Campos Vetoriais e Integrais de Linha

Campos Vetoriais e Integrais de Linha

Calculo I

Departamento de Matematica - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha

Campos Vetoriais e Integrais de Linha

Um segundo objeto de interesse do Calculo Vetorial sao os campos de vetores, que surgem principalmente na hidrodinamica e no eletromagnetismo. Os principais teoremas do calculo vetorial envolvem campos, alguma nocao de derivada e algum tipo de integracao, podendo ser considerados irmaos do Teorema Fundamental do Calculo. Na aula de hoje ja veremos um desses casos.

9.1 Campos Vetoriais

Se U ⊂ Rm, uma funcao ~F : U → Rn e dita um campo vetorial. Na maioria dos exemplos, m = n. A intuicao fısica pode ser criada pensando em um fluxo. Considere, por exemplo, um rio que corre suavemente, sem muitas variacoes temporais (o tempo tambem pode ser considerado como uma variavel do domınio, mas deixe isso para um segundo pensamento): para cada ponto deste rio, podemos considerar um vetor velocidade para a partıcula que ocupa aquele ponto. Isso vai definir um campo de vetores (n = 3, se considerarmos que o rio tem profundidade e que a agua pode subir e descer), definido na regiao U que corresponde ao rio em questao.

Outros exemplos tambem podem ser considerados. O campo eletrico gerado por uma distribuicao de cargas; o campo gravitacional de uma distribuicao de materia (em fısica newtoniana); o campo de velocidades para partıculas atmosfericas (essencial para a meteorologia, e analogo ao exemplo do rio, no paragrafo anterior).

Ha um exemplo de outra coisa, que tambem deve ser entendido: se pensarmos na temperatura atmosferica como funcao da posicao, nao teremos um campo vetorial, pelo simples fato de a temperatura nao ser um vetor. Em alguns contextos, e comum dizer que este e um campo escalar. Do mesmo modo, se pensarmos no potencial eletrico gerado por uma distribuicao de cargas, ou no potencial gravitacional de uma distribuicao de materia, teremos exemplos de campos escalares. E qual a relacao deles com os campos vetoriais?

Assim como fizemos com as curvas, campos vetoriais podem ser decompostos em coordenadas (usamos n = 3, mas voce pode pensar em n arbitrario):

O campo ~F sera contınuo (em p = (xo,yo,zo)) se, e so se, seus componentes forem contınuos (em p). Do mesmo modo, o campo ~F e diferenciavel (em p) se, e so se, seus componentes sao funcoes diferenciaveis (em p).

Voce se lembra que, para uma funcao f : U → R, diferenciavel, voce podia definir o vetor gradiente desta funcao (em cada ponto):

Aı esta a relacao entre os campos escalares que citamos acima e os campos vetoriais: dado um campo escalar diferenciavel, seu gradiente define um campo vetorial. Em particular1, o gradiente do potencial eletrico determina o campo eletrico, o gradiente do potencial gravitacional determinar o campo gravitacional, e, em um regime estacionario2, o gradiente do campo de temperaturas determina o campo de velocidades.

Todos esses exemplos, e a lembranca que o caso interessante mais simples ja trata de funcoes de R2 em R2, deve deixar claro porque, normalmente, a representacao grafica de um campo de vetores se faz colocando em cada ponto do domınio um vetor que representa o campo naquele ponto. Claro que tal representacao e sempre feita por uma amostragem, sendo impossıvel representar o campo em todos os pontos. Claro, tambem, que se essa amostragem nao for significativa, muitos erros de interpretacao podem acontecer. Para que fique claro, pense no significado do campo (cos(pix), sen (piy)) e faca uma representacao grafica usando apenas pontos com coordenadas inteiras.

1Lembre que em fısica se inclui o sinal de menos na definicao, apenas para que o campo em questao aponte “do maior para o menor”. E apenas uma convencao, bastante natural, e que nao deve gerar confusao. 2Em problemas meteorologicos de verdade nunca se esta em um regime estacionario, assim outros efeitos entram em jogo e este gradiente de temperatura “apenas” influencia fortemente na definicao do campo de velocidades, mas nao de maneira exclusiva. Mas nao custa lembrar que tambem o potencial eletrico so determina o campo eletrico em regime estacionario; do contrario, o “potencial vetor” ~A tambem desempenha um papel. Veja as equacoes de Maxwell em algum livro, ou na camisa de algum colega.

9.1.1 Campos Conservativos

O importante exemplo dos campos gradientes ja foi apresentado acima. Por enquanto, queremos apenas incluir a informacao que eles sao chamados campo conservativos. Assim, um campo ~F e conservativo quando existe uma funcao φ (chamada um potencial para este campo)3 tal que

Para que o significado desta definicao fique mais claro, precisamos passar as integrais de linha.

9.2 Integral de Linha

Como ja dissemos, ha varios contextos para calcular integrais de linha. Ja apresentamos alguns deles, como o calculo do comprimento do arco, ou da integral de uma funcao escalar definida ao longo da curva. Agora temos uma situacao diferente, com um campo de vetores definido ao longo da curva. Portanto, devemos agora considerar γ uma curva em U, a regiao onde esta definido o campo (γ : [a,b] → U). Poderıamos pensar em algumas ideias do que fazer com um campo e uma curva, mas ha um caso com interpretacao natural a partir dos exemplos estudados. Se consideramos agora um campo de forcas (ou seja, uma carga de prova no campo eletrico, ou uma massa sujeita ao campo gravitacional...), e natural calcularmos o trabalho deste campo de forca quando a partıcula percorre a trajetoria parametrizada por γ. Assim, se para um deslocamento retilıneo e uma forca constante, o trabalho era dado por ~F · ~∆s, agora usamos a nocao usual de “quebrar em pedacinhos” (lembre das somas de Riemann, sempre), calcular para cada pedacinho e somar. Com essa intuicao, vem a definicao da integral de linha do campo ~F ao longo da curva γ:∫

Mais uma vez, a definicao foi feita fazendo uso de uma parametrizacao especıfica da curva. Mas pode-se mostrar que a integral de linha definida em (9.1) depende apenas do campo, do traco da curva e de sua orientacao (i.e.

