Relatorio de fisica - pendulo simples (11)

Relatorio de fisica - pendulo simples (11)

1. Introdução

Um pêndulo simples consiste de um fio leve e inextensível de comprimento L, tendo na extremidade inferior, por exemplo, uma esfera de massa m; a extremidade superior é fixada em um ponto, tal que ele possa oscilar livremente (resistência do ar desprezível), com amplitudes pequenas.

O pêndulo simples é muito utilizado para medição do tempo. O cientista italiano Galileu Galilei que foi um dos primeiros a perceber a independência do pêndulo simples com a amplitude , e assim construiu os primeiros relógios de pêndulo.

2. Objetivo

Verificação das leis do pêndulo e calculo da aceleração da gravidade.

3. Fundamentação Teórica

Gravitação

Gravitação é a força de atração que existe entre todas as partículas com massa no universo. A gravitação é responsável por prender objectos à superfície de planetas e, de acordo com as lei da inércia de Newton, é responsável por manter objetos em órbita em torno uns dos outros.

A gravidade faz muito mais do que simplesmente segurar-nos às nossas cadeiras. Foi Isaac Newton quem a reconheceu. Newton escreveu numa das suas memórias que na altura em que estava a tentar compreender o que mantinha a Lua no céu viu uma maçã cair no seu pomar, e compreendeu que a Lua não estava suspensa no céu mas sim que caía continuamente, como se fosse uma bola de canhão que fosse disparada com tanta velocidade que nunca atinge o chão por este também "cair" devido à curvatura da Terra.

Aceleração da gravidade

Para saber a aceleração da gravidade de um astro ou corpo, a fórmula matemática é parecida:

A = Gm / r2

G = 6,67428 . 10-11 m3 kg-1 s-2

ou

G = 6,67.10 − 11Nm2 / kg2

onde:

  • A = aceleração da gravidade

  • m = massa do astro

  • r = distância do centro do objeto

  • G = constante universal da gravitação

Campo Gravitacional

A interação entre dois corpos que possuem massa ocorre devido a um campo que eles geram ao seu redor, esse campo é chamado de campo gravitacional, ou seja, o campo gravitacional é a região de perturbação gravitacional que um corpo gera ao seu redor. Colocando-se um corpo de massa m na região do campo gravitacional de um corpo com massa M, temos:

Figura 1 – Interação entre dois corpos.

A força que a massa M exerce sobre a massa m tem intensidade dada pela Lei Gravitação Universal de Newton e deve ter a mesma intensidade que a força peso, desta maneira: F = P.

Esta equação determina a intensidade do campo gravitacional, de qualquer corpo em qualquer lugar. Com esta equação não podemos calcular a aceleração da gravidade da Terra, pois ela possui movimento de rotação, não é totalmente esférica e não é homogênea, tais características faz com que a Terra tenha uma aceleração da gravidade diferente do seu campo gravitacional.

Demonstração da Constante de Gravidade da Terra (g)

Raio da Terra: 6,67 . 106 m.

Massa da Terra: 5,98 . 1024 kg.

G = 6,67 . 10 − 11Nm2 / kg2

Utilizando alguns conceitos de campo gravitacional e a lei de Newton de gravitação universal:

F = Gm1m2 / r2

Substituindo os valores na formula:

F = 6,67 . 10 − 11 . 5,98 . 1024 m2/ ( 6,67 . 106 )2

Resolvendo:

F = 9,82 m2

Como:

F = g m

g = 9,8 m/s2

Provando assim que a força (F = Gm1m2 / r2) é valida quando se está muito próximo da superfície Terra, e que a gravidade é 9,8 m/s2, foi considerado a massa m2 desprezível comparada com a massa do planeta.

Deduzindo a fórmula utilizada para a obtenção da gravidade através do período de um pendulo simples:

Figura 2 – Demonstração das forças que atuam no pendulo simples.

Em um pendulo simples as forças que agem sobre a partícula são seu peso “mg” e a Tensão “T” no fio. A componente tangencial “mg sen θ” do peso é a força de restauração que leva o pendulo de volta a posição central.

Um pendulo simples consiste em uma partícula de massa m suspensa em um fio, que possui um comprimento L. A massa então é livre para oscilar em um plano, à esquerda e à direita de uma linha vertical que passa através do ponto em que a extremidade superior do fio esta fixada.

O elemento de inércia nesse pendulo é a massa da partícula e o elemento de restauração esta na atração gravitacional entre a partícula e a Terra. A energia potencial pode ser associada com a distancia vertical variável entre a partícula que oscila e a terra; podemos fazer uma analogia entre essa distancia variável e o comprimento variável de uma fictícia “mola gravitacional”.

As forças que agem sobre a partícula são seus pesos mg e a tensão T no fio.

Decompomos mg numa componente radial “mg cos θ” e na componente “mg sen θ” que é tangente a trajetória da partícula. Esta componente tangencial é à força de restauração, porque sempre age em oposição ao deslocamento da partícula, de forma a trazê-la de volta à sua localização central, a posição de equilíbrio (θ = 0) onde estaria em repouso, se não estivesse oscilando. Escreve-se a força de restauração como:

F = - mg sen θ

E a Tensão fica definida então como:

T = mg cos θ

Onde o sinal negativo indica que F age em posição ao deslocamento.

