filtros eletronicos

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(Parte 1 de 3)

Resposta em Freqüência FILTROS PASSIVOS

REVISÃO: PROF. CARLOS G. ESPERANÇA EDIÇÃO 2.0

FLORIANÓPOLIS – JULHO, 2004.

Gerência Educacional de Eletrônica

Nota do Autor

O objetivo deste material é fazer a apresentação teórica e matemática do comportamento dos circuitos passivos filtrantes, disponibilizando ao professor tempo para uma abordagem mais prática desses circuitos, em laboratório e através de simulação eletrônica.

Este material não tem a pretensão de esgotar, tampouco inovar o tratamento do assunto por ele abordado mas, simplesmente, facilitar a dinâmica de aula e a compreensão por parte dos alunos.

Este trabalho foi construído com base nas referências bibliográficas, devidamente citadas ao longo do texto, nas notas de aula e na experiência do autor na abordagem do assunto com os alunos.

Em se tratando de um material didático elaborado em uma Instituição Pública de Ensino, é permitida a reprodução do texto, desde que devidamente citada a fonte.

Quaisquer contribuições e críticas construtivas a este trabalho serão bem-vindas pelo autor.

mussoi@cefetsc.edu.br

Resposta em Freqüência – Filtros Passivos

CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica Prof. Fernando Luiz Mussoi

NOTA DO AUTOR1
ÍNDICE2
1. RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA4
1.1. RESISTOR QUANTO À FREQÜÊNCIA:4
1.2. CAPACITOR QUANTO À FREQÜÊNCIA:5
1.3. INDUTOR QUANTO À FREQÜÊNCIA:5
2. RESSONÂNCIA7
2.1. FREQÜÊNCIA DE RESSONÂNCIA:7
2.2. EXERCÍCIOS:12
3. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA14
3.1. DIAGRAMA DE BLOCOS:14
3.2. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA:14
3.3. GRÁFICOS DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA16
3.4. GANHO, ATENUAÇÃO E FASE17
3.5. DECIBEL (DB)18
3.6. FREQÜÊNCIA DE CORTE:21
3.7. EXERCÍCIOS:2
4. FILTROS24
4.1. TIPOS DE FILTROS QUANTO À TECNOLOGIA EMPREGADA:24
4.2. TIPOS DE FILTROS QUANTO À FUNÇÃO EXECUTADA:25
5. FILTROS PASSA-BAIXA26
5.1. FILTRO PASSA-BAIXA IDEAL26
5.2. FILTRO PASSA-BAIXA RL27
5.3. FILTRO PASSA-BAIXA RC32
5.4. EXERCÍCIOS:37
6. FILTRO PASSA-ALTA40
6.1. FILTRO PASSA-ALTA IDEAL40
6.2. FILTRO PASSA-ALTA RL41
6.3. FILTRO PASSA ALTA RC45

Índice 6.4. EXERCÍCIOS:.............................................................................................................................. ........................... 48

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7. FILTRO PASSA-FAIXA50
7.1. FILTRO PASSA-FAIXA IDEAL50
7.2. FILTRO PASSA-FAIXA SÉRIE:51
7.3. FILTRO PASSA-FAIXA PARALELO56
7.4. EXERCÍCIOS:61
8. FILTRO REJEITA-FAIXA62
8.1. FILTRO REJEITA-FAIXA IDEAL:62
8.2. FILTRO REJEITA-FAIXA SÉRIE63
8.3. FILTRO REJEITA-FAIXA PARALELO68
8.4. EXERCÍCIOS:73
9. FATOR DE QUALIDADE74
9.1. EXEMPLOS:75
9.2. EXERCÍCIOS:76
10. LARGURA DE FAIXA E SELETIVIDADE78
10.1. EXERCÍCIOS79
APÊNDICE A - DIAGRAMAS DE BODE81
APÊNDICE B – SÉRIES DE FOURIER82

3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................................... ...................85

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1. Resposta em freqüência

Até aqui estudamos a resposta de tensão e corrente de um circuito de corrente alternada com freqüência fixa, ou seja, no domínio do tempo e da freqüência. O objetivo desta unidade é estudar a resposta em freqüência, ou seja, o comportamento dos circuitos quanto à variação da freqüência dos sinais de tensão ou corrente aplicada (excitação).