3Reveja a nota de rodape 1.

se percorrida de γ (a) a γ (b) ou vice-versa). Com efeito, usando o mesmo ds do comprimento de arco, temos que∫

e como na aula anterior ja mostramos que a integral de linha de uma funcao escalar nao depende da parametrizacao, segue a independencia afirmada. Tambem deve ser claro porque la a integral nao dependia da orientacao e aqui depende: o vetor ~T depende desta orientacao. Caso percorramos a curva no sentido contrario, obteremos o resultado com o sinal negativo, da mesma forma que as integrais definidas do calculo I, quando invertıamos os limites de integracao. Por outro lado, deve ficar claro o significado na (9.1) do novo elemento de integracao introduzido: d~r = ~T ds, ou seja, um elemento de linha vetorial, que naturalmente aponta na direcao tangente a curva orientada, e tem seu comprimento dado pelo comprimento de arco, ja discutido. Agora passemos ao importante caso dos campos conservativos, com ~F =

∫ ba d dt onde so foi usada a regra da cadeia para funcoes de varias variaveis, estudada no calculo I. Esta conta e de simples interpretacao e de profundas consequencias: a interpretacao e que ao calcular a integral de linha de um campo gradiente, estamos somando pequenas variacoes de um campo que e obtido como variacao de uma funcao potencial. Assim, o que fazemos e obter a variacao total desta funcao. A consequencia e que a integral de linha de um campo conservativo nao depende do caminho escolhido entre dois pontos! Apenas dos pontos inicial e final. Daı a nocao de conservacao: o trabalho realizado esta sendo passado a uma energia potencial, que, caso a partıcula volte a posicao de onde comecou4, sera toda devolvida a partıcula. Em particular, se o ponto inicial e final coincidirem, a integral de um campo conservativo deve se anular.

4Independente do caminho realizado.

9.3 Como saber se um campo e conservativo

Claramente os campos conservativos sao interessantes. Mas dado ~F, como saber se existe um potencial para ele? Em outras palavras, como saber se ele e conservativo?

O interessante da resposta a esta questao e que ela involve dois aspectos: um local e um global. Em matematica, uma questao e local quando depende apenas da vizinhanca de um ponto, e um aspecto e global quando depende de todo o domınio. Em particular, derivadas sao propriedades locais, enquanto integrais sao globais.

Nesta discussao vamos considerar U ⊂ R2 e ~F : U → R2. A mesma questao sera retomada na quarta parte do curso para n = 3.

Vale notar que se existe um potencial φ para ~F e este e uma funcao bem comportada, teremos o teorema de Schwartz a nos dizer que

Mas se teremos ∂

Portanto, concluımos que se ~F e um campo conservativo em uma regiao do plano, com um potencial bem comportado5, necessariamente vale a equacao (9.2). Mas sera que todo campo com esta propriedade e conservativo? Aı entra o aspecto global! A condicao obtida aqui, por so envolver derivadas, e uma condicao local. Ela nos diz, entao, que em uma pequena vizinhanca de cada ponto onde esta definido o plano, poderıamos sim escrever uma funcao potencial para ele. A pergunta que resiste e se podemos escrever uma unica funcao potencial para toda a regiao U onde o campo esta definido. De outro modo, se podemos “colar” os potencial definidos localmente, de modo a obter um potencial global.

5Segundas derivadas contınuas.

O contra-exemplo classico e o campo

onde temos

e, portanto, a eq. (9.2) e obedecida. Porem, se escolhemos o cırculo unitario como curva para fazer a integral, com a paramtrizacao dada por teremos ∫

Por um lado, o resultado da integracao deve ser simples: o campo em questao coincide com o vetor tangente unitario da circunferencia6, portanto a integral coincide com o comprimento do arco. Por outro, temos o interessante resultado que, embora o campo ~F obedeca a eq.(9.2), sua integral de linha em um caminho fechado nao e nula, e, portanto, nao temos um campo conservativo e nao teremos um potencial globalmente definido. De fato, se trabalhassemos em algumas regioes menores do que o domınio deste campo (o plano menos a origem), poderıamos definir um potencial, e portanto restricoes deste campo poderiam ser consideradas conservativas. e interessante notar que todo o problema que aqui surge vem do fato do caminho escolhido dar “uma volta” em torno do ponto onde o campo nao esta definido. Invertendo o ponto de vista, vemos que a integral de linha aqui utilizada “percebeu” que deu uma volta em torno de um ponto especıfico, mesmo sem ter passado por ele. Essa e uma relacao entre os domınios do

6Alguem mais atento ja pode ter percebido que o campo da eq.(9.3) e uma versao para o plano do campo magnetico gerado por uma corrente uniforme concentrada no eixo z. Isso nao e mera coincidencia.

plano e os possıveis campos diferenciaveis definidos nestas regioes (e ainda, os possıveis valores de integrais de linhas definidas em caminhos fechados nestes domınios), um ramo de estudo da matematica chamado topologia diferencial, onde ha esta coexistencia entre aspectos globais (que tipicamente interessam a topologia) e aspectos locais (derivadas).

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