EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO E CENTRO DE GRAVIDADE

EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO E CENTRO DE GRAVIDADE

Sumário

1. Objetivo

Usar as equações de deslocamento de uma esfera em um plano inclinado e determinar as velocidade e aceleração angular.

2. Resumo

Foram combinadas as equações de translação e rotação de um corpo rígido, para conseguir determinar a velocidade e a aceleração angular de uma esfera em um plano inclinado após medições do deslocamento e tempo.

3. Introdução Teórica

Uma esfera em movimento produz um gráfico do espaço em função do tempo, que ao ser interpretado podemos retirar a equação do espaço, que quando derivado nos informa sobre a velocidade linear (V). Pode se relacionar a velocidade linear de uma esfera com o raio (R) assim conseguindo velocidade a angular (. Desse modo ao derivar equação da velocidade obtém-se a aceleração angular.

Um corpo rígido é constituído por massa em movimento, logo ele possui energia cinética. Podemos descrever essa energia cinética em termos da velocidade angular do corpo e do momento de inercia (I).

O momento de inercia do centro de massa pode ser descrito pela somatória das massas (M) do corpo multiplicado pelo raio ao quadrado, neste caso adotaremos um corpo rígido e esférico, e ao realizarmos os cálculos chegaremos à equação [1]. No caso do momento de inercia em um ponto P qualquer utilizaremos a equação [3].

No experimento a esfera será solta do repouso no ponto A e chegara ao ponto B, como mostra a figura 1. Como nesse caso a esfera desce rolando sobre um plano inclinado a energia cinética utilizada é rotacional, mostrada na equação [5].

Figura : Deslocamento da esfera

3.1 Equações

  • Momento de Inercia do centro de massa de uma esfera:

[1]

  • Momento de inercia da esfera:

[2]

Substituindo a equação [1] em [2] obtém-se:

[3]

  • Energia em qualquer instante:

[4]

  • Energia cinética rotacional de uma esfera em plano inclinado no ponto B:

[5]

4. Procedimentos

4.1 Materiais Utilizados

  • Esfera de aço;

  • Trilho;

  • Trena e régua;

  • Cronômetro;

  • Paquímetro;

  • Balança semi-analítica.

4.2 Procedimento Experimental

  • Dividir o trilho em 10 em 10 cm a partir do ponto escolhido como saída e terminado no final do trilho;

  • Medir a altura h e a distância d;

  • Pesar a esfera de aço;

  • Medir o diâmetro da esfera;

  • Calcular o ângulo θ;

  • Liberar a esfera e cronometrar o tempo decorrido até a esfera percorrer o primeiro espaço demarcado, repetir 5 vezes;

  • Preceder o analogamente para os demais pontos sempre partindo da origem;

  • Organizar todos os dados colhidos em uma tabela e fazer um gráfico (Sxt).

5. Resultados e Discussão

  1. Dados coletados:

  • Esfera metálica:

∅: (30,15 ± 0,05) mm

Peso: (111,72 ± 0,05) g

  • Trilho:

Altura(H): (10,2 ± 0,5) cm

Comprimento(L): (90 ± 0,5) cm

  1. Utilizando a altura e o comprimento do trilho calcula-se a inclinação θ:

θ = 6°29’

  1. Organizar os dados colhidos no experimento em uma tabela:

Tabela : Distancia (cm) X tempo (cs)

Distância percorrida pela esfera

Tempo 1 (cs)

Tempo 2 (cs)

Tempo 3 (cs)

Tempo 4 (cs)

Tempo 5 (cs)

Media

(cs)

10 cm

67

61

50

45

65

58 ± 9

20 cm

77

68

66

63

71

69 ± 5

30 cm

89

86

83

83

87

85 ± 2

40 cm

132

119

117

105

123

120 ± 9

50 cm

154

144

136

134

151

144 ± 8

60 cm

173

155

153

150

171

161 ± 9

70 cm

180

171

169

166

176

172 ± 5

  1. Gráfico (S x t):

  1. Utilizando o gráfico para calcular a equação do espaço na forma:

Para facilitar os cálculos utilizamos ;

  • Utilizando o gráfico quando , temos que ;

Logo:

  1. Para obter a equação da velocidade deriva-se a equação S(t):

  1. Para obter a aceleração da esfera realiza a derivada segunda da equação S(t):

  1. Com a equação da velocidade, o tempo e o raio calcula-se o valor de ω:

  1. Utilizando a equação [3] calcula–se o momento de inercia:

  1. Utilizando as equações [1], [4] e [5] para verificar se ocorreu conservação de energia no sistema:

  • Primeiro encontra a energia potencial no ponto A com a equação [5], usa-se g = 9.791m/s²:

  • Encontrar o momento de inercia do centro de massa com a equação [1]:

  • Substituir o resultado da equação [1] em [4] para encontra a energia cinética em B:

  • Calcular o erro do experimento:

:

6. Conclusão

Devido à imperícia da medição do tempo, gerando altos desvios, as aproximações nas contas, isso tudo colabora para que haja erro quando se verifica a diferença de energia inicial com a final. Porém ainda é possível determinar a velocidade e a aceleração angular com certa precisão que eram o objetivo do experimento.

7. Referências Bibliográficas

[1] Apostila - Laboratório de Física II, Ilha Solteira - SP - modificada 2ºsemestre de 2008: Prof. Joca.

[2] Young, H.D. e Freedman, R.A. (1980). Sears e Zemansky física I. 12º edição, São Paulo.

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