Temas e Problemas

Temas e Problemas

(Parte 1 de 4)

Capıtulo 1

Proporcionalidade e Funcoes Afins

Em seu livro “Elementos de Algebra”, publicado em Sao Petersburgo em 1770, o grande matematico Leonardo Euler propoe o seguinte problema:

Uma lebre esta 50 pulos a frente de um cachorro, o qual da 3 pulos no tempo que ela leva para dar 4. Sabendo que 2 pulos do cachorro valem 3 da lebre, quantos pulos ele deve dar para pega-la?

Este e um exemplo de questao que se refere a proporcionalidade, assunto que exporemos a seguir.

1 Proporcionalidade

Diz-se que duas grandezas sao proporcionais quando existe uma correspondencia x → y, que associa a cada valor x de uma delas um valor y bem definido da outra, de tal modo que sejam cumpridas as seguintes condicoes:

2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x entao o valor correspondente de y sera dobrado, triplicado, etc. Na linguagem matematica: se x → y entao nx → ny para todo n ∈ N.

4 Temas e Problemas

Exemplo 1. Sejam x o volume e y o peso de uma porcao de um lıquido homogeneo. A correspondencia x → y cumpre claramente as duas condicoes acima, logo o volume e proporcional ao peso.

Exemplo 2. Sejam r e s retas paralelas. Dado qualquer retangulo que tenha dois lados contidos nessas retas, chamemos de x o comprimento de um desses lados e z a area do retangulo.

z s

A correspondencia x → z e uma proporcionalidade. Ou seja: quando a altura de um retangulo e fixada, sua area z e proporcional a base x.

Com efeito, em primeiro lugar, se x< x′ entao a area z′ do retangulo de base x′ e igual a area z do retangulo de base x mais a area de um retangulo de base x′ − x, logo z< z′.

Em segundo lugar, um retangulo de base n·x pode ser expresso como reuniao de n retangulos justapostos de base x (e mesma area z) logo sua area e n · z.

Observacao. A afirmacao contida no Exemplo 2 e uma consequencia imediata da formula que exprime a area de um retangulo como o produto da base pela altura. Esta e, entretanto, uma justificativa a posteriori. Nao e conveniente usa-la no presente contexto pois, na verdade, o primeiro passo da deducao daquela formula e a verificacao da proporcionalidade acima.

Exemplo 3. Consideremos no plano um angulo AOB e uma reta r que nao e paralela ao lado OA nem a OB (Figura 2). Dado qualquer segmento de reta de comprimento x, contido em OA,a s paralelas a r tracadas por suas extremidades determinam sobre o lado OB um segmento de comprimento y.

Proporcionalidade e Func oes Afins 5 y r

Antes de justificar esta afirmacao devemos mostrar que o comprimento y depende apenas do comprimento x mas nao da posicao do segmento tomado sobre o lado OA. (Isto significa que a correspondencia x → y esta bem definida.)

Ora, se tomarmos sobre o lado OA dois segmentos de mesmo comprimento x entao na Figura 3, onde MN e M′N′ sao paralelos a OA, os triangulos MNP e M′N′P′ tem, cada um, um lado de

Exemplo 4. Investindo uma quantia x numa caderneta de poupanca, apos o decurso de um mes obtem-se um montante y.A correspondencia x → y e uma proporcionalidade: o que se recebe no fim do mes e proporcional ao que se aplicou. Com efeito, e claro que aplicando-se mais recebe-se mais e investindo-se uma quantia n vezes maior do que x, pode-se considerar essa operacao como n investimentos iguais a x, logo o que se recebe e n · y.

6 Temas e Problemas y r x x x x' x x y y

Proporcionalidade e Func oes Afins 7

Observacao. Se uma quantia fixa gera, apos um mes de investimento, um retorno y,n ao e verdade que apos n meses essa mesma quantia gere o retorno n·y, mesmo que a taxa de juros permanec¸a constante. Pois ao final de cada mes e como se tivesse sido aplicada novamente uma quantia maior, igual a existente no mes anterior mais os juros correspondentes. Assim o retorno (num perıodo fixo) e proporcional ao capital inicial mas nao e proporcional ao tempo de investimento.

