exercicios resolvidos

exercicios resolvidos

1. Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em gramas

onde té medido em dias.

(a) Qual a razão de aumento do peso da ave quando50 t =?

== t t dt

(b) Quanto a ave aumentará no 5lº dia?

(c) Qual a razão de aumento do peso quando 80 t =?

2. Uma peça de carne foi colocada num freezer no instante0 t =. Após t horas, sua temperatura, em graus centígrados, é dada por:

Qual a velocidade de redução de sua temperatura após 2 horas?

tdt dt dT

o ht

3. A temperatura de um gás é mantida constante e sua pressão p em kgf/cm³ e volume v em cm³ estão relacionadas pela igualdadec vp=, onde c é constante. Achar a razão de variação do volume em relação à pressão quando esta vale 10 kgf/cm³.

cmkgfcm c dp dv pc dp c vcvp

4. Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90.0 litros e depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 2 t2500 litros, determinar:

(a) tempo necessário para o esvaziamento da piscina; Seja )(tvo volume de água no instante t.

horasttt 65

(b) taxa média de escoamento no intervalo 2,5]; [ 22500)(ttf=

horal fft tfttf

(c) taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo.

horasl dt t dt

5. Um apartamento está alugado por R$ 4.50,0. Este aluguel sofrerá um reajuste anual de R$ 1.550,0.

(a) Expresse a função com a qual podemos calcular a taxa de variação do aluguel, em t anos.

(b) Calcule a taxa de variação do aluguel após 4 anos.

tf.

(c) Qual a porcentagem de variação do aluguel depois de 1 ano do primeiro reajuste? xtf tf

tf x

(d) Que acontecerá à porcentagem de variação depois de alguns anos? Tenderá para zero, pois:

6. Numa pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a população será

de milhares 1t

(a) Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade? t tp t tp

anopessoas de milhares8,0 25 4.5

(b) Qual será a variação real sofrida durante o 18º mês?

pessoas de milhares068965,0

7. Seja r a raiz cúbica de um número real x. Encontre a taxa de variação de r em relação a x quando x for igual a 8.

x dx xxr

=xdx dr

8. Um líquido goteja em um recipiente. Após t horas, há t-5t 1/2 litros no recipiente. Qual a taxa de gotejamento de líquido no recipiente, em 1/hora, quando 16 t = horas?

9. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5 m de raio de base e 10 m de altura.

No tempo0 t =, a água começa a fluir no tanque à razão de 25 h.m/3 Com que velocidade o nível de água sobe? Quanto tempo levará para o tanque ficar cheio?

Sejam: )(tvv= o volume de água no tanque;

)(thh=a altura da água no instante t; r o raio da base. Temos:

hm dt hrv2pi= r vh pi

=

pi = dv dh

dt dv dv dh dt

m/horas 1 pi = dt dh dt dh

O nível da água sobe com uma velocidade de m/hora

O volume do tanque é: pipipi 25010.5.

Portanto, horas. 10pi=x

10. Achar a razão de variação do volume v de um cubo em relação ao comprimento de sua diagonal. Se a diagonal está se expandindo a uma taxa de 2 m/s, qual a razão de variação do volume quando a diagonal mede 3 m?

Sejam

D a diagonal do cubo e x o seu lado. Da geometria elementar obtemos xD3= ou

1 =. Temos

segm dt

D dt dD dD dv dt dv mD dD

1. Uma usina de britagem produz pó de pedra, que, ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.

(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.

1 rrhvpipi== r dr

pi pi=

(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

scm scm dt r dt dr dr dv dt dv pipi pi

12. Os lados de um triângulo eqüilátero crescem à taxa de 2,5 cm/s.

(a) Qual é a taxa de crescimento da área desse triângulo, quando os lados tiverem 12 cm de comprimento?

Sejam A a área e l o lado do triângulo.

3 como .

dt dll lA dt dl dl dA dt dA

segcm segcm dt

(b) Qual é a taxa de crescimento do perímetro, quando os lados medirem 10 cm de comprimento?

Seja P o perímetro do triângulo.

segcm dl dP dt dl dl dP dt dP

13. Um objeto se move sobre a parábola 1 -3x 2x y 2+=de tal modo que sua abscissa varia à taxa de 6 unidades por minuto. Qual é a taxa de variação de sua ordenada quando o objeto estiver no ponto 1)- (0,?

1322−+=xxymin/6u

dx =

un dt x dt dx dx dy dt dy

14. Um trem deixa uma estação, num certo instante, e vai para a direção norte à razão de 80 km/h. Um segundo trem deixa a mesma estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de 95 km/h. Achar a taxa na qual estão se separando os dois trens 2 horas e 30 minutos depois do segundo trem deixar a estação.

O instante 0=t corresponde à saída do segundo trem. Posicionando o primeiro trem sobre o eixo positivo dos y e o segundo sobre o eixo positivo dos x, num instante qualquer t, suas posições são dadas por:

tx ty

A taxa na qual os dois trens estão se separando coincide com a taxa de crescimento da diagonal do triângulo xoy. Temos,

horakm dD dt dt dyy dt dx x dt dDD yxD

15. Uma lâmpada colocada em um poste está a 4 m de altura. Se uma criança de 90 cm de altura caminha afastando-se da lâmpada à razão de 5 m/s, com que rapidez se alonga sua sombra?

Sejam: y a distância da criança até o poste; x a sombra da criança.

Altura do poste = 4m; Altura da criança=0,9m;

Usando semelhança de triângulos, vem:

xy x

Portanto,

segm dt dy dy dx

16. O raio de um cone é sempre igual à metade de sua alturah. Determinar a taxa de variação da área da base em relação ao volume do cone.

Sejam: A = área da base; V = volume do cone; h = altura do cone. Temos:

dV dr dr dA dV rrhrV rA pipi pi

pipipi 2

V dV dr

V r pipi pi Vr dV dA

VVdV dA

V dV dA pipi pi pipi

17. Supor que o custo total de produção de uma quantidade de um certo produto é dado pelo gráfico da figura que segue.

(a) Dar o significado de )0(C. ()0C corresponde a parcela de custo fixos.

(b) Descrever o comportamento do custo marginal. O custo marginal vai diminuindo inicialmente e depois passa a aumentar.

18. O custo total )(qC da produção de q unidades de um produto é dado por.

(a) Qual é o custo fixo?

311 O custo fixo é 120.

(b) Qual é o custo marginal quando o nível de produção é 20=q unidades. ( ) qqqC

(c) Determinar se existem, os valores de q tais que o custo marginal é nulo.

q q

19. A função pq40000020−= representa a demanda de um produto em relação a seu preço p. Calcular e interpretar o valor da elasticidade da demanda ao nível de preço 4=p.

q p qp dp dqpqE

Interpretação: A elasticidade é negativa e muito baixa. Isso significa que um pequeno aumento percentual no preço diminuirá muito pouco a demanda.

20. A função 206,06015yyq−+= mede a demanda de um bem em função da renda média per capita denotada por y(unidade monetária), quando os outros fatores que influenciam a demanda são considerados constantes. (a) Determinar a elasticidade da demanda em relação à renda y.

y y qy dy dq yqE

(b) Dar o valor da elasticidade da demanda, para um nível de renda 300=y. Interpretar o resultado.

E é positiva e igual a57,0. Isso significa que o aumento da renda per capita aumentará a demanda. %1 de aumento na renda implicará em %57,0 de aumento na demanda.

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