História da Matemática

História da Matemática

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Unidade I - A Matemática na Antiguidade

1. Situando a temática

Nesta unidade descrevemos de forma resumida sobre o nascimento e desenvolvimento de algumas ideias matemáticas nos povos da antiguidade como os babilônios, egípcios e gregos.

Este texto é complementado no MOODLE, onde se encontram atividades e exercícios relacionados.

2. Problematizando a temática

Todos os povos antigos desenvolveram algum tipo de Matemática básica tais como:

Representações numéricas, sistemas de numeração, aritmética e geometria. Isso acontecia naturalmente, como consequência de necessidades do dia-a-dia tais como contagem ou medidas de terras. A observação das estrelas e dos astros em geral muitas vezes servia como inspiração para novas ideias.

3. Conhecento a temática

3.1 A Matemática no Egito

Os antigos egípcios usavam uma escrita denominada hieroglífica para elaborarem seus textos em monumentos, tumbas e papiros. Esse tipo de escrita foi decifrada em 1799 quando foi encontrada a Pedra de Rosetta, no antigo porto de Alexandria. Essa pedra continha uma mensagem em três escritas: grego, demótica e hieroglífica. Sabendo o grego, Champollion na França e Thomas Young na Inglaterra fizeram grandes progressos na decifração dos hieroglifos egípcios.

O sistema de numeração hieroglífica egípcia foi facilmente decifrado. Esse sistema, tão antigo quanto as pirâmides, data de cerca de 3000 A.C. e baseava-se na escala de dez. Usando símbolos diferentes para algumas potências de dez, os números podiam ser escritos na pedra, madeira e outros materiais. A multiplicidade era denotada pela repetição dos símbolos colocados lado a lado ou empilhados uns sobre os outros. A unidade era representada por um traço vertical como I. Consequentemente, números como 2, 3 e 4 eram representados por I, I e II. Um osso de calcanhar invertido, como ∩, representava o dez, um laço que parecia um C

(como ) representava 100, uma flor de lotus (como ) representava

1000, um dedo dobrado (como ) representava 10000, um peixe

(como ) representava 100000 e uma figura ajoelhada (como ) representava um milhão. Por repetição desses símbolos, um número como 2302354 podia ser representado como

Há um limite para a quantidade de informação matemática que poderia ser encontrada em tumbas ou em calendários solares. Felizmente, várias fontes de informações registradas em papiros resistiram ao desgaste do tempo por mais de 3,5 milênios e chegaram até nós. Hoje em dia, podemos encontrar em museus espalhados por vários países o papiro de Rhind, o papiro de Moscou, o papiro de Berlim, o papiro Kahun, entre outros. Esses papiros mostraram ser excelentes fontes de informações, alguns deles com dezenas de problemas enunciados e resolvidos.

O papiro de Rhind é um antigo manual de

Matemática que contém 80 problemas com suas soluções. Foi escrito por um escriba chamado Ahmes (ou Aahmesu) e, por isso, também é conhecido pelo nome de papiro de Ahmes.

Foi encontrado em meados do século XIX, próximo ao templo de Ramsés I, na cidade de Tebas, no Egito. Em 1858 foi comprado pelo colecionador de antiguidades escocês chamado A. H. Rhind.

Escrito por volta de 1700 A.C., é um rolo com cerca de 30 cm de altura e 5 m de comprimento e, atualmente, encontra-se no Museu Britânico.

Os homens da Idade da Pedra não usavam frações. Com o advento de culturas mais avançadas durante a Idade do Bronze parece ter surgido a necessidade do conceito de fração e de notação de frações. Os egípcios representavam as frações n1/ na forma n . As outras frações eram escritas como uma soma de frações com numerador 1, exceto as que eram da forma 1+n n como

2 . Por exemplo,

2 era escrita na forma

3 era

decomposições como essas. Sugeriu-se que eram conhecidas algumas fórmulas tais como

ou até mesmo algo mais sofisticado como

py e a e b são divisores de p tais que

ab também seja divisor de p.

