Geometria Espacial

Geometria Espacial

Geometria Espacial

Prof. : Filardes Freitas

E- M AIL: filardes@ if ma.edu.br

MS N: fdj_ f @hotmail. co m São Luis 2011

Prof.: Filardes Freitas

Geometria Espacialéo estudo da geometria no espaço, onde estudamos as figuras que possuem mais de duas dimensões, essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais, são conhecidas como: prisma, pirâmides, cone, cilindro, esfera.

•Prisma: caixa de sapato, caixa de fósforos. •Cone: casquinha de sorvete.

•Cilindro: cano PVC, canudo.

•Esfera: bola de isopor, bola de futebol.

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Nesta primeira vídeoaula abordaremos os capítulos 1 e 2 que tratam de conceitos, postulados da geometria posicional que nos darão suporte para resolvermos diversas situações– problemas que envolvem os sólidos geométricos ou figuras geo métricas espaciais.

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Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, retae plano, então serão aceitos sem definição.

As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte for ma:

•Pontossão representados por letras maiúsculas latinas, A, B, C, D, etc.

•Retassão representadas por letras minúsculas latinas, r, s, t, u, v, x, etc

•Planossão representados por letras gregas minúsculas. Plano alfa, beta, gama, etc.

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Pontos colinearessão pontos que pertencem a uma mesma reta.

Semi-retasum ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semiretas que são denominadas semiretas opostas.

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Segmentos consecutivos dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles étambém extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro.

Segmentos colineares dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta suporte.

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Segmentos congruentes são aqueles que têm as mesmas medidas. Na figura abaixo, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD édenotada por AB~CD, onde “~”éo símbolo de congruência.

Postulado da existência a)Existe reta e numa reta, bem como fora dela, háinfinitos pontos. b) Existe plano e num plano, bem como fora dele, uma infinidade de pontos.

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Postulado da determinação a) Dados dois pontos distintos do espaço, existe uma, e somente uma, reta que os contém.

b) Dados três pontos não colineares do espaço, existe um, e somente um plano que os contém.

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Faça a representação gráfica das semi-retas AB e AC que estão sobre a mesma reta suporte r e que são infinitas e têm sentidos contrários.

Dados três pontos A, B e C não colineares, identifique quantas retas existem passando cada uma por dois destes três pontos.

Exemplo: 01 Exemplo: 02

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Postulado da Inclusão

Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano, ela está contida no plano.

Duas retas são concorrentes se, e somente se, elas têm um único ponto comum.

Retas concorrentes

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Duas retas são chamadas reversas se, e somente se, não existe plano que as contenha.

Retas reversas

Duas retas são paralelas se, e somente se, ou são coincidentes ou são coplanares e não têm ponto co mu m.

Retas paralelas

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Existem quatro maneiras de se determinar um plano, são elas:

Plano

•por três pontos não colineares; •por uma reta e ponto fora dela;

•por duas retas concorrentes;

•por duas retas paralelas distintas.

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As relações de paralelismo entre retas, retas e planose entre planos, podem ocorrer em diversas situações nas quais podem ser deduzidas a partir do paralelismo de outras retas e planos. Algumas delas são:

Paralelismo e posições relativas entre reta e plano

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As relações de perpendicularismo entre retas, retas e planos e entre planos, podem ocorrer em diversas situações nas quais podem ser deduzidas a partir do perpendicularismo de outras retas e planos. Algumas delas são:

Perpendicularismo

Obs.:Se duas retas r e s formam ângulo reto, então elas são perpendiculares ou ortogonais,

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Projeção éo processo pelo qual se incidem raios sobre um objeto em um plano chamado plano de projeção. A projeção do objeto ésua representação gráfica no plano de projeção. Como os objetos têm três dimensões, sua representação num plano bidimensional se dáatravés de alguns artifícios de desenho, para tanto, são considerados os elementos básicos da projeção:

Projeções

•plano de projeção; • Objeto;

•raio projetante;

•centro de projeção.

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Assinale verdadeiro ou falso para as afirmações abaixo.

( ) Duas retas concorrentes têm um único ponto em comum.

V Exemplo: 03

( ) Duas retas perpendiculares têm um único ponto em comum.

( ) Duas retas que não têm ponto comum são reversas. V

( ) Duas retas coplanares ou são paralelas ou são concorrentes. F

( ) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então elestêm uma reta comum que passa pelo ponto.

