Apostila Planejamento

Apostila Planejamento

(Parte 1 de 12)

Capitulo 1- Introdução

Praticamente em todas as áreas do conhecimentos o uso da estatística em especial das técnicas de planejamento de experimentos são imprecendiveis para as tomadas de decisão visando a avaliação de novos procedimentos ou a otimização de processos e produtos.

Segundo Montegomery(2001), um experimento planejado é um teste, ou série de testes, no qual são feitas mudanças propositais nas variáveis de entrada de um processo, de modo a podermos observar e identificar mudanças correspondentes na resposta de saída.

Figura 1.1: Modelo geral de um processo

O processo, como mostra a Figura 1, pode ser visualizado como uma combinação de máquinas, métodos e pessoas, que transforma um material de entrada em um produto de saída. Este produto de saída pode ter uma ou mais características da qualidade observáveis ou respostas. Algumas das variáveis do processo são controláveis, enquanto outras, são não-controláveis(embora possam ser controláveis para efeito de teste). Algumas vezes, esses fatores não-controláveis são chamados fatores de ruído. Os objetivos do experimento podem incluir

  1. Determinação de quais variáveis são mais influentes na resposta .

  2. Determinação do valor a ser atribuído aos ’s influentes de modo que esteja perto da exigência nominal.

  3. Determinação do valor a ser atribuído aos ’s influentes de modo que a variabilidade em seja pequena.

  4. Determinação do valor a ser atribuído aos ’s influentes de modo que os efeitos das variáveis não-controláveis sejam minimizados.

Assim, métodos de planejamento experimental podem ser usados tanto no desenvolvimento do processo quanto na solução de problemas do processo, para melhorar o seu desempenho ou obter um processo que seja robusto ou não-sensível a fontes externas de variabilidade.

Aplicação dos Planejamentos Experimentais na Industria são fundamentais para desenvolvimento de novos produtos e para o controle de processos. Nesta área é comum aparecer problemas em que se precisa estudar várias propriedades ao mesmo tempo e estas, por sua vez, são afetadas por um grande número de fatores experimentais. È papel de técnicas de planejamento de experimentos, auxiliar na fabricação de produtos com melhores características, na diminuição do seu tempo de desenvolvimento, aumentar a produtividade de processos e minimizar a sensibilidade a fatores externos (NETO et al., 2001).

A análise de dados para os modelos de planejamento de experimentos fica praticamente inviabilizada sem o uso de softwares específicos. Neste material é apresentado as possíbilidades de análise de dados para modelos de planejamento pelo software R.

O software R, que é uma linguagem e ambiente para computação estatística e gráfica de domínio público (VENABLES e SMITH, 2001), atualmente muito difundido nos grandes centros, contudo pouco conhecido em Goiás. Este software pode ser uma ótima alternativa para o trabalho com Análise de Experimentos, pois, tem apresentado igual ou superior eficiência para análise de dados, além de haver material disponível na internet e listas de discussão que servem como guia de suporte e aprendizagem.

Nesta apostila serão apresentados um resumo dos principais modelos de planejamento de experimentos, dentre os quais destacamos: Planejamento completamente aleatorizado com único fator, Planejamento completamente aleatorizado com blocos, Planejamento Fatoriais e Planejamentos Hierarquicos e para cada modelo apresentou-se a sequencia de comandos em R para a análise estatística dos modelos, que geram os resultados finais como o Quadro da ANOVA, as Comparações Multiplas e a Análise de Resíduos.

Capítulo 2- Elementos Básicos da Experimenta-ção

Segundo Werkema & Aguiar (1996), para se realizar de forma eficiente um experimento, deve-se ser utilizada uma abordagem científica para o planejamento.

Esta abordagem é identificada por meio do termo planejamento estatístico de experimentos, que se refere ao procedimento de planejar um experimento de forma que os dados apropriados sejam coletados em tempo e custo mínimos. A análise destes dados por meio de técnicas estatísticas resultará em conclusões confiáveis.

Portanto existem dois aspectos fundamentais em qualquer estudo experimental: o planejamento do experimento e a análise estatística dos dados. Estes dois aspectos devem ser bem avaliados, já que a técnica de análise depende diretamente do planejamento utilizado.

Um dos grande problemas dos estudos experimentais é a coleta de dados. Se os dados forem coletados de forma inadequada, não há técnica estatística de análise de dados que concerte o problema e todo o experimento fica comprometido.