Encontram-se no papiro de Rhind problemas tais como: “Um montão, seus dois terços, sua metade, todos ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”. Este problema pode ser traduzido na equação

• atribui-se aleatoriamente um valor falso a montão (ou seja, a x),

chamado regra da falsa posição: por exemplo, 18:

• uma regra de três simples indicava o verdadeiro valor de

montão: o valor falso 18 está para 39 assim como o valor verdadeiro

• Portanto, 6=39

Outro exemplo: “achar um número que somado com sua sétima

1xx+
• Atribuímos um valor falso para x, por exemplo, 7=x

parte dá igual a 19”. Neste caso, devemos resolver a equação 19=7

• resolvemos a proporção

x de onde obtemos

Os gregos adotaram a representação egípcia de frações e esta permaneceu sendo utilizada na Europa por mais de 1000 anos.

3.1.2. Operações aritméticas

A operação aritmética essencialmente utilizada pelos egípcios era a adição. As multiplicações eram reduzidas a várias adições. Por exemplo, para calcular 73 vezes 19, eles dobravam 73 e obtiam 146. Dobravam novamente e obtiam 292 que é igual a 4 vezes 73. Dobravam 292 e obtiam 584 que é 8 vezes 73. Dobravam 584 e obtiam 1168 que é igual a 16 vezes

3.1.3. Geometria no antigo Egito

Os antigos egípcios tinham alguns conhecimentos de geometria. Um dos maiores sucessos da época era o cálculo da área de um círculo. Em um problema do papiro de Rhind, o escriba assume que a área de um campo circular com diâmetro de 9 unidades é a mesma área de um quadrado de lado igual a 8 unidades. Comparando com a fórmula moderna 2=RAπ, isso equivale a afirmar que 2

octógono inscrito em um círculo, eles usaram essa mesma aproximação para π. Não se conhece teorema ou demonstração formal na Matemática egípcia. No entanto, comparações como essas encontradas nesses problemas estão entre as primeiras afirmações da história envolvendo figuras curvilíneas.

A seguir, uma pequena parte do papiro de Moscou que mostra um problema de cálculo de volume de um tronco de pirâmide, bem como sua respectiva transcrição para escrita hieroglífica logo ao lado.

O papiro de Moscou contém 25 problemas, quase todos tirados da vida prática. Nesse papiro, eles calculam o volume de um tronco de pirâmide de base quadrada utilizando a fórmula moderna

onde h é a altura e a e b são as medidas dos lados das bases quadradas.

Essa fórmula não aparece em lugar algum do papiro, mas pela sequência dos cálculos realizados, podemos deduzir que era essa fórmula que estava sendo utilizada. No problema do papiro, tinha-se 6=h, 2=a e 4=b. No final, o escriba conclui: “Veja, é 56; você achou-a corretamente".

Em outro lugar (no papiro de Kahun) aparece o cálculo de um volume de cilindro onde eles multiplicam a altura pela área da base. Não se sabe como os egípcios chegaram a esses resultados.

3.2. A Matemática na Mesopotâmia

3.2.1. Introdução

Ao nos referirmos à Matemática na Mesopotâmia, também conhecida como a Matemática da Babilônia, estamos querendo dizer do tipo de Matemática cultivada na região entre os rios Eufrates e Tigre, grosso modo corresponde ao Iraque de hoje em dia.

Há relativamente pouco tempo, o que sabíamos da Matemática da Babilônia eram apenas informações esparsas da literatura grega clássica. De acordo com essas referências, supomos que os babilônios tinham algum tipo de misticismo numérico ou numerologia. Hoje sabemos que não era só isso. No final do século XIX, arqueólogos começaram a escavar a região da Mesopotâmia. As escavações forneceram, entre outras coisas, milhares de tabletes de argila com inscrições que foram reconhecidas lidarem com números em alguns deles. Somente há algumas décadas que se chegou à compreensão da Matemática Babilônia.

Temos à disposição mais de 400 tabletes ou fragmentos de tabletes de conteúdo matemático que foram copiados, traduzidos e explicados em alguns volumes. Os tabletes estão guardados em museus e coleções de vários países. Um tablete intacto é aproximadamente do tamanho de uma mão e datam de cerca de 1700 A.C. A escrita é conhecida pelo nome de cuneiforme.

