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Elementos de Maquinas -Tensões -CSA1

Descrição da tensão em um ponto

•Tensões normais:

σx, σy,σ z;

• Tensões cizalhantes:

τ xy, τxz, τ yx, τ yz, τzx, τ zy; τ xy = τ yx; τ xz = τ zx; τ yz = τ zy;

Elementos de Maquinas -Tensões -CSA2

Convenção de sinais

•Tensões normais de tração são positivas;

•Tensões normais de compressão são negativas;

•Tensão cisalhantes são positivas quando:

–dirigida para o sentido positivo de uma face positiva do cubo unitário;

–dirigida para o sentido negativo de uma face negativa do cubo unitário;

Elementos de Maquinas -Tensões -CSA3

Estado duplo de tensões. Tensão plana

•Seja S a tensão total atuando na face inclinada e Sx e Sy as suas componentes nas direções x e y.

•Fazendo-se a somatória das forças nas direções x e y obtemos:

θτθσ sencos AAAS θτθσ sencos θτθσ sencos AAAS θτθσ sencos xyyy

Elementos de Maquinas -Tensões -CSA4

Estado duplo de tensões. Tensão plana

•As componentes de Sx e Sy na direção normal ao plano x`são:

•portanto a tensão normal ao plano xem função de σ x, σy,τ xy é:

θθ sencos yNyxNx

SSeSS ==

NyNxx

' eq xyyxx θθτθσθσσ+ +=

Elementos de Maquinas -Tensões -CSA5

Estado duplo de tensões. Tensão plana

•As componentes de Sx e Sy na direção tangente ao plano x`são:

•portanto a tensão cisalhante no plano xem função de σ x, σy,τ xy é:

θθ cossen yTyxTx

TyTxyx

'' eq xyxyyx θθσσθθττ− +−=

Elementos de Maquinas -Tensões -CSA6

Estado duplo de tensões. Tensão plana

•Fazendo-se a somatória das forças nas direções x e y obtemos:

•mas,

•portanto a tensão normal ao plano yem função de σ x, σy,τ xy é:

θσθτ sencos θτθσ sencos xyyy

NxNyy

' eq xyyxy θθτθσθσσ− +=

Elementos de Maquinas -Tensões -CSA7

Estado duplo de tensões. Tensão plana

Podemos expressar as eq. 1, 2 e 3 em função do ângulo duplo, através das seguintes identidades:

cos sen sencos2cos −=

` eq xy yxyx x θτθ

` eq xy yxyx y θτθ eq xy yx θτθ

Elementos de Maquinas -Tensões -CSA8

Estado duplo de tensões. Tensão plana

• A figura ao lado apresenta a variação das tensões normal (σ) e cisalhante (τ)com o ângulo “o”, para um estado de tensão biaxial mostrado no topo da figura. Os seguintes fatos podem ser notados na figura:

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