Probabilidade e Estatistica

Probabilidade e Estatistica

(Parte 3 de 7)

Diferenca B\A Realizacao de B sem que se realize A (B excepto A)

A\B Realizacao de A sem que se realize B (A excepto B)

Complementar A Nao realizacao de A

As operacoes sobre eventos gozam de propriedades bem conhecidas como a associatividade, comutatividade, etc., que convem recordar:

Propriedade Descricao matematica

Dupla negacao A = A

2.2 Nocao de probabilidade. Interpretacoes de

Laplace, frequencista e subjectivista. Axiomas e teoremas decorrentes.

A probabilidade e um conceito extraordinariamente complexo e, como teremos ocasiao de ver daqui a pouco, somos capazes de adiantar algumas nocoes de probabilidade que se revelarao insatisfatorias devido a limitacoes a elas subjacentes.

Definicao 2.13 — Probabilidade classica de Laplace Considere-se uma E.A. com espaco de resultados Ω com as seguintes particularidades: Ω e constituıdo por

• n eventos elementares (#Ω = n)

• distintos

• igualmente provaveis1 e em

Considere-se ainda que a realizacao do evento A passa pela ocorrencia de m dos n eventos elementares, i.e., #A = m. Entao a probabilidade de realizacao de A e dada por:

P(A) = numero de casos favoraveis a ocorrencia de A numero de casos possıveis

Nota 2.14 — Limitacoes da probabilidade classica de Laplace Esta definicao so e valida quando

• Ω e constituıdo por eventos elementares igualmente provaveis, pressupostos estes frequentemente violados na pratica. •

1Nada leva a crer que a ocorrencia de algum dos eventos e privilegiada em relacao a dos restantes. 14

Exemplo 2.15 — Probabilidade classica de Laplace Admita que num stand se encontram 353 viaturas de somente duas marcas (A e B). Destas:

• 201 sao da marca A;

• 57 possuem direccao assistida;

• 37 sao da marca A e possuem direccao assistida.

Calcule a probabilidade de uma viatura seleccionada ao acaso ser da marca A.

• Evento A = viatura seleccionada ao acaso ser da marca A

• No.casos favoraveis m = 201

• Probabilidade pedida

Antes de passarmos a uma outra nocao de probabilidade e conveniente adiantarmos a definicao de frequencia relativa de um evento bem como as propriedades algebricas dessa mesma frequencia.

• N o numero de realizacoes (nas mesmas condicoes) de certa E.A.;

• nN(A) o numero de vezes que o evento A ocorreu nas N realizacoes da E.A. (i.e., representa a frequencia absoluta do evento A).

Entao a frequencia relativa do evento A e dada por

Nota 2.17 — Propriedades algebricas A frequencia relativa satisfaz as seguintes propriedades:

Nao surpreende pois a seguinte nocao de probabilidade.

Definicao 2.18 — Probabilidade frequencista A probabilidade do evento A e igual ao limite da frequencia relativa da ocorrencia do evento A:

Exemplo 2.19 — Probabilidade frequencista Foram registados os resultados respeitantes a um total de 100 lancamentos de uma moeda equilibrada. Assim, nas colunas da tabela abaixo podem encontrar-se

• a frequencia relativa do evento A = sair cara ate ao N −esimo lancamento (fN(A)), respectivamente.

A esta tabela segue-se o correspondente grafico da frequencia relativa fN(A) (a esquerda) e o deste e de outros dois conjuntos de 100 lancamentos (a direita). Em ambos e evidente a estabilizacao da frequencia relativa em torno de 0.5 a medida que o numero total de lancamentos (N) aumenta.

Nota 2.20 — Limitacoes da probabilidade frequencista Esta nocao de probabilidade nao e razoavel caso a E.A. nao possa ser realizada mais do que uma vez ou quando ela e hipotetica (por exemplo, uma ida a Marte). •

Definicao 2.21 — Probabilidade subjectiva Uma pessoa pode atribuir a um evento um numero real no intervalo [0,1] a que se dara o nome de probabilidade do evento e que expressa um grau de credibilidade pessoal na ocorrencia do evento. •

Exemplo 2.2 — Probabilidade subjectiva Ao perguntar-se qual a probabilidade de visitar-se o planeta Marte antes do ano 2030 obteve-se as seguintes respostas de duas pessoas:

• funcionario da NASA → 0.5;

Este exemplo leva a considerar uma outra nocao de probabilidade que devera ser precedida pela apresentacao da nocao de σ−algebra de eventos.

Definicao 2.23 — σ−algebra de eventos Trata-se de uma coleccao nao vazia de eventos (probabilizaveis), A, que verifica as seguintes propriedades:

3. ⋃+∞ i=1 Ai ∈ A para qualquer coleccao contavel de eventos de A, seja ela

{A1, A2,}. •

Exemplo 2.24 — σ−algebra de eventos

• A2 = IP(Ω) que representa as “partes de Ω”, i.e., a coleccao de todos os subconjuntos de Ω. •

Definicao 2.25 — Funcao de probabilidade (no sentido de Kolmogorov) Funcao que possui por domınio a σ−algebra de eventos e por contradomınio o intervalo [0, 1] — i.e.,

Axiomas

3. Seja {A1,A2,...} uma coleccao contavel de eventos mutuamente exclusivos de

Proposicao 2.26 — Consequencias elementares dos axiomas Os axiomas nao nos ensinam a calcular probabilidades mas estabelecem regras para o seu calculo — muito em particular algumas das suas seguintes consequencias elementares:

Exercıcio 2.27 — Demonstre as consequencias elementares dos axiomas. •

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