( ) Dois planos secantes têm interseção vazia. V

( ) Se duas retas forma um ângulo reto, então elas são perpendiculares. F

( ) A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano éum ponto. V

( ) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano éuma reta.

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Poliedrossão os sólidos mais elementares da Geometria de concepção humana. Basicamente, um poliedro começa desde um plano e vai atéum n-edro.

Diedrossão poliedros limitados por apenas dois planos. Estes planos inteceptam-seem uma reta da qual todos os pontos desta reta estão contidos em ambos os planos.

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Triedrospodemos dizer com segurança que duas paredes da sala de aula, se seinterceptando e interceptando o chão, então isto éum triedro. Triedro éa intersecção entre três planos, tendo em comum entre eles as três retas resultantes mais todos os pontos contidos nestas retas.

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Diz-se poliedro todo sólido limitado por polígonos planos. Os polígonos, chamados faces do poliedro, são colocados lado a lado, não pertencentes ao mesmo plano, definindo um trecho fechado no espaço. Os poliedros são divididos em três grupos:

•os regulares (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro) • os se mi- regulares (tetratroncoedro, cuboctatroncoedros, dodecaicositroncoedros).

•os irregulares (pirâmides e prismas).

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Os poliedros também se classificam em:

• convexos • côncavos

Obs.:Uma região do plano se diz não convexa quando o segmento de reta, ligando dois pontos quaisquer da figura, não estiver totalmente contido nela, caso contrário ela écônvexa.

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Poliedros regulares convexos e estrelados

•Convexos: tetraedro (quatro faces), hexaedro (seis faces), octaedro (oito faces), dodecaedro (doze faces) e icosaedro(vinte faces) .

• Estrelados

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Relação de Euler

Para todo poliedro convexo, ou para sua superfície, vale a relação muito importante entre o número de faces (F), vértices (V) e arestas (A) desse poliedro convexo.

A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo em que V é o número de vértices e r éum ângulo reto édado por:

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Classifique os polígonos a seguir em convexos ou côncavos. Um poliedro convexo tem 6 vértices e 12 arestas. Quantas faces tem?

Convexo

Côncavo

Exemplo: 04 Exemplo: 05

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Poliedros de Platão

Um poliedro échamado poliedro de Platão se, e somente se, satisfaz as três seguintes condições:

•todas as faces têm o mesmo número nde arestas. •todos os ângulos poliédrico têm o mesmo número mde arestas.

•Vale a relação de Euler V + F –A = 2.

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Um poliedro convexo tem 9 faces, sendo 7 quadrangulares e 2 triangulares. Quantos são seus vértices?

Primeiro vamos achar o número de arestas.

9 Faces ⇒ 7 quadrang.

Exemplo: 06

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A bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa de 1970foi inspirada em um conhecido poliedro convexo ( descoberto por Arquimedes) formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Pergunta-se quantos vértices possui tal poliedro.

32 Faces ⇒ 12 pentagonais

Exemplo: 07

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Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas tem de cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é64 retos?

F3= 7 e F7= 5

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Suponha que o volume da terra acumulada no carrinho-de-mãodo personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura abaixo, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo.

o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho em decímetros cúbicos éigual a:

Exemplo: 09

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Para resolvermos este problema precisaremos recorrer ao volume de um prisma e de uma pirâmide temas que trataremos no próximo capítulo, mas iremos discutir os seus procedimentos.

O plano que contém a base do paralelepípedo écoincidente com o plano da base da pirâmide, cuja área vale:

O volume médio de terra que Hagar acumulou em 20 anos foi: 300dm 3

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•Qual éa quantidade de volume que um sólido ocupa no espaço? Essa éuma das principais perguntas quando desenvolvemos trabalhos com sólidos geométricos.

•Quando se determina a área de um sólido, ou o seu volume, na verdade estamos estabelecendo paralelos para comparar unidade de área ou de volume, que se traduz em um valor numérico.

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Um pouco mais de história dos sólidos

O volume de alguns sólidos são tratados por Euclides no Livro XII dos Elementos. Euclides sabia calcular os volumes do prisma, do cilindro, do cone e da pirâmide, mas não apresentou uma fórmula do volume da esfera. Arquimedes (287 a 212 a.C.) foi o primeiro a efetuar, com rigor e elegância, o cálculo do volume da esfera no livro Superfície e volume do cilindro e da esfera. No entanto, esses métodos desenvolvidos pelos matemáticos antigos eram pouco eficazes.