Sabemos, do estudo dos componentes passivos, que o resistor o capacitor e o indutor apresentam comportamentos típicos quanto à freqüência do sinal a eles aplicado, conforme demonstra a figura 1.

ω (rad/s) f (Hz)

Figura 1.1 – Comportamento da Resistência, da Reatância Indutiva e da Reatância Capacitiva com a variação da freqüência

1.1. Resistor quanto à freqüência:

Sua resistência independe da freqüência do sinal aplicado. Depende apenas da relação entre a tensão e a corrente, conforme a Lei de Ohm:

Portanto, graficamente seu comportamento é expresso através de uma reta de resistência

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5 constante como na figura 1.1.

1.2. Capacitor quanto à freqüência:

Sua reatância capacitiva depende da freqüência do sinal aplicado. A variação da reatância capacitiva é inversamente proporcional à freqüência do sinal, conforme a expressão:

Pela figura 1.1 podemos perceber que:

• quanto maior a freqüência do sinal aplicado, menor será a reatância capacitiva. Para freqüências muito altas, o capacitor se comporta como um curto-circuito.

• quanto menor a freqüência do sinal aplicado, maior será a reatância capacitiva. Para freqüência zero (C), o capacitor se comporta como um circuito aberto.

1.3. Indutor quanto à freqüência:

Sua reatância indutiva depende da freqüência do sinal aplicado. A variação da reatância indutiva é diretamente proporcional à freqüência do sinal, conforme a expressão:

Pela fig 1.1 podemos perceber que:

• quanto maior a freqüência do sinal aplicado, maior será a reatância indutiva. Para freqüências muito altas, o indutor se comporta como um circuito aberto.

• quanto menor a freqüência do sinal aplicado, menor será a reatância indutiva. Para freqüência zero (C), o indutor se comporta como um curto-circuito.

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Observação:

Devemos lembrar que a Resistência, a Indutância e a Capacitância depende das características construtivas do componente.

Exemplo 1.1: Para o circuito RLC série da figura 1.2, analise sua resposta em freqüência preenchendo o quadro abaixo.

Dados: v(t) = 10.sen(ω.t) V ; R = 100Ω; L = 10mH; C = 1µF

Figura 1.2 – Circuito RLC Série

(rad/s) f

(Hz) R (Ω)

(Ω) ret. ZEQ (Ω) polar cos φ

0
10
100
1K
9K
10K
11K
100K

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2. Ressonância

Como percebemos, da análise da resposta em freqüência do exemplo 1.1, existe uma determinada freqüência em que as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam, pois são iguais em módulo e o circuito apresenta um teor resistivo puro (Fator de potência unitário). Neste caso, o ramo LC se comporta como um curto-circuito e toda a tensão da fonte estará sobre o resistor, provocando máxima dissipação de potência. Essa condição é chamada de Ressonância.

A freqüência que provoca esta situação no circuito da figura 2 (ω = 10.0 rad/s) é chamada de Freqüência de Ressonância e dizemos que o circuito é ressonante.

Assim um circuito RLC ressonante série é aquele que apresenta a menor oposição possível à passagem de corrente elétrica numa determinada freqüência, a chamada Freqüência de Ressonância [1].

Para quaisquer valores de freqüência inferiores ou superiores a esta, o circuito série apresentará maior oposição à corrente. Assim, em qualquer circuito RLC, ressonância é a condição existente quando a impedância equivalente é puramente resistiva, ou seja, a tensão e a corrente nos terminais de entrada (fonte) estão em fase e o fator de potência é unitário (cosφ=1) [2].

No circuito RLC ressonante paralelo ocorre o contrário do descrito acima, ou seja, a maior oposição possível a passagem da corrente.

2.1. Freqüência de ressonância:

A Freqüência de Ressonância é a freqüência na qual um circuito RLC se comporta como um circuito resistivo, ou seja, na qual o fator de potência é unitário e, portanto, há a máxima transferência de potência da fonte para a carga.

A Ressonância pode ocorrer em circuitos RLC séries, paralelos ou mistos.

2.1.1. Ressonância Série:

Seja o circuito RLC série como o apresentado na figura 1.2. A sua impedância equivalente é determinada por:

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C 1jLjRXXRZ LCEQ ω

O circuito série é ressonante quando Zeq = R e |XL| = |XC|, ou seja, a reatância total deve ser nula, então:

C 1jLj ω

C 1L ω

A freqüência de ressonância num circuito RLC série pode ser dada por:

(rad/s) ou
(Hz)

Na figura 1.1 a freqüência de ressonância ωR é aquela onde as curvas de XL e XC se cruzam, ou seja, quando |XL|=|XC|.

