Seminário Metodo de Euler

Seminário Metodo de Euler

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Introdução

Diversos problemas técnicos e científicos são descritos matematicamente por equações

diferenciais que representam variações das quantidades físicas que os descrevem.

Vemos que o grau (ou ordem) de uma equação diferencial pode

variar. O grau de uma equação diferencial é definido pelo termo da equação que contém a

derivada de maior ordem. Por exemplo, a seguinte equação diferencial y´+x - 2 = 0 é uma

equação diferencial de 1 o grau porque a derivada y´ é de 1 a ordem.. Se a solução de uma equação diferencial y for uma função de uma única variável x, isto é, se y = y(x), então a equação diferencial é chamada de equação diferencial ordinária.

Definição

Uma equação diferencial ordinária de grau n é uma equação que pode ser descrita na

forma geral como:

(1)

sendo que 

(2)

empregando a notação de Leibniz.

Uma equação diferencial ordinária (E.D.O.) de 1a ordem para duas variáveis x e y é

definida como uma equação da forma espacial:

(3)

ou para duas variáveis y e t, na forma temporal como:

(4)

No caso particular f(x,y) = f(x), podemos obter a solução geral para E.D.O. de 1a ordem

por separação de variáveis:

(5)

que pode ser integrada diretamente como:

(6)

onde C é a constante de integração. Para obtermos uma solução particular (ou seja, um valor

específico para a constante C), é necessário fornecer uma condição de contorno para a

equação (2):

(7)

Se y = y(x) é uma solução, então dy/dx = f(x,y) e y0 = y(x0) é a condição de contorno da

equação (2).

Se considerarmos a E.D.O. (3) em que a variável t representa o tempo, então a condição para

obtenção de uma solução particular de (3) é chamada condição inicial (análoga à condição de

contorno, somente que esta se aplica a problemas envolvendo apenas coordenadas espaciais).

Método de Euler

O Método de Euler é um método aproximado de 1a ordem, isto é, ele aproxima a

solução da E.D.O. de 1o grau y(x) = y(x) por uma função de 1o grau, isto é, por uma reta. O

Gráfico 1 ilustra a aproximação da solução exata y = y(x) por uma solução aproximada y ,

obtida pelo prolongamento de uma reta tangente à curva de y = y(x) até o valor de x para o

qual deseja-se obter a solução da E.D.O.

Gráfico 1- Aproximação da solução exata.

A partir da equação diferencial, pode-se observar que a derivada da função y(x) em um ponto qualquer x é dada por f(x,y). Conhecendo-se a derivada da função y(x) no ponto , ou seja [f(x0,yo)] , pode-se estimar o valor da função y(x) no ponto x1 por meio de relações trigonométricas:

Esta relação pode ser generalizada para um ponto i qualquer, resultando na forma de recorrência para solução de equações diferenciais pelo Método de Euler:

(8)

para a qual

(9)

O erro de truncamento local é determinado pela expressão:

(10)

O valor de ξ é desconhecido, entretanto, pode-se definir um majorante para o erro de truncamento local.

Se y(x) possui derivada contínua num intervalo fechado [xn, xn+1], que contém os pontos sobre os quais está sendo feita a discretização, então existe:

(11)

Assim:

(12)

Método de Euler Estendido

Para reduzir o erro de truncamento do Método de Euler, propôs-se a aproximação da solução y(x) = y(x) por uma função de 2a ordem, a partir da série de Taylor, na forma:

(13)

Observar que, além do cálculo da derivada da função y = y(x), este método requer o cálculo da sua derivada segunda também.

Método de Euler Modificado ou Aperfeiçoado

Para evitar o cálculo da derivada segunda, propôs-se o Método de Euler Modificado,

que consiste na correção do valor estimado yi1, tomando-se a derivada da função y = y(x)

em xi+1 e calculando-se a inclinação da reta de aproximação em xi como a média entre as inclinações das retas tangentes em xi e xi+1.

(14)

Exercícios

Seja a E.D.O. y’ = x, com a condição de contorno y(0) = 2. Calcular a solução da E.D.O. empregando o método de Euler em x = 2.

No enunciado do exemplo não foi especificado o valor do sub-intervalo de integração h, de modo que vamos calcular inicialmente com h = 1.

A equação do método de Euler para a E.D.O. do exemplo tem a forma:

yi+1 = yi + hxi

À partir da condição de contorno, x = 0, até o valor de x = 2, existem dois valores da solução a serem calculados: em x = 1 e em x = 2. A seguir estão apresentadas as contas para o cálculo da

solução aproximada da E.D.O. nesses dois pontos.

Assim, a solução da E.D.O. y’ = x em x = 2 é igual a y = 3.

Vamos repetir o cálculo agora para h = 0,5

Assim, a solução da E.D.O. y’ = x em x = 2 é igual a y = 3,5.

Vamos comparar os dois resultados com a solução analítica:

A constante de integração C é avaliada substituindo-se a condição de contorno na solução

analítica:

Desta forma, a solução analítica particular para este problema é:. Calculando-se a solução exata em x = 2, resulta em y(2) = 4.

Assim, o erro da solução pelo método de Euler com h = 1 vale |valor exato - valor aproximado| = |4 - 3| = 1, enquanto que para h = 0,5 o erro vale |4 - 3,5| = 0,5. Observa-se, assim, que quando o intervalo h é reduzido pela metade, o erro

reduz-se pela metade.

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