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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

UNIDADE CONTAGEM

Engenharia Mecânica Noite -3º Período

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

EM CIRCUITOS ELÉTRICOS

INTEGRANTES:

Cleiton Rodrigues

Davi Moura

Fabrício de Matos

Felipe Roberto

Guilherme César

Jorge Dayvison

Luís Fernando

Pedro Igor

Washington Maciel

Willey Rodrigues.

PROFESSOR:João Ricardo Siqueira de Oliveira

Maio, 2011

  1. INTRODUÇÃO

As equações diferencias são objeto de intensa atividade de pesquisa pois apresentam aspectos puramente matemáticos e uma multiplicidade de aplicações práticas em diversas áreas como, medicina, engenharia, química, biologia,etc. Estas equações estão relacionadas com vários fenômenos físicos tais como: mecânica dos fluidos, fluxo de calor, vibrações, circuitos elétricos, reações químicas, dentre várias outros. Além de apresentarem diversas ramificações, neste trabalho abordaremos especificamente as equações diferenciais ordinárias equações que só apresentam derivadas ordinárias - em relação a uma variável.

As equações diferenciais ordinárias (EDOs) modelam vários fenômenos físicos do nosso cotidiano, tanto no campo da engenharia como das ciências físicas e sociais, o que justifica o estudo destes tipos de equações. A aplicações de equações diferencias ordinárias na análise de circuitos elétricos é o nosso objetivo.

  1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Fenômenos físicos freqüentemente envolvem relações entre uma variável independente x e uma variável dependente y, tais relações não são fáceis ou mesmo possíveis de serem descritas com uma função de variável independente[1]:

Às vezes podemos estabelecer a relação entre y e x através de seus valores e derivadas da função desconhecida .

Em circuitos elétricos, por exemplo, desejamos encontrar a tensão como uma função do tempo, v(t), que pode ser escrita como uma relação das derivadas de v no tempo e das propriedades do circuito.

Uma função expressa como uma função da variável independente x, da variável independente y e suas derivadas é dita equação diferencial.

Uma relação que envolve derivadas ate ordem n é dita equação diferencial ordinária(EDO), podendo ser colocada na forma matemática:

As equações diferenciais ordinárias podem ser classificadas pela ordem e pela linearidade. A ordem de equação diferencial ordinária é a ordem da mais alta derivada

presente na equação.

  1. APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS EM CIRCUITOS ELÉTRICOS

As características tensão-corrente do capacitor e do indutor introduzem as equações diferenciais na análise dos circuitos elétricos.

As Leis de kirchoff e as características tensão-corrente dos elementos conduzem, em conjunto,a uma equação diferencial linear, cuja solução define a dinâmica temporal das variáveis corrente e tensão elétrica nos diversos componentes do circuito.[2]

De acordo com a ordem e as características da equação diferencial obtida, classifica-se os circuitos, e as respectivas soluções, de acordo com:

  • Ordem da Equação:

  • Circuitos de 1ª ordem :Exemplo: RL,RC  Equação Linear de 1ª Ordem

  • Circuitos de 2ª ordem :Exemplo; RLC  Equação Linear de 2ª Ordem

  • Tipo de Solução:

  • Equações Diferenciais Lineares Homogêneas

  • Equações Diferenciais Lineares não-Homogêneas

Para compreendermos a análise dos circuitos de 1ª e 2ª ordem, é importante termos em mente alguns conceitos básicos de eletricidade:

  1. A intensidade da corrente elétrica i é a taxa de variação da carga elétrica Q em relação ao tempo que passa por uma seção transversal de um condutor, isto é .

  2. A capacitância C de um capacitor a uma carga elétrica Q,com uma diferença de potencial v entre as placas é .

  3. A lei de Ohm: a diferença de potencial V nos terminais de um resistor de resistência R submetido a uma intensidade de corrente I é dada por

    1. Modelagem de Equações Diferenciais com Circuitos elétricos

Objetivando ilustrar a modelagem de equações diferenciais desenvolveremos a seguir modelos de sistemas dinâmicos e demonstraremos exemplos práticos.

  • Circuito RC

  • Circuito RLC

      1. Circuito RC

Figura 1: Circuito RC[3]

O circuito RC, como ilustra a figura 1, é um circuito que tem um resistor de resistência R, um capacitor de capacitância C e um gerador que gera uma diferença de potência ou uma força eletromotriz E(t) ligados em série. A queda de potencial num resistor de resistência R é igual a e num capacitor de capacitância C é igual a .

Pela segunda lei de Kirchoff (lei das malhas) a soma das forças eletromotrizes (neste caso apenas E(t)) é igual a soma das quedas de potencial(neste caso na resistência e no capacitor), ou seja,[4]

Como , então a carga q(t) no capacitor satisfaz a equação diferencial:

Exemplo prático

  1. Um circuito RC série com uma bateria que gera tensão de 100V, tem uma resistência de 200Ω, um capacitor de A chave K1 é fechada em t=0, encontre a carga inicial Q(t)e a corrente i(t) no capacitor , a tensão no resistor Vr (t) e a tensão no capacitor Vc(t)em cada instante t, sendo a carga inicial do capacitor q(0)=0.

Figura 2: Circuito RC representativo do exemplo 1

Como foi visto na teoria analisando o circuito temos que pela segunda lei de Kirchoff (lei das malhas):

Substituindo os dados do exercício, temos :

A equação é linear. Multiplica-se a equação pelo fator integrante

Integrando-se obtemos:

Substituindo os valores iniciais t=0 e Q=0 obtemos:

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