3.2.2. O sistema numérico babilônio

Os babilônios usavam o que podemos chamar de sistema numérico sexagesimal. É um sistema de numeração posicional onde são usados 59 símbolos, mais um espaço em branco que faria o papel do zero. Nesse tipo de sistema, se um símbolo A for colocado à esquerda de outro símbolo B, então o valor absoluto de A é 60 vezes o valor absoluto de B. É um sistema semelhante ao nosso sistema decimal só que no lugar de 10, eles usavam 60. Ninguém sabe justificar o porquê da escolha do 60. Talvez seja porque 60 tem muitos divisores inteiros.

Na nossa notação moderna, usaremos uma vírgula para separar os símbolos (“algarismos”) de um número na notação sexagesimal. Por exemplo, 1,5,1 é um número na notação sexagesimal formado pelos

nossa notação decimal. Outro exemplo: 2,7,13,4 no sistema sexagesimal equivale no

O sistema dos babilônios também permitia o uso de frações. Na nossa notação moderna, vamos usar um ponto e vírgula para separar a parte inteira da parte fracionária de um número. Por exemplo, 1,2;15,3 é um número cuja parte inteira é 1,2 (ou seja, 62=2601+×) e cuja parte

sessenta vezes o outro. No sistema sexagesimal, mudar a posição do ponto e vírgula equivale a multiplicar o número por uma potência de 60.

O sistema sexagesimal ainda é utilizado hoje em dia na medida de ângulos em graus e na medida de intervalos de tempo. Por exemplo um ângulo de 61012′′′D equivale a 2;10,16 no sistema sexagesimal. Um

3.2.3. A aritmética babilônia

Uma desvantagem do sistema de numeração sexagesimal usado pelos babilônios era que as tábuas de multiplicação seriam muito grandes.

No entanto, em vez de usarem tábuas de dimensões 5959×, eles preferiam usar várias tábuas de multiplicação por p da forma (ver figura ao lado):

Usando uma tábua dessas, para calcular, por exemplo, o valor de p37 bastava somar os valores de p30 e de p7 que eram mostrados na tábua.

No nosso sistema decimal temos algumas regras que facilitam os cálculos. Por exemplo, sabemos que um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos for divisível por 3. Existem regras semelhantes no sistema sexagesimal. Como 60 tem mais divisores do que 10, são possíveis mais regras que facilitam os cálculos nesse sistema do que no sistema decimal. Sendo assim, além do uso de tábuas, os cálculos no sistema sexagesimal também era auxiliado pelo uso de regras específicas. Além das tábuas de multiplicação, os babilônios usavam tábuas para o cálculo de recíprocos (p1/), o cálculo de juros compostos, tábuas de quadrados, cubos e raízes quadradas.

A seguir, apresentamos alguns textos que dão uma ideia da

Matemática que era utilizada na antiga Babilônia. Basicamente, os textos daquela época podem ser classificados em duas classes: textos de tabelas e textos de problemas.

Texto 1:

Somei a área e dois terços do lado do meu quadrado, e o resultado é 0;35. Tome 1, o “coeficiente”. Dois terços de 1, o coeficiente, é 0;40.

Metade disso, 0;20, você multiplicará por 0;20 (e o resultado) que é 0;6,40, você adicionará a 0;35, e (o resultado) 0;41,40, tem raiz quadrada 0;50. Multiplique 0;20 por ele próprio e subtraia (o resultado) de 0;50, e 0;30 é (o lado) do quadrado.

Este exemplo enuncia e determina a raiz da equação quadrática

Note que um dos primeiros passos na resolução é transformar 3

2 no seu equivalente sexagesimal que é 0;40. Se seguirmos a resolução passo a passo seremos levados ao seguinte resultado

De um modo geral, os babilônios sabiam como resolver a equação qpxx=2+ de forma equivalente ao que seria com a utilização da fórmula

Naquela época, não havia preocupação em se demonstrar fórmulas de modo que não sabemos a origem desse tipo de resultado.

Texto 2: Em um tablete semelhante ao da figura a seguir, podemos ver um quadrado e suas duas diagonais. Vemos também três números 30=a, 1;24,51,10=b e

42;25,35=c escritos no quadrado. Se a representar a medida

do lado do quadrado como sugerido pela figura e c for a diagonal, então, como abc= e 2=ac, devemos ter que b é

Os babilônios sabiam que a diagonal de um quadrado é 2 vezes o seu lado. Isso mostra que eles tinham conhecimento pelo menos de um caso especial do Teorema de Pitágoras, só que uns 1200 anos antes da era em que Pitágoras viveu.