Como o ângulo θ é pequeno, então sem θ será quase igual a θ em radianos. O deslocamento s da partícula medido ao longo de seu arco é igual a Lθ, então temos que sen θ se aproxima de θ, então a equação anterior passa a ser

F ≈ –mg = -mg s/L = - (mg/L) s

Vendo a equação:

F = - kx

Isso mostra que temos a lei de hooke, com o deslocamento agora sendo o comprimento do arco s em lugar de x. Então, se um pendulo simples oscila com pequenas amplitudes, se comporta como um oscilador linear. Aqui a amplitude do movimento é a amplitude angular θm, o ângulo máximo de oscilação. E a constante k é mg/L, a constante elástica efetiva da “mola gravitacional” que associamos ao pendulo. Então substituindo mg/L por k na equação, do período do oscilador linear:

T = 2 π √ m / k

Então Temos que:

T = 2 π √ m / (mg / L)

Cancelando as massas temos que:

T = 2 π √ L / g

Período

Na área de física, é chamado de período o tempo necessário para que um movimento realizado por um corpo volte a se repetir. Por exemplo, em um relógio de pêndulo, o período do pêndulo é determinado pelo tempo que este leva para realizar o movimento de ida e de volta. Nota-se que, depois deste período, o pêndulo fará o mesmo movimento novamente, ou seja, se repetirá. O período é usualmente representado pela letra T. O inverso do período é chamado de frequência.

Ou seja: No Sistema internacional de unidades (SI), o período é medido em segundos (s)

Fórmula do Período para pequenas oscilações

Para pequenas oscilações, a aproximação fornece a seguinte expressão para o período do pêndulo:

T: períodoL: comprimento do fiog: aceleração da gravidadeVale lembrar que o período do pêndulo não depende da massa e que o fio tem que ser inelástico e de massa desprezível para que não altere o período(T).

4. Procedimento experimental

Foi medido o comprimento L do fio, em seguida, foi posto no suporte, amarrando no fio um objeto. Desta forma, foi colocado em oscilação tomando cuidado para não ultrapassar o ângulo que deve ser muito pequeno ao ponto de ser desprezível na oscilação.

Mediu-se o tempo de 5 oscilações e determinou-se o período de uma oscilação (T) através de:

T= (tempo de 5 oscilações)

5

Onde foi repetido este processo cinco vezes com ângulos e comprimento de fio diferentes, sendo assim determinou o valor mais provável do período de oscilação (T) do pêndulo para o comprimento.

4.1 Materiais Utilizados:

- Cronômetro.

- Pêndulo com fio fino.

- Massa com peso qualquer.

- Fita Métrica.

5. Dados coletados

T

400 mm

450 mm

500 mm

550 mm

600 mm

Tempo (s)

Tempo (s)

Tempo (s)

Tempo (s)

Tempo (s)

1,218

1,299

1,375

1,450

1,525

1,221

1,298

1,383

1,474

1,527

1,222

1,297

1,369

1,452

1,528

1,212

1,298

1,374

1,462

1,532

1,220

1,298

1,378

1,459

1,524

Media

Media

Media

Media

Media

1,22

1,298

1,3758

1,4594

1,5272

Ângulo

Ângulo

Ângulo

Ângulo

Ângulo

45

35

25

15

5

abela 1: Medida das distancias, tempo e a aceleração da gravidade.

6. Resultados e discussões

Formula para achar a aceleração da gravidade:

Logo:

g = 22 . L / T2

6.1 Para a medida de 400 mm e ângulo de 45 graus.

g = = (2π)2.0,4m / (1,22s)2

g = 10,60 m/s2

6.2 Para a medida de 450 mm e ângulo de 35 graus.

g = (2π)2.0,45m / (1,298s)2

g = 10,53 m/s2

6.3 Para a medida de 500 mm e ângulo de 25 graus.

g = (2π)2.0,5m / (1,3758s)2

g = 10,42 m/s2

6.4 Para a medida de 550 mm e ângulo de 15 graus.

g = (2π)2.0,55m / (1,4594s)2

g = 10, 19m/s2

6.5 Para a medida de 600 mm e ângulo de 5 graus.

g = (2π)2.0,6m / (1,5272s)2

g = 10,15m/s2

Questões

  1. Cite alguns lugares onde você tenha visto um pendulo simples.

O pêndulo simples fora e é muito usado para medição do tempo. O cientista italiano Galileu Galilei que fora um dos primeiros a perceber a independência do pêndulo simples com a amplitude fora um dos primeiros a construir relógios de pêndulo.

b) Um pêndulo preso por meio de um elástico ou mola se comportaria como um oscilador harmônico simples?

Um pêndulo preso por meio de um elástico ou mola não se comportaria como um oscilador harmônico simples pois o movimento originado e as forças existentes são diferentes do típico F= -k x .

8. Referencias Bibliográficas

Quarta edição. Volume 2.

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