Matemática (frações)

Matemática (frações)

(Parte 2 de 2)

A

gora vamos ver o que acontece quando dividimos o numerador por um mesmo número. Usando o exemplo acima, é evidente que, se passamos de 2/5 para 6/15, multiplicando por 3, podemos fazer o caminho inverso e voltar a 2/5 , dividindo por 3 o numerador e o denominador de 6/15.

Quando fazemos isto, dizemos que a fração 6/15foi simplificada. Note que nem toda fração pode ser simplificada. Por exemplo, a fração 2/5 não pode ser mais simplificada porque não podemos dividir seu numerador e seu denominador por um mesmo número para obter números naturais menores que 2 e 5. Dizemos que 2/5 é uma fração irredutível.

Mariana já está na 5ª série e sempre gostou de estudar as frações. Sabe desenhar 2/3 de uma figura, calcular 3/5 de 60, somar 2/3 com 2/5. Pedimos a Mariana que nos dissesse um número entre 0 e 1. Após pensar um pouco, Mariana disse: 0,8.

• Muito bem! Está certo! Mas por que você não disse uma fração como 1/2 ou 2/3? Ficamos surpresos com a resposta: • Frações não são números! Realmente, em certos casos, as frações não parecem números. Vejamos dois exemplos:

Sombreamos 5/6 do circulo. A fração não parece numero. Ela indica uma parte de uma figura ou uma relação parte – todo.

5/6 de 120 é: (120:6).5 = 100. A fração não parece número. Ela pode ser interpretada como uma maneira de indicar operações a serem feitas.

Nesses casos as frações não parecem números porque não indicam claramente quantidades e também não indicam medidas. No entanto, já vimos que as frações podem indicar medidas e quantidades:

O segmento AB mede 1/2 centímetro.

N

este caso, a fração parece um número, não é? Isto nos leva a considerar as frações como números. Algumas frações se confundem com os números naturais. Por exemplo:

Outras como 3/5 e 27/8, não podem ser substituídas por números naturais, mas nem por isso deixam de ser consideradas números. Os matemáticos deram o nome de números racionais a todos os números que podem ser escritos sob a forma de fração com numerador e denominador inteiros. Era uma vez um ótimo professor de Matemática e um aluno muito esperto, daqueles que não perdem a ocasião de fazer perguntas para atrapalhar o professor. O professor foi explicando frações e ia tudo muito bem até o dia em que fez vários desenhos no quadro-negro e pediu aos alunos que copiassem os desenhos e escrevessem em baixo de cada um a fração correspondente. Nenhum problema. Praticamente todos os alunos acertaram:

O professor, muito satisfeito, enfatizou aquilo que todos estavam vendo: • As figuras da esquerda mostram pedaços da unidade representados por frações. As da direita podem ser representadas por frações, mas correspondem a unidades inteiras. E acrescentou: • Apesar dessa diferença, todos esses números são chamados números racionais. Zezinho, o aluno esperto, pulou na cadeira e, todo irônico: - Professor, por acaso existem números irracionais!? Ou o senhor está brincando com a gente? Eu pensava que a Matemática era toda racional!? O professor, que era brincalhão, respondeu muito sério, imperturbável:

-Existem números irracionais. Aliás, são muito mais interessantes do que os racionais. Você vai conhecê-los daqui a cinco ou seis anos. Foram os gregos que descobriram esses números, através da geometria. Eles descobriram que certas grandezas não podem ser expressas por meio de frações com numerador e denominador inteiros. Mas não se impressione com essa designação "racionais". Os Matemáticos poderiam ter inventado outros nomes.

O sinal tocou. O professor saiu da sala conversando com o Zezinho: • Tomara que você ainda seja meu aluno daqui a cinco ou seis anos. Vamos nos divertir muito juntos, com a história dos irracionais. Zezinho acabou fazendo curso de Matemática na faculdade e se tornou professor de Matemática

Operações com Frações

Adição

A idéia de juntar corresponde, na Matemática, à adição. Podemos então somar Frações 2/5 + 1/5 .

Representando-as em figuras e juntando as partes indicadas. Vejamos a Adição

Este exemplo justifica a regra utilizada para somar frações:

Para somar frações de mesmo denominador, somamos os numeradores e conservamos

o denominador.

No entanto, quando as frações têm denominadores diferentes, aparece uma dificuldade.

Como vamos somar 1/4 e 1/6 por exemplo ?

A

gora precisamos descobrir a que fração corresponde a parte sombreada que representa 1/4 + 1/6. A solução do problema está no fato de que é possível escrever 1/4 de muitas outras maneiras, o mesmo ocorrendo com 1/6. Procuraremos,então, nas várias escritas de 1/4 e de 1/6, aquelas que tem denominadores iguais:

A

gora, sim, podemos somar: em vez de escrever 1/4, escrevemos 3/12, e em vez de 1/6, escrevemos 2/12. Este processo se chama “ reduzir frações ao mesmo denominador”. Depois que as frações estão com o mesmo denominador, efetuamos a adição:

Para visualizar esta adição, desenhamos novamente o retângulo e o dividimos em 12 partes:

Podemos, então, formular a regra:

Para somar frações com denominadores diferentes, reduzimos as frações ao mesmo

denominador e aplicamos a regra anterior.

