 0 = 5 – 6x 20 6x = 5 20 x = 5 6 20 x = 5 . 20 6 x = 16,6 6. A receita marginal de venda de um produto é Rmg = - 4x + 600. Obtenha o valor de x que maximiza a receita. Rmg = - 4x + 600 0 = - 4x + 600 4x = 600 x = 600 4 x = 150 7. O custo total de uma firma é de CT = 0,1x2 + 5x + 200, e a equação de demanda p = 10 – x .Determine x para que o lucro seja máximo. x = 16,6. 20 CT = 0,1x2 + 5x + 200 p = 10 – x 20 LTmáx = ? RT = Pv . x RT = 10x – x2 20 LT = RT – CT LT = 10x – x2 – (0,1x2 + 5x + 200) 20 LT = 10x – x2 – 0,1x2 - 5x - 200) 20 LT = 5x – 3x2 – 200 20 Lmg = 5 – 6x 20 0 = 5 – 6x 20 6x = 5 20 x = 5 6 20 x = 5 . 20 6 x = 16,6

Comentários