Se para o exemplo 1 traçarmos as curvas de Z x ω e PR x ω obteríamos os gráficos da figura 2.1.

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CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica Prof. Fernando Luiz Mussoi ω (rad/s) ωωωωR = 10Krad/s a) Curva Impedância x Freqüência ω (rad/s) ωωωωR = 10Krad/s b) Curva Potência x Freqüência

Figura 2.1 – Resposta em Freqüência do circuito do Exemplo 1.1

Portanto, dos gráficos da figura 1.1 e 2.1 podemos concluir que na ressonância série:

• f < fR: o circuito apresenta teor capacitivo e a corrente está adiantada da tensão. • f > fR: o circuito apresenta teor indutivo e a corrente está atrasada da tensão.

• f = fR: o circuito tem teor resistivo, a impedância equivalente é mínima e a corrente está em fase com a tensão. A corrente é máxima e a tensão da fonte está toda sobre a resistência. A potência dissipada no resistor será máxima. Há tensão no indutor e no capacitor, iguais em módulo, porém defasadas de 180o, anulando-se.

2.1.2. Ressonância Paralela:

Seja um circuito RLC paralelo, como o apresentado na figura 2.2. A sua impedância equivalente é dada por:

CLeq

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Figura 2.2 – Circuito Ressonante Série

O circuito somente será ressonante quando Zeq = R, ou seja, quando a reatância equivalente do paralelo do capacitor com o indutor for infinita (circuito aberto).

Exemplo 2.1: Encontre a expressão para o cálculo da freqüência de ressonancia do circuito paralelo da figura 2.2.

Concluímos, então, que a freqüência de ressonância num circuito RLC paralelo pode ser dada por:

R=ω(rad/s) ou LCfRπ2

LC1

=(Hz)

Exemplo 2.2: Para o circuito RLC paralelo da figura 2.2, analise sua resposta em freqüência preenchendo o quadro e esboce os gráficos da Zeq x ω e da PR x ω. Analise o comportamento do circuito com relação à variação da freqüência.

Dados: v(t) = 10.sen(ω.t) V ; R = 100Ω; L = 10mH; C = 1µF

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(rad/s) f

(Hz) R (Ω)

(Ω) ret. ZEQ (Ω) polar cos φ

0
10
100
1K
9K
10K
11K
100K
1M

ω (rad/s) ωωωωR a) Curva Impedância x Freqüência ω (rad/s) ωωωωR b) Curva Potência x Freqüência

Figura 2.3 - Resposta em Freqüência do circuito do Exemplo 2.2

Analisando a resposta em freqüência do circuito do exemplo 2.2, podemos concluir que na ressonância paralela:

• f < fR: o circuito apresenta teor indutivo e a corrente está atrasada em relação a tensão.

• f > fR: o circuito apresenta teor capacitivo e a corrente está adiantada em relação a tensão.

• f = fR: o circuito tem teor resistivo, a impedância equivalente é máxima e a corrente no resistor é mínima (igual a da fonte) e estará em fase com a tensão. A potência dissipada será máxima. Existem correntes no indutor e no capacitor, iguais em módulo, porém defasadas de 180, anulando-se.

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Ressonância Mista:

Além dos circuitos RLC série e paralelo, outros circuitos também podem apresentar freqüência de ressonância.

Para determinarmos a equação para cálculo da freqüência de ressonância em circuitos mistos, é necessário lembrarmos das condições para haver a ressonância e, então, procurarmos anular a parte imaginária (reatâncias) da equação.

A freqüência de ressonância para o circuito RLC misto da figura 2.3 pode ser calculada por [2]:

Figura 2.4 – Circuito Misto Ressonante

2.2. Exercícios:

2.2.1) Determine a freqüência de ressonância em rad/s e em Hz para os seguintes casos: a) L= 300 µH e C= 0,005 µF b) L= 250 µH e C= 400 pF

2.2.2) Qual o valor do indutor necessário para obter a ressonância 1500 kHz com uma capacitância de 250 pF?

2.2.3) Qual o capacitor que deverá ser colocado em série com um indutor de 500 mH para haver ressonância em 50 Hz?