2.1 Princípios Básicos

Para que seja possível planejar de modo adequado a coleta de dados, princípios básicos do planejamento de experimentos como a réplica, a aleatorização e a formação de blocos devem ser entendidos.

2.1.1- Réplicas

As réplicas são repetições do experimento feitas sob as mesmas condições experimentais. O termo “sob as mesmas condições experimentais” se refere ao fato de que os demais fatores que possam influenciar a variável resposta de interesse sejam controlados de modo a não sofrerem variações de uma experimentação para outra.

Em um experimento, a realização de réplicas é importante pelos seguintes motivos:

  • As réplicas permitem a obtenção de uma estimativa da variabilidade devida ao erro experimental. A partir desta estimativa é possível avaliar se a variabilidade presente nos dados é devida somente ao erro experimental ou se existe influência das diferentes condições avaliadas pelo pesquisador. Se estas condições forem influentes, o responsável pela pesquisa poderá determinar qual é a condição mais favoravel para conduzir o experimento.

  • Por meio da escolha adequada do número de réplicas é possível detectar, com precisão desejada, quaisquer efeitos produzidos pelas diferentes condições experimentais que sejam considerados significantes do ponto de vista prático.

2.1.2- Aleatorização

A expressão aleatorização se refere ao fato de que tanto a alocação do material experimental às diversas condições de experimentação, quanto a ordem segundo a qual os ensaios individuais do experimento serão realizados, são determinados ao acaso. A aleatorização torna possível a plicação dos métodos estatísticos para a análise dos dados. A maioria dos modelos subjacentes e estes métodos estatísticos exigem que os componentes do erro experimental sejam variáveis aleatórias independentes e a aleatorização geralmente torna válida esta exigência.

A aleatorização permite ainda que os efeitos de fatores não-controlados, que afetam a variável resposta e que podem estar presentes durante a realização do experimento, sejam balanceados entre todas as possíveis medidas. Este balanceamento evita possíveis confundimentos na avaliação dos resultados devido à atuação destes fatores.

2.1.3- Formação de Blocos

Em muitas situações experimentais é necessário planejar o experimento de forma que a variabilidade resultante de fatores externos conhecidos, sobre os quais não existe interesse, possa ser sistematicamente controlada e avaliada.

Se estes fatores externos não forem controlados, mesmo usando a aleatorização, o erro experimental irá refletir tanto o erro aleatório inerente ao experimento, quanto a variabilidade existente em função desses fatores.

Nesta situação, deve-se formar blocos para os varios fatores externos de influência, e realizar repetições completas do experimento em cada bloco, dessa forma em cada bloco poderão ser observadas as diferenças existentes devido ao fator de interesse, minimizando assim o efeito dos fatores pertubadores no resultado final do experimento. Aqui cada bloco corresponde a um corpo de prova. Note que o objetivo principal do experimento não é medir o efeito destes fatores pertubadores, mas sim avaliar com maior eficiência os efeitos dos fatores de interesse.

Assim de forma genérica podemos definir que blocos são conjuntos homogêneos de unidades experimentais.

2.1.4- Terminologia Básica

Na terminologia básica para um planejamento de experimentos, destaca-se:

  • Unidade experimental: É a unidade básica para a qual será feita a medida da resposta.

  • Fatores: São as variáveis cuja influência sobre a variável resposta está sendo estudada no experimento.

  • Niveis de um Fator: Os diferentes modos de presença de um fator no estudo considerado são denominados níveis do fator.

  • Tratamento: As combinações específicas dos níveis de diferentes fatores são denominadas tratamentos. Quando há apenas um fator, os níveis deste fator correspondem aos tratamentos.

  • Ensaio: Cada realização do experimento em uma determinada condição de interesse(tratamento) é denominada ensaio, isto é, um ensaio corresponde a aplicação de um tratamento a uma unidade experimental.

  • Variável Resposta: O resultado de interesse registrado após a realização de um ensaio é denominado variável resposta.

Vamos considerar um exemplo apresentado em Werkema & Aguiar (1996) para ilustrar melhor os princípios básicos do planejamento de experimentos:

Exemplo 2.1- Suponha que um engenheiro esteja interessado em estudar o efeito produzido por três diferentes banhos(meios) de têmpera: têmpera em água, em óleo e em solução aqüosa de cloreto de sódio (água salgada) na dureza de um determinado tipo de aço. Aqui o propósito era determinar qual banho de têmpera produziria a dureza máxima do aço. Com este objetivo ele decidiu submeter um determinado número de amostras da liga, que denominaremos corpos de prova, a cada meio de têmpera e a seguir mediu a dureza da liga.