Esta observacao mostra que a propriedade “quanto maior for x, maior sera y”n ao assegura a proporcionalidade entre x e y. Outro exemplo disto e a correspondencia x → y, onde x e o lado de um quadrado e y e sua area.

Diante dos exemplos anteriores, podemos formular a definicao matematica de proporcionalidade, onde as grandezas sao substituıdas por numeros reais, que sao suas medidas.

Estamos considerando apenas grandezas que tem medida positiva, logo o modelo matematico da proporcionalidade leva em consideracao apenas numeros reais positivos.

com as seguintes propriedades:

Numa proporcionalidade a propriedade 2), acima admitida apenas quando n ∈ N, vale para um numero real positivo qualquer. Este e o conteudo do

Teorema Fundamental da Proporcionalidade.

A demonstracao do teorema acima estan o Apendice 1 na pag. 16. Ver tambem os seguintes livros, publicados pela S.B.M.: “Meu

8 Temas e Problemas

em c = √ 2 ou c = pi.) Por outro lado, o fato de que uma propor- cionalidade f satisfaz esta igualdade para qualquer numero real positivo c tem importantes consequencias, como veremos agora.

Uma funcao f: R → R definida por f(x)= ax, onde a ∈ R e uma constante, chama-se uma funcao linear. Quando a> 0,a funcao linear f(x)= ax transforma um numero real positivo x no numero positivo ax, logo define, por restricao, uma proporciona- proporcionalidade e a restricao de uma funcao linear a R . O coeficiente a chama-se o fator de proporcionalidade.

Esta ultima observacao nos permite concluir que se bos esses quocientes sao iguais ao fator de proporcionalidade a.

A igualdade y /x = y /x chama-se uma proporcao.

Chama-se regra de tres ao problema que consiste em, conhe- cendo tres dos numeros x , y

Ha duas maneiras tradicionais de resolver esse problema. Su- ponhamos dados x , y e x . O quarto elemento da proporcao sera chamado y. Entao deve ser y /x = y/x , donde se tira y = x y /x . Esta e uma forma de resolver a regra de tres.

O outro metodo de resolver a regra de tres chama-se “reducao a = y /x ed aı vem o valor do termo y que falta na proporcao

Proporcionalidade e Func oes Afins 9

Deve-se ressaltar enfaticamente que a regra de tres, prove- niente da proporcao y /x = y/x ,s o pode ser legitimamente em- pregada quando se tem uma proporcionalidade f, sendo y = f(x )

Outra observacao a ser feita e que, em diversas situacoes onde se usa a proporcionalidade (ou a regra de tres), o fator de proporcionalidade a e irrelevante e/ou complicado de se obter.

No Exemplo 1, o fator de proporcionalidade a = peso/volume, chamado a densidade do lıquido (ou, mais precisamente, o peso especıfico), e um conceito util. Assim, peso = densidade × volume.

No Exemplo 3, o fator de proporcionalidade nao tem a menor importancia. (Por acaso ele e o quociente dos senos dos angulos que a reta r forma com os lados OA e OB, mas esta informacao e uma mera curiosidade.)

No Exemplo 4, e costume escrever o fator de proporcionalidade sob a forma a = 1 + i, portanto tem-se y =( 1 + i)x.O numero i chama-se o juro. Se o investimento inicial x for mantido durante n meses e os juros se mantiverem fixos, tem-se ao final do n-esimo mes y =( 1 + i) x.

Quanto ao Exemplo 2, ele nos diz que a area z de um retangulo de altura fixa y (= distancia entre as paralelas r e s) e proporcional a base x, logo z = A · x, onde o fator de proporcionalidade A ea area do retangulo de mesma altura y e base 1. Mas e claro que o que vale para a base vale tambem para a altura. Logo, a area A de um retangulo de base 1 e altura y e proporcional a y, ou seja, A = B · y, onde B ea area do retangulo de base 1 e altura 1. Ora, este e o quadrado unitario logo, por definicao, B = 1. Assim A = y ea area z do retangulo de base x e altura y e dada por z = xy. (Veja o livro “Medida e Forma em Geometria”, pag. 17.)