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2.2.4) Um circuito série é formado por R-125Ω, L=800 mH e C=220pF. Qual o valor da impedância (e o teor) a ser colocado (e como) no circuito a fim de torná-lo ressonante a 10 kHz [2]?

2.2.5) Um circuito série é formado por R=30Ω, L=0,382H e C=0,2µF, determine:

a) Zeq em 550kHz b) O capacitor C ser ligado em paralelo para provocar ressonância numa freqüência

2.2.6) Seja circuito de ressonância de um rádio AM tem uma bobina de 100µH. Quais os limites de um capacitor variável para que o rádio sintonize de 530kHz a 1600 kHz? a) Calcule a indutância a ser ligada em série para produzir a freqüência de ressonância mais baixa de 550 kHz.

b) Calcule a freqüência de ressonância mais alta.

2.2.8) Determine a freqüência de ressonância para os circuitos abaixo:

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3. Função de Transferência

Os equipamentos e sistemas eletrônicos podem ser constituídos de vários componentes e circuitos. A fim de mostrar as funções desempenhadas pelos componentes, circuitos ou conjuntos destes, usamos em análise de circuitos, os diagramas de blocos.

3.1. Diagrama de Blocos:

Um diagrama de blocos de um equipamento ou sistema eletrônico é uma representação das funções desempenhadas por cada componente ou circuito e do fluxo dos sinais dos quais estamos interessados e indica a inter-relação existente entre os vários circuitos [4].

Exemplo 3.1:

Cada bloco desempenha uma função ou um conjunto de funções e corresponde a um ou vários circuitos eletrônicos.

Quando se analisa um bloco, estamos interessados nas informações (sinais de tensão e corrente) presentes na sua entrada, na sua saída e na relação existente entre elas. Por exemplo, se dispusermos de informações sobre os valores de tensão e corrente de entrada de um circuito (bloco) e poderemos obter os valores de tensão e corrente na sua saída, desde que conheçamos qual a relação existente entre entrada e saída proporcionada pelo bloco (circuito).

3.2. Função de Transferência:

Em um diagrama de blocos, todas as variáveis do sistema são ligadas umas às outras através de cada bloco. Assim, cada bloco pode ser representado por uma operação matemática relacionando os sinais de entrada e de saída.

Por exemplo, no bloco da figura 3.1 é aplicado um sinal de tensão na entrada e estamos interessados no valor de tensão que teremos na saída. Este valor depende da função que o bloco desempenha, ou melhor, da função que desempenha o circuito que o bloco representa.

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BLOCO 1 Circuito 1

Entrada Ve

Saída Vs

Ve(t) = VP.sen(ω.t) Figura 3.1 – Representação por Bloco

Se, por exemplo, o bloco representar o circuito da figura 3.2, podemos relacionar matematicamente o sinal de saída Vs em função do sinal de entrada Ve por um divisor de tensão:

Figura 3.2 – Circuito que desempenha a função do bloco da figura 1 e L

Ls V jXR

Se relacionarmos a tensão de saída com a tensão de entrada, temos:

LLes jXR XVV +

LjR

LjVVes ω+

Como podemos perceber, a relação Vs/Ve depende da freqüência do sinal (ω).

A expressão que relaciona o sinal de saída com o sinal de entrada em um bloco, em função da freqüência angular ωωωω é chamada de Função de Transferência H(ωωωω).

Assim, a função de transferência H(ω) para o bloco da figura 3.2 é dada por:

LjR Lj)(H

VVes ω+

Com esta representação matemática e de posse dos valores do resistor e do indutor, podemos calcular o módulo e a fase (ângulo) de tensão de saída para cada valor de freqüência ω dado.

Uma função de transferência H(ω) pode relacionar:

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• Tensão de saída / Tensão de entrada: )( ω esV

• Tensão de saída / Corrente de entrada: )( ω esI

• Corrente de saída / Corrente de entrada: )( ω esI

• Corrente de saída / Tensão de entrada: )( ω esV

Com a Função de Transferência de um circuito conhecida, poderemos, por exemplo, avaliar o sinal de saída em função do sinal de entrada, tanto para o seu módulo, ângulo e freqüência, assim:

Exemplo 3.2:

Para o circuito da figura 3.2, determine o módulo e o ângulo do sinal de saída para quando o sinal de entrada tiver as freqüências ω=10 rad/s, ω=1000 rad/s e ω=100Krad/s sendo R=50Ω e

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