Plano sobre calculo de volume de Prismas

Plano sobre calculo de volume de Prismas

(Parte 1 de 2)

Escola Estadual de Ensino Médio Bernardo Petry - 3ª série do Ensino Médio - 301 Professor Cassiano Scott Puhl Datas das aulas: 03/05 – 3ª feira – 2 períodos 05/05 – 5ª feira – 2 períodos

Conteúdo a ser estudado: Estudo dos prismas, cálculo da sua superfície e do seu volume;

Inicio do estudo das pirâmides;

Objetivos de aprendizagem: Com as atividades propostas neste plano, espero que os alunos sejam capazes de:

Observar, construir e descobrir regularidades1 ;

Entender o conceito de volume do prisma;

Identificar a diferenciar paralelepípedo de cubo;

Construir e visualizar desenhos de prismas e pirâmides;

Transformar um problema da língua corrente em linguagem matemática;

Desenvolver o raciocínio lógico;

Perceber a aplicabilidade da matemática no dia-a-dia.

Metodologia: Nesta aula serão tiradas as dúvidas referentes à aula anterior e continuarei o conteúdo. Através de desenhos e de objetos, os alunos serão motivados a descobrir regularidades sobre as pirâmides. A aula será expositiva-dialogada. Durante a aula procurarei incentivar e mediar os estudantes, para que os mesmos sejam sujeitos no processo de construção de seus conhecimentos. A minha única exposição individual ocorrerá quando eu vou apresentar algumas definições, como a definição de volume do prisma, no quadro. O conteúdo abordado será desenvolvido através de exemplos ilustrados, construção de pirâmides, além da realização de exercícios. As atividades ocorrerão em duplas para que haja a interação e cooperação entre os colegas. Sempre que possível os discentes serão convidados a expressarem suas opiniões e conhecimentos prévios sobre o assunto.

1 Regularidades: semelhanças; características sempre presentes. Exemplo: as faces laterais das pirâmides são sempre triângulos.

Desenvolvimento das atividades:

03/05 – 3ª feira – 2 períodos No inicio da aula farei a chamada e, então, tirarei as dúvidas da aula passada e darei uma ideia do que será trabalhado. Iniciarei questionando os alunos sobre o que eles entendem por volume e aonde ouviram falar sobre isso. Deverão aparecer algumas “definições” de volume. Assim, aproveitarei para expor a definição formal de volume de um prisma: “volume do prisma é a medida da porção do espaço que ele ocupa.” Através de folhas ou cadernos empilhados vou mostrar que o volume da pinha reta é o mesmo de uma pilha de folhas inclinadas como no desenho abaixo.

Assim, de forma intuitiva, os alunos poderão perceber que as bases permanecem iguais e a sua altura também. Deste modo o volume depende destes elementos. Portanto, para encontrar o volume de um prisma é feito a multiplicação entre a área da base pela altura, ou seja, V=B x h. Como a unidade de medida era ao quadrado, agora tratando de volume a unidade de medida é ao cubo. Seguirei o livro didático, indicarei alguns exercícios do livro (nº de 1 a 6 do anexo A) como outros problemas. Eu, como orientador, vou questioná-los sobre o que imaginam ser um paralelepípedo e um cubo, o que eles já viram que possui esse formato. Formalizarei as dimensões do mesmo como: comprimento, largura e altura, cujas medidas serão indicadas por a, b e c, respectivamente. Apresentarei um desenho parecido como este no quadro.

Espero que, por curiosidade, os estudantes perguntem o que é a letra d, para que eu possa dizer que é a diagonal do paralelepípedo. E lançarei um desafio para eles descobrirem alguma relação entre a diagonal d e as dimensões do mesmo. Se não conseguirem, irei atribuir valores para as arestas do prisma, afim deles definirem o valor da diagonal. Depois, mostrarei a formula da diagonal e como ela surge (se nenhum aluno conseguir anteriormente) para os estudantes copiarem no caderno, e pedirei para encontrarem a área total e o volume do mesmo prisma. Em relação ao cubo, vou desenhar um ao lado do paralelepípedo e questionar sobre a diferença deles e lançarei o desafio para eles encontrarem a relação da diagonal, área total e volume. Para encerrar a aula darei mais alguns problemas para serem resolvidos para a próxima aula (anexo B), todos os exercícios terão que ter um esboço geométrico.

05/05 – 5ª feira – 2 períodos A aula iniciará com a correção dos exercícios que os estudantes estavam com dúvidas. Após a correção, questionarei sobre pirâmides como, por exemplo, qual o seu formato? Existe somente um tipo de pirâmide? Em qual lugar eles já viram as pirâmides?