Texto 3: Em outros tabletes, podemos deduzir que os babilônios conheciam o enunciado geral do Teorema de Pitágoras. Por exemplo, no seguinte texto:

Multiplique por 24, a reta divisora, por 32, e (o resultado) é 12, 48

(Em) um trapézio 30 é o comprimento, 30 o segundo comprimento, 50 a largura superior, 14 a largura inferior. 30 vezes 30 é 15, 0. Subtraia 14 de 50 e o resto é 36. Metade disso é 18. 18 vezes 18 é 5, 24. Subtraia 5, 24 de 15, 0 e o resultado é 9, 36. O que deveríamos multiplicar por si próprio para que o resultado seja 9, 36 ? 24 vezes 24 é 9, 36. 24 é a reta divisora. Adicione 50 e 14, as larguras, e (o resultado é) 1,4. Metade disso é 32.

Este exemplo calcula a área de um trapézio isósceles de lados 30=l, 50=B (base maior) e 14=b (base menor). O primeiro passo é

Uma das partes principais da Matemática da Babilônia era a utilização do sistema posicional sexagesimal que fez com que os babilônios se tornassem excelentes calculistas.

Quanto aos conhecimentos geométricos, os babilônios usavam sem restrições o Teorema de Pitágoras. Sendo assim, a descoberta desse Teorema precede Pitágoras em mais de um milênio. Além de conhecerem fórmulas para o cálculo de áreas de figuras geométricas simples, eles também conheciam aproximções grosseiras para o número π no cálculo da área e do perímetro de um círculo. Eles sabiam que π era aproximadamente igual a 3. Sendo assim, diversos textos mostram o alto grau de sofisticação da

Matemática da Babilônia.

3.3. Matemática Grega Antiga

A atividade intelectual das civilizações do Egito e da Mesopotâmia deixaram de contribuir com novos resultados matemáticos bem antes da era cristã. Enquanto a cultura dos vales dos rios ia declinando e o bronze foi cedendo lugar ao ferro na fabricação de armas, vigorosas culturas novas foram surgindo ao longo do litoral do mar Mediterrâneo.

Os gregos (também chamados helenos) foram se estabelecendo ao longo das costas do Mediterrâneo a partir de 2000 A.C. Os primeiros jogos olímpicos realizaram-se em 776 A.C. e, nesse tempo, uma maravilhosa literatura grega já tinha se desenvolvido, evidenciada pelas obras de Homero e Hesíodo. Durante o sexto século A.C., apareceram dois homens, Tales de Mileto (624-548 A.C.) e Pitágoras de Samos (580-500 A.C.), que tiveram na

Matemática o mesmo brilho que Homero e Hesíodo tiveram na literatura.

Eles tiveram uma grande vantagem: tinham condições de viajar para os grandes centros antigos de conhecimento e adquirir informações de primeira mão. No Egito, aprenderam geometria. Na Babilônia, sob o governo de Nabucodonosor, aprenderam astronomia.

É pouco o que se sabe sobre a vida e obra de Tales (ou Thales). A opinião antiga é unânime em considerá-lo como um homem de rara inteligência e como o primeiro filósofo. Era considerado um discípulo dos egípcios e dos caldeus.

Durante uma de suas viagens à

• Um círculo é bissectado por um diâmetro.
• Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.
• Os pares de ângulos opostos (pelo vértice) formadas por duas
• Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são

Babilônia, Tales aprendeu um de seus resultados mais famosos (conhecido hoje em dia como “Teorema de Tales”) que afirmava que “um ângulo inscrito em um semicírculo é um ângulo reto”. A tradição lhe atribui uma demonstração desse teorema e, por causa disso, ele é considerado o primeiro matemático verdadeiro, que iniciou o método dedutivo na geometria. Além disso, são atribuídos a ele os seguintes teoremas: retas que se cortam são iguais. iguais, respectivamente, a dois ângulos e um lado do outro, então os triângulos são congruentes.

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