Vamos ilustrar a aplicação dos princípios do planejamento neste problema.

Réplica: Neste caso uma réplica do experimento completo consiste em medir a dureza de um corpo de prova submetido à têmpera em água, de um segundo corpo de prova submetido à têmpera em óleo e de um terceiro temperado em solução de cloreto de sódio.Isto é, realizar uma réplica do experimento completo significa coletar uma observação da variável resposta em cada condição experimental considerada no estudo. Portanto, se seis corpos de prova são temperados em cada banho (água, óleo e água salgada), sendo feita a seguir a medida da dureza de cada um destes corpos de prova, dizemos que foram realizadas seis réplicas do experimento(sendo realizados dessa forma 6x3=18 ensaios).

Aleatorização: Neste experimento a aleatorização deve-se fazer presente pela distribuição ao acaso dos corpos de prova entre os banhos de têmpera. Este procedimento atenua por exemplo situações onde a espessura dos corpos de prova são ligeiramente diferentes, assim de todas as amostras com espessura maior foram submetidas a um mesmo banho de têmpera este provavelmente estará em situação vantajosa e os resultados do experimento estarão tendenciosos.

Blocos: Supor que os corpos de prova são provenientes de corridas diferentes ( ou matérias primas diferentes), se planejarmos um experimento onde estes corpos de prova sejam distribuídos ao acaso entre os diferentes banhos de têmpera, as diferenças entre os corpos de prova irão acrescentar uma variabilidade adicional às medidas de dureza, o que poderá mascarar os efeitos devidos ao fator de interesse (banho de têmpera). Para eliminar do erro experimental a variabilidade devida ao fato de os corpos de prova terem sido produzidos em corridas diferentes, deve-se realizar o experimento da seguinte maneira: cada corpo de prova será dividido em três partes iguais, sendo cada parte submetida a um diferente banho de têmpera. Deste modo, dentro de cada terno formado pelas três partes de um mesmo corpo de prova, a influência devida às características particulares de cada corpo de prova deverá ocorrer de forma aproximadamente igual para cada um dos banhos de têmpera.

Dentro da terminologia básica temos que:

Unidade Experimental: Corpo de prova do aço utilizado no estudo.

Fatores: Banhos de têmpera.

Níveis do Fator: água, água salgada e óleo

Ensaio: Cada ensaio consiste em tratar um corpo de prova em um determinado banho de têmpera.

Variável Resposta: É a dureza do corpo de prova medida após a realização da têmpera.

2.1.5- Roteiro para a Realização de um Bom Experimento.

Para usar a abordagem estatística no planejamento e na análise de um experimento é necessário que as pessoas envolvidas na experimentação tenham, antecipadamente, uma idéia clara do que será estudado e da forma como os dados serão coletados. Também é recomendado que se tenha uma idéia qualitativa de como os dados serão analisados. Um roteiro para a realização de um bom experimento é apresentado a seguir:

  1. Reconhecimento e relato do problema. Na prática, geralmente é difícil perceber que existe um problema que exige experimentos planejados formais, de maneira que não pode ser fácil obter-se um relato claro de problema que é aceito por todos. No entanto é de primordial importância desenvolver todas as idéias do problema e definir de forma clara os objetivos específicos do experimento.

  2. Escolha dos fatores e dos níveis. Devem ser escolhidos os fatores que devem variar, os intervalos sobre os quais esses fatores variarão e os níveis específicos nos quais cada rodada será feita. Exige-se conhecimento do processo para fazer isso, esse conhecimento em geral é uma combinação de experiência prática e conhecimento teórico. É importante a investigação de todos os fatores que possam ser importantes e evitar ser excessivamente influenciado pela experiência passada.

  3. Escolha da variável resposta: Na escolha da variável resposta, o experimentador deve ter certeza de que aquela variável realmente fornece informação útil sobre o processo em estudo e a capacidade de medida dessa variável. Se a capacidade do medidor é baixa, então apenas grandes efeitos dos fatores serão detectados pelo experimento, ou será necessário muitas réplicas.