Existe tambem a nocao de proporcionalidade inversa. Diz-se que duas grandezas sao inversamente proporcionais quando existe uma correspondencia x → y que associa a cada valor x de uma delas um valor bem definido y da outra, de tal modo que sejam cumpridas as seguintes condicoes:

10 Temas e Problemas

2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x entao o valor correspondente de y sera dividido por dois, por tres, etc. Em linguagem matematica: se x → y entao nx → y/n, para todo n ∈ N.

Portanto, dizer que y e inversamente proporcional a x equivale a dizer que y e proporcional a 1/x. Segue-se entao do Teorema Fundamental da Proporcionalidade que se y e inversamente proporcional a x entao tem-se y = a/x, onde o fator de proporcionalidade a e o valor de y que corresponde a x = 1.

Exemplo 5. Entre os retangulos de base x, altura y e area igual a 1, tem-se y inversamente proporcional a x, com y = 1/x.

2 Grandeza proporcional a varias outras

Em muitas situacoes tem-se uma grandeza z, de tal modo relacionada com outras, digamos x, y, u, v, w, que a cada escolha de valores para estas ultimas corresponde um valor bem determinado para z. Entao z chama-se uma funcao das variaveis x, y, u, v, w e escreve-se z = f(x,y,u,v,w).

Nestas condicoes, diz-se que z e (diretamente) proporcional a x quando:

Analogamente, diz-se que z e inversamente proporcional a x quando:

1’) Para quaisquer valores fixados de y, u, v e w, a grandeza z e uma funcao decrescente de x, isto e, a desigualdade x< x′ implica f(x,y,u,v,w) >f (x′,y,u,v,w).

Proporcionalidade e Func oes Afins 1

2’) Para n ∈ N e x, y, u, v, w quaisquer tem-se f(nx,y,u,v,w)=

Segue-se do Teorema Fundamental da Proporcionalidade que as propriedades 2) e 2’) acima valem para c> 0 real qualquer em lugar de n ∈ N. Isto tem a seguinte consequencia:

Com efeito,

Exemplo 6. A lei da gravitacao universal, de Newton, afirma que dois corpos, de massas m e m′ respectivamente, situados a uma distancia d um do outro, se atraem segundo uma forca cuja intensidade F e proporcional a essas massas e inversamente proporcional ao quadrado d da distancia entre eles. Resulta do acima exposto que F = c · m′ d , onde a constante c depende do sistema de unidades utilizado.

Exemplo 7. A nocao de grandeza proporcional a varias outras permite deduzir a formula do volume de um bloco retangular. O volume de um solido geometrico X, que se escreve vol(X), eu m numero real com as seguintes propriedades:

12 Temas e Problemas

Dessas duas propriedades do volume, e da definicao de proporcionalidade acima dada, resulta que se X e um bloco retangular cujas arestas medem x, y e z respectivamente entao o volume de X e proporcional a x, y e z. Portanto vol(X)= a · xyz, onde a e o volume do bloco retangular cujas tres arestas medem 1. Mas tal bloco e o cubo de aresta 1 e, por definicao, seu volume e igual a 1. Logo vol(X)= xyz.

3 Func oes afins

Exemplo 8. As escalas termometricas assinalam valores positivos e negativos. Elas se baseiam na altura de uma coluna de mercurio, a qual aumenta ou diminui conforme a temperatura sobe ou desce. Na escala Celsius, o valor 0 corresponde a temperatura em que o gelo comeca a fundir-se e o valor 100 assinala a temperatura em que a agua entra em ebulicao (a pressao do nıvel do mar). Na escala Fahrenheit esses valores sao 32 e 212 respectivamente. Assim, 0◦C = 32◦Fe 100◦C = 212◦F. Os demais valores na escala Celsius sao marcados dividindo-se o intervalo entre aquelas duas temperaturas em 100 partes de igual comprimento e, na escala Fahrenheit, em 180 partes tambem de comprimentos iguais. Usando-se esses comprimentos em cada caso, as escalas sao estendidas para assinalarem valores de temperaturas superiores a da ebulicao da agua e inferiores a da fusao do gelo. Isso requer o uso de numeros negativos. Pergunta-se: em que temperatura as escalas Celsius e Fahrenheit assinalam o mesmo valor? Qual a temperatura Celsius que e a metade do valor correspondente em graus Fahrenheit?

O exemplo acima ilustra uma situacao em que se emprega a funcao afim, conforme veremos a seguir.