O método mais eficiente e geral que se usa hoje em dia para obter fórmulas do volume dos chamados “Três corpos redondos” (cilindro, cone e esfera) éo cálculo infinitesimal, com a integração de funções elementares. O cálculo foi desenvolvido na segunda metade do século 17, por Newton e Leibniz, a partir de trabalhos iniciais de Fermate Descartes.

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No começo do século 17, o padre italiano BonaventuraCavalieri, discípulo de Galileu, deu um passo importante na mesma direção com seu livro “Geometria dos Indivisíveis”. Ali estáenunciado seu princípio. Cavaliericonsiderava uma região plana como formada por cordas paralelas e um sólido como constituído de placas planas paralelas.

Um pouco mais de história dos sólidos

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O prisma éum poliedro irregular compreendido entre dois polígonos iguais e paralelos, e cujas faces laterais são paralelogramos. Os dois polígonos iguais e paralelos são as bases do prisma; o número de faces laterais é igual ao número dos lados das bases.

β r

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•Bases: polígonos convexos. •Faces laterais: os lados do polígono.

•Arestas da base: os lados dos polígonos.

•Altura: distância entre os planos paralelos.

O prisma tem dois tipos de arestas

(AB, A’B’,, FA, F’A’).

arestas das bases

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•A distância hentre as duas bases do prisma éa altura do prima.

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Um prisma éclassificado pelo tipo de polígono que constitui suas bases.

P. hexagonalhexágono

P. pentagonalpentágono

P. quadrangularquadrado

P. triangulartriângulo PrismaPolígonos das bases

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Hexaedro Octaedro

Eneaedro Heptaedro

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Um prisma pode ser classificado, também, pela posição das arestas laterais em relação ao plano da base.

prisma reto, se as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; prisma oblíquo, se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Nos prismas retos, as arestas lateraissão alturase as faces laterais são retângulos.

Prisma triangular retoPrisma Pentagonal oblíquo h h

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Todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares échamado de prisma regular.

O prisma éreto e

ABC étriângulo eqüilátero ⇒

Prisma triangular regular

O prisma éreto e a

Base éhexágono regular ⇒

Prisma hexagonal regular

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Vamos aprender a calcular áreas e volumes em prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas retos em que

As arestas laterais são alturas; As faces laterais são retângulos;

Área Lateral (AL ) –Soma das áreas dos retângulos;

Área da base (AB ) –Área do polígono da base;

Área total (AT ) –Soma da área lateral com as bases.

AT = AL + 2A

V = AB . h

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A figura a seguir mostra um prisma triangular reto, com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a área total desse prisma.

Exemplo: 01

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Num prisma hexagonal regular, a altura mede 6 m e a área de cada base é24√3 m2 . Achar sua área lateral.

Exemplo: 02

Af = b.h

O polígono da base écomposto por seis triângulos eqüiláteros

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Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo são congruentes entre si, ele échamado cuboou hexaedro regular.

Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo são congruentes entre si, ele échamado cuboou hexaedro regular.

a→medida de cada uma das arestas

D d→diagonal da face

D→diagonal do cubo

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DIAGONAIS DO CUBO Obtendo os valores de Dem função da medida ada aresta.

a d

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Área da superfície total e volume do cubo

Planificando a superfície total de um cubo de aresta a, obtemos a figura.

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A área da superfície total de um cubo é54 cm 2 . Obter a medida da diagonal da face e da diagonal do cubo?

Exemplo: 03

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O paralelepípedo retângulo éum prisma quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes.

a, b e c→As dimensões do paralelepípedo.

a c

Suas doze arestas são quatro a quatro congruentes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.

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Diagonal do paralelepípedo

Diagonal de um paralelepípedo étodo segmento cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face.

b a c D

eD2

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Área da superfície total e volume do paralelepípedo

Planificando a superfície total de um paralelepípedo de dimensões a, b e cobtemos a figura.

a c b c ab ac bc bc

AT = 2ab + 2ac + 2bc

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A área da superfície total de um paralelepípedo é248 cm2 . suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?

Exemplo: 04

As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k,

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