  4. Escolha do planejamento experimental. A escolha do planejamento envolve consideração sobre o tamanho da amostra(número de replicações), seleção de uma ordem adequada de rodadas para as tentativas experimentais, ou se a formação de blocos ou outras restrições de aleatorização estão envolvidas.

  5. Realização do experimento. Quanto da realização do experimento, é de vital importância monitorar o processo, para garantir que tudo esteja sendo feito de acordo com o planejamento. Erros no procedimento experimental nessa etapa, em geral comprometem a validade do experimento.

  6. Análise dos dados. Métodos estatísticos devem ser usados para analisar os dados, de modo que os resultados e conclusões sejam objetivos e não de opinião. Se o experimento foi planejado corretamente o método estatístico para análise não será um problema. A análise de resíduos e a verificação da validade do modelo são importantes e devem ser feitas.

  7. Conclusões e recomendações. Uma vez analisados os dados, o experimento deve acarretar conclusões práticas sobre os resultados e recomendar um curso de ação. Deve-se auxiliar de métodos gráficos, particularmente na apresentação dos resultados para outras pessoas. Seqüências de acompanhamento e testes de confirmação devem ser também realizados para validar as conclusões do experimento.

2.2 – Exercícios do Capítulo

  1. Planeje um experimento para comparar quatro drogas no alívio de cefaléias, supondo que você dispõe de um conjunto de pacientes similares.

  2. Planeje um experimento para comparar três fórmulas de adubação no crescimento de Pinus, supondo que você dispõe de um terreno heterogêneo que deve ser dividido em cinco blocos e que em cada bloco podem ser alocadas nove parcelas.

  3. Planeje um experimento para comparar dois testes de inteligência tomando cada criança como um bloco.

  4. Planeje um experimento para comparar o desempenho(tempo de realização da tarefa) de três máquinas empacotadeiras, dispondo de 5 operadores.

Capítulo 3 - Planejamento Completamente Alea-torizado com Único Fator.

Para a comparação de dois tratamentos( duas populações) vindos de populações normais, utiliza-se em o teste t-student, desde que as suposições sejam válidas. Para comparação de mais de dois tratamentos não é muito recomendado sua utilização, visto que serão necessárias várias comparações, o que acaretará um aumento no erro tipo I. Essa situação é ilutrada em Montegomery (2001).

O problema para a comparação de tratamentos por meio de ensaios realizados em ordem aleatória é descrito abaixo.

Consideremos que existem diferentes níveis (tratamentos de um único fator) que queremos comparar. A resposta para cada um dos tratamentos é uma variável aleatória. A ilustração da disposição dos dados é ilustrado na Tabela abaixo:

Tabela 3.1: Esquema da disposição de dados para Experimento Aleatorizado com Fator Único.

Tratamento

Observações

Totais

Médias

1

2

Aqui representa a ª - ésima observação feita sob o ª-ésimo tratamento. Neste caso estamos considerando a situação em que há um número igual de observações, , em cada tratamento.

3.1 – Modelo Estatístico

Cada observação na Tabela 3.1, pode ser descrita pelo seguinte modelo estatístico linear,

, (3.1)

com e .

Aqui,

é uma v.a. denotando a (ij)ª obeservação;

é a média geral, comum a todos os tratamentos;

é o efeito do i-ésimo tratamento;

é a componente do erro aleatório.

Supondo que , ou seja, os erros são independentes e normalmente distribuidos com média zero e variância . Dessa forma, cada tratamento pode ser pensado como uma população normal com média e variância , ou seja, .

Assim, vamos apresentar o procedimento para testar a igualdade das médias populacionais. Esse modelo de análise de variância é chamado de efeitos fixos. Os efeitos dos tratamentos são definidos, em geral, como desvios da média geral , de modo que

Representando, , o total das observações sob o i-ésimo tratamento e por a média das observações sob o i-ésimo tratamento, analogamente, o total geral e a média geral,

,

, “ Número total de observações”

Estamos interessados em testar a igualdade das médias dos tratamentos. Pela equação 3.1, este procedimento é equivalente a testar as hipóteses:

(3.2)

Dessa forma se é verdadeira, cada observação consiste de uma média geral mais uma realização da componente do erro aleatório . Assim se é verdadeira a mudança dos níveis do fator (tratamentos) não tem qualquer efeito sobre a resposta média.

A análise de variância particiona a variabilidade total na amostra de dados em duas partes então o teste proposto em (3.2) é baseado na comparação de duas estimativas independentes da variância populacional.

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