Subtração

P

ara subtrair frações, usa-se um processo semelhante ao da adição. Vejamos, por exemplo, como efetuar 1/4 - 1/5 :

Dos 4/5 tiramos 1/5:

Restam 3/5.

Portanto 4/5 – 1/5 = 3/5.

Quando os denominadores são diferentes,podemos torná-los iguais usando o mesmo procedimento utilizado na adição. Por exemplo, vamos efetuar a subtração: 1/2 – 1/16.

P

rocuramos frações que sejam iguais a estas, mas que tenham o mesmo denominador.

E

efetuamos a subtração:

Podemos representar esta subtração por meio de um retângulo dividido em 16 partes:

Tirando 1/16 de 8/16, restam 7/16.

Portanto, as regras para a subtração são análogas às da adição:

Para subtrair frações que têm o mesmo denominador, subtraímos os numeradores e conservamos o denominador.

Para subtrair frações que têm denominadores diferentes, reduzimos as frações ao mesmo denominador, subtraímos os numeradores e conservamos o denominador.

Multiplicação

Sabemos que 3 x 5 = 5 + 5 + 5 =15.

D

a mesma forma:

N

estes dois exemplos estamos utilizando a idéia de que multiplicar por 3 é somar 3 parcelas iguais. O problema é que não podemos utilizar essa mesma idéia para efetuar, por exemplo,

Esta multiplicação não é uma adição de parcelas iguais. Em casos como este devemos considerar a multiplicação de outra maneira. Sabemos que expressões como "o dobro de", "o triplo de", etc., estão relacionadas com multiplicações. Estas expressões são expressões multiplicativas.

Analogamente, as expressões "a metade de", "a terça parte de", "a quarta parte de", ou 1/2 de, 1/3 de, 1/4 de, conduzem as divisões.

P

ara se ter a metade, é necessário dividir por 2. Para se ter a terça parte, é necessário dividir por 3. E assim por diante. Vamos utilizar essas idéias e nos apoiar em desenhos para interpretar a multiplicação de frações. Comecemos pelo exemplo citado:

O que queremos saber é quanto vale "o dobro" da "terça parte" de 4/9.

C

omecemos por representar 4/9.

Depois marcamos a “terça parte” de 4/9:

Por último, marcamos “o dobro” da “terça parte” de 4/9:

A

gora, vamos repetir o desenho destacando apenas o resultado:

Q

uanto vale a parte marcada, em relação ao retângulo todo?

A parte marcada corresponde a 8/27 do retângulo todo. Concluímos que

Podemos resumir tudo isso numa regra simples:

P

ara multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si. Para confirmar esta regra, podemos testá-la em outras multiplicações:

Vamos calcular

T

emos 1/4

Q

ueremos a metade de 1/4

A figura nos mostra que a metade 1/4 é 1/8, ou seja:

Agora vamos calcular:

D

ividimos 1/3 em 4 partes:

A

gora tomamos 3 dessas partes:

Ou seja,

Existem frações que, multiplicadas, resultam na unidade. Vejamos um exemplo:

S

eguindo a regra da multiplicação, vamos multiplicar a fração 2/3 pela 3/2.

Um desenho mostra que 6/6 equivalem à unidade:

P

odemos chegar à mesma conclusão por outro caminho. Como já vimos, se queremos achar o resultado de ,devemos primeiro achar a metade de 2/3:

e, depois, 3 vezes a metade de 2/3:

C

hegamos, então, ao mesmo resultado anterior:

Dizemos que 3/2 é o inverso multiplicativo 2/3. Este fato será usado logo adiante.

Divisão

Temos três caminhos para chegar ao resultado de uma divisão de frações.

1° caminho:RE PA RT INDO

Podemos encontrar o resultado de algumas divisões de frações utilizando a idéia de

repartir. Por exemplo, se repartimos 1/3 de uma barra de chocolate entre 2 crianças, cada uma

receberá a metade de 1/3 da barra:

E

ntão o resultado da divisão de 1/3 por 2 é 1/6. Escrevemos

2° caminho: QUANTAS VEZES CABE?

Em outros casos encontramos o resultado verificando quantas vezes um número cabe no outro. Com números naturais estamos acostumados a fazer isto. Por exemplo, se queremos achar oresultado de 8 dividido por 4, procuramos quantas vezes 4cabe em 8. Como 4 cabe 2 vezesem 8 (2 x 4 = 8), dizemosque 8 : 4 = 2.

P

odemos aplicar esta idéia a frações. Quando procuramos o resultado de estamos querendo saber quantas vezes 1/4 cabe em 1/2. Um desenho responde imediatamente:

e

ntão podemos escrever:

Como se pode perceber, as idéias de "repartir" e de "quantas vezes cabe" são equivalentes. É

uma questão de se achar mais fácil ou mais difícil usar cada uma delas, em cada caso.

18

(Parte 2 de 2)

Comentários