Depois, de ouvi-los apresentarei a definição formal de pirâmides, no quadro: as pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal e as faces laterais são regiões triangulares. E também expor sobre a classificação das pirâmides que se dá pela região poligonal ou pela projeção ortogonal do vértice da pirâmide sobre a base: se for ao centro ela é reta, se não é obliqua. E também que existe a pirâmide regular que é aquela que é reta e sua base é um polígono regular. Com estas definições irei propor a construção de pirâmides com diferentes bases com eles, usando os seguintes materiais: isopor, palitos, canudinhos e massa de modelar. Durante a construção, os estudantes irão manipular e definir a base da pirâmide, o vértice da pirâmide, as faces laterais, arestas da base ou raio, arestas laterais, apótema da base, apótema da pirâmide e a altura. Destes elementos somente as apótemas não foram ainda definidas, sendo definidas, neste momento, no quadro: Apótema da pirâmide é a altura de qualquer face lateral; apótema da base é o segmento que determina o raio da circunferência inscrita no polígono da base. O isopor servirá para se o plano da base, a região poligonal será definida pela figura entregue numa folha para os estudantes, os palitos servirão de arestas laterais, um palito de uma cor especifica será a altura, outro palito com outra cor será a apótema da pirâmide, um pedaço de canudinho será a apótema da base, outro canudinho de outra cor será a aresta da base e a massa de modelar unirá as arestas laterais e será o vértice. Depois das construções, os alunos terão que fazer o desenho de uma pirâmide no seu caderno. Com a construção da pirâmide irá facilitar a visualização das relações métricas que são:

No triângulo retângulo VOA, temos: a² = h² + r²;

No triângulo retângulo MOA, temos: r² = m² + ( )²;

No triângulo retângulo VMO, temos: g² = h² + m²;

No triângulo retângulo VMA, temos: a² = g² + ( )²

Como os estudantes já sabem calcular a área desses polígonos, então será possível fazer o cálculo das superfícies. Para encerrar a aula comentarei sobre o tetraedro, que ele é uma pirâmide de base triangular.

Assim como haverá a construção do tetraedro, os estudantes podem ver que:

h = √ , sendo que o h é a altura do tetraedro.

E solicito a resolução de alguns exercícios do livro (anexo C) e entregarei folhas com pirâmides planificadas para serem construídas para a próxima aula.

Avaliação (da aprendizagem dos alunos): Segundo os PCN’s, a avaliação deve ser vista como um diagnóstico contínuo e dinâmico, um instrumento para repensar e reformular os métodos, os procedimentos e as estratégias de ensino. O professor deve considerar a avaliação como processo de acompanhamento e compreensão dos avanços, dos limites e das dificuldades dos alunos para atingirem os objetivos da atividade de que participam. A avaliação ocorrerá em todos os momentos das aulas. O professor estará atento às perguntas, as respostas, comentários dos alunos, ou seja, sua participação na sala de aula. O professor circulará pela sala para observar a construção das atividades. Outro meio de avaliação serão as relações obtidas durante a aula, como na construção das pirâmides ou na demonstração e na descoberta de relações métricas envolvendo a pirâmide.

Bibliografia Básica: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática Completa. Vol. Único. São Paulo: FTD, 2002.

Bibliografia Complementar: CAVALCANTE, Luiz G. [et al.]. 2 ed. São Paulo: Saraiva, 2006. DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Vol. 3. 1. ed. São Paulo: Ática, 2004. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Vol. único. 3. ed. São Paulo: Ática, 2008. LIMA, Elson Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. 3. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2000. MELLO, José Luiz Pastore. Matemática: construção e significado. Vol. único. São Paulo: Moderna, 2005. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide.htm>. Acessado em: 05 abril 2011.

Anexo A

1. A altura de um prisma hexagonal regular é igual a 5 cm. Sendo 2 cm a aresta da base, calcule o volume do prisma.

V = 6 x √

√ cm³

1. Em um prisma hexagonal regular, a altura mede 5 cm e a área lateral é 60 cm². Calcule o volume desse prisma.

Sl =6 x (5 x a) 60 = 30a a = 2 cm

√ cm³

2. Um prisma quadrangular regular tem 20 cm de perímetro da base. Se a altura do prisma mede 12 cm, calcule o volume. P = 4 x a 20 = 4a a = 5 cm

3. Calcule o volume de um prisma triangular regular cuja aresta da base mede 6 cm e cuja altura é igual a 3/2 da medida da aresta da base.

6² = (hbase)² + 3² (hbase)² = 36 – 9 hbase = 3√ cm

V = 3 x 3√ x (3/2 x 6) = 81√ cm³ 4. (Faap-SP) Calcule, em litros, o volume de uma caixa-d’água em forma de prisma reto, de aresta lateral 6 m, sabendo que a base é um losango cujas diagonais medem 7 m e 10 m.

A = 4 x ( ) = 35 m² V = A x 6 = 210 m³ 1m³ = 10 litros, logo V = 210.0 litros.

5. (Vunesp-SP) Calcule o volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas pela figura a baixo. Temos um prisma de base triangular e outro com base quadrangular.

V1 = 8 x 3 x 12 = 288 cm³

A altura da base do triângulo é 2 m. A2 = cm². V2 = 8 x 12 =

96 cm³

Vt = 384 cm³ 6. Uma amostra de metal é mergulhada em um tanque de água, retangular, cuja base mede 15 cm por 20 cm. O nível de água se eleva 0,35 cm. Qual é o volume da peça de metal?

V = 0,35 x 20 x 15 = 105 cm³ 7. Para fazer uma caixa de bombom de papelão para a Páscoa, conforme as medidas abaixo, foram usados 4.0 cm² de papelão. Qual é o volume da caixa?

a = 20 cm V = 40 x 20 x 20 = 16.0 cm³

Anexo B 1. Calcule a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são 10 cm, 6 cm e 4 cm.

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