Proporcionalidade e Func oes Afins 13

Exemplo 9. Uma corrida de taxi custa a reais por km rodado mais uma taxa fixa de b reais, chamada a “bandeirada”. Entao o preco de uma corrida de xkm e f(x)= ax + b reais.

Uma funcao linear f(x)= ax e um caso particular de funcao afim. Outro caso particular de funcao afim e o das funcoes constantes f(x)= b.

logo

Teorema de Caracterizacao das Funcoes Afins. Seja f: R → R uma funcao crescente ou decrescente. Se a diferenca f(x + h)− f(x) depender apenas de h, mas nao de x, entao f e uma funcao afim.

(Ver demonstracao no Apendice 2 na pag. 17.)

Exemplo 10. Retomemos o Exemplo 8. Em ultima analise, os graus C e F sao diferentes unidades de comprimento, com as quais se mede a altura de uma coluna de mercurio. Assim, a mudanc¸a de escala, de Celsius para Fahrenheit e uma funcao f: R → R que associa a medida x, segundo C, a medida f(x), segundo F, da mesma coluna de mercurio. Evidentemente, f e crescente. Alem disso, a diferenca f(x+h)−f(x) e a medida, segundo F, do segmento de reta de extremos f(x) e f(x+h) o qual, segundo C, tem extremos

14 Temas e Problemas

Provaremos a seguir que o grafico de uma funcao afim e uma reta. Para isso, usaremos a formula da distancia entre dois pon-

tos P =( x ,y ) e Q =( x ,y

quaisquer de G. Sem perda de generalidade, podemos admitir que fato, temos

Portanto tres pontos quaisquer do grafico G sao colineares. Como G possui pontos com quaisquer abscissa, segue-se que G e uma reta.

On umero b e a ordenada do ponto em que o grafico de f(x)= ax + b corta o eixo OY. Na Figura 5 ve-se como aos acrescimos iguais x → x + h e x′ → x′ + h dados a x e x′ correspondem

Proporcionalidade e Func oes Afins 15

h h

16 Temas e Problemas

APENDICE1

Teorema Fundamental da Proporcionalidade.

Seja f: R → R uma funcao com as seguintes propriedades:

Demonstracao: Em primeiro lugar, para todo numero racional r = m/n, com m,n ∈ N, e todo x ∈ R vale

Proporcionalidade e Func oes Afins 17

APENDICE2

Teorema de Caracterizacao das Funcoes Afins. Seja f: R → R crescente ou decrescente. Se a diferenca f(x+h)−f(x) depende apenas de h mas nao de x, entao f e uma funcao afim.

18 Temas e Problemas Problemas Propostos∗

1. Sejam r, s retas coplanares. Para cada segmento de reta AB contido em r, seja A′B′ sua projecao ortogonal sobre s. Prove que o comprimento de A′B′ e proporcional ao de AB.

2. Seja P um ponto fora da reta r.S e X e Y sao pontos distintos em r, prove que a area do triangulo PXY e proporcional ao comprimento de XY. Qual e o fator de proporcionalidade?

3. Dado o angulo α = AOB, para cada par de pontos X em OA e Y em OB, sejam x e y as medidas dos segmentos OX e OY respectivamente. Prove que a area do paralelogramo que tem OX e OY como dois de seus lados e proporcional a x e y. Qual e o fator de proporcionalidade? Sabendo que a area desse paralelogramo ed e 29cm quando x = 6cm e y = 7cm, qual o valor dessa area para x = 2cm e y = 3cm?

4. Sejam OA, OB e OC semi-retas nao coplanares e x, y, z as medidas dos segmentos OX, OY e OZ, respectivamente contidos em OA, OB e OC. Prove que o volume do paralelepıpedo que tem OX, OY e OC como tres das suas arestas e proporcional a x, y e z.

5. O movimento de um ponto sobre um eixo chama-se uniforme quando ele percorre espacos iguais em tempos iguais. Sua velocidade e, por definicao, o espaco percorrido na unidade de tempo. Formule estas definicoes matematicamente e obtenha a abscissa f(t) do ponto no instante t explicitamente como funcao de t ed o ponto de partida.

(Parte 1 de 4)

Comentários