Plano sobre calculo de volume de Pirâmide

Plano sobre calculo de volume de Pirâmide

Escola Estadual de Ensino Médio Bernardo Petry - 3ª série do Ensino Médio - 301 Professor Cassiano Scott Puhl Datas das aulas: 10/05 – 3ª feira – 2 períodos 12/05 – 5ª feira – 2 períodos

Conteúdo a ser estudado: Estudo do volume da pirâmide e do seu tronco;

Estudo de tronco de pirâmides;

Objetivos de aprendizagem: Com as atividades propostas neste plano, espero que os alunos sejam capazes de:

Observar, construir e descobrir regularidades1 ;

Entender a definição da formula de volume da pirâmide;

Identificar um tronco de pirâmide;

Construir e visualizar desenhos de pirâmides e de seu tronco;

Transformar um problema da língua corrente em linguagem matemática;

Identificar a figura geométrica da face do tronco da pirâmide;

Desenvolver o raciocínio lógico;

Perceber a aplicabilidade da matemática no dia-a-dia.

Metodologia: Nesta aula serão tiradas as dúvidas referentes à aula anterior e continuarei o conteúdo. Através de uma atividade concreta, os alunos serão motivados a descobrir regularidades sobre o calculo do volume de pirâmides. A aula será expositiva-dialogada. Durante a aula procurarei incentivar e mediar os estudantes, para que os mesmos sejam sujeitos no processo de construção de seus conhecimentos. A minha única exposição individual ocorrerá quando eu vou apresentar algumas definições, como a definição de volume da pirâmide. O conteúdo abordado será desenvolvido através de exemplos ilustrados, dedução de fórmula, atividades concretas, além da realização de exercícios. As atividades ocorrerão em duplas para que haja a interação e cooperação entre os colegas. Sempre que possível os discentes serão convidados a expressarem suas opiniões e conhecimentos prévios sobre o assunto.

1 Regularidades: semelhanças; características sempre presentes. Exemplo: as faces laterais das pirâmides são sempre triângulos.

Desenvolvimento das atividades:

10/05 – 3ª feira – 2 períodos No inicio da aula farei a chamada e, então, tirarei as dúvidas da aula passada e darei uma ideia do que será trabalhado. Iniciarei questionando os alunos, se o volume de pirâmide de altura h e área da base S é maior que o volume de um prisma de altura h e área da base S? Deverão dizer que não, que o volume da pirâmide é menor do que do prisma. Voltarei a questioná-los quanto de espaço é menor? Os alunos irão dar alguns palpitas. Darei a ideia de encher uma pirâmide com sagu e colocar essa quantidade no prisma, para analisar seu volume, assim de uma forma intuitiva eles poderão concluir que o volume da pirâmide é 1/3 do volume do prisma, ou seja, V= . A pirâmide e o prisma serão trazidos por mim, mas quem encherá a pirâmide e transpassará seu volume para o prisma será um aluno. No caderno dos alunos será copiada a fórmula para o calculo do volume e uma representação gráfica.

Após, será solicitado a resolução de alguns exercícios do livro e outros da bibliografia complementar (Anexo A). Com o exercício 9 poderei iniciar o conteúdo sobre tronco de pirâmide e facilitar a interpretação da fórmula do volume de um tronco da pirâmide. Ditarei a definição de tronco para os estudantes copiarem em seu caderno: “Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide”.

Com o tronco da pirâmide destacarei: As bases do tronco são a base da pirâmide e a secção;

As faces laterais são trapézios;

A distância entre as bases do tronco chama-se altura do tronco.

Após os alunos serão questionados: Qual é o formato da base? Eles são proporcionais? Sobre o tipo de trapézio que é formado pela face lateral? E como podemos definir a altura do trapézio? O primeiro questionamentos, sobre a base, eles terão facilidade para responder; sobre o trapézio, eles irão enxergar que as arestas laterais do tronco são iguais, mas não saberão responder em linguagem matemática. Para definir a altura do trapézio, será feito um desenho do tronco no quadro e definir todos os elementos do tronco da pirâmide. E assim se encerrará a aula.

12/05 – 5ª feira – 2 períodos Nesta aula o conteúdo que abordarei será o volume da pirâmide. Questionarei sobre como eles poderão encontrar o volume da pirâmide. Provavelmente, os alunos responderão que pode ser dado pelo volume total menos do volume da pirâmide menor, se não houver essa resposta, induzírei-los a enxergarem isso. No quadro, haverá o desenho da pirâmide cortada por plano paralelo a base, e assim deduzirei a formula do volume do tronco da pirâmide com o auxilio dos estudantes. Assim teremos que o volume da pirâmide maior é:

, onde que B é a área da base maior; e para a pirâmide menor é: , onde que b é a área da

base menor. Portanto:

Assim, se

. Através da proporção se obterá encerrará o conteúdo de pirâmides, com exercícios sobre o tronco (Anexo B). Se sobrar tempo irei fazer uma recapitulação de principais assuntos abordados e entregarei uma lista de exercícios somente com as respostas (Anexo C), preparando-os para a prova.

Avaliação (da aprendizagem dos alunos): Segundo os PCN’s, a avaliação deve ser vista como um diagnóstico contínuo e dinâmico, um instrumento para repensar e reformular os métodos, os procedimentos e as estratégias de ensino. O professor deve considerar a avaliação como processo de acompanhamento e compreensão dos avanços, dos limites e das dificuldades dos alunos para atingirem os objetivos da atividade de que participam. A avaliação ocorrerá em todos os momentos das aulas. O professor estará atento às perguntas, as respostas, comentários dos alunos, ou seja, sua participação na sala de aula. O professor circulará pela sala para observar a resolução dos exercícios. Outro meio de avaliação serão as relações obtidas durante a aula, como na relação do volume de uma pirâmide com de um prisma e na descoberta de relações envolvendo o tronco da pirâmide.

Bibliografia Básica: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática Completa. Vol. Único. São Paulo: FTD, 2002.

Bibliografia Complementar: CAVALCANTE, Luiz G. [et al.]. 2 ed. São Paulo: Saraiva, 2006.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Vol. 3. 1. ed. São Paulo: Ática, 2004. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Vol. único. 3. ed. São Paulo: Ática, 2008. LIMA, Elson Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. 3. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2000. MELLO, José Luiz Pastore. Matemática: construção e significado. Vol. único. São Paulo: Moderna, 2005. Disponível em: <http://w.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial21.php>. Acessado em: 12 abril 2011.

Anexo A

1. Numa pirâmide de base quadrada, a altura mede 8 cm e o volume é 200 cm³. Calcule a medida l da aresta da base. 2. Qual é o volume de uma pirâmide regular quadrangular, cuja base está inscrita numa circunferência de raio 4 cm e cuja altura mede 6 cm? (Dica: faça o esboço da situação, e lembre-se que num quadrado inscrito, l = r √ .) 3. A área lateral de uma pirâmide regular hexagonal é 72 cm². Sabendo que a aresta da base mede l = 4 cm, calcule o volume da pirâmide. 4. Uma pirâmide e um prisma têm a mesma base. A altura da pirâmide vale o sêxtuplo da altura do prisma. Sendo V1 o volume da pirâmide e V2 o volume do prisma, mostre que V1 = V2. 5. Uma pedra preciosa tem a forma de um octaedro regular de aresta 8 m, conforme indica a figura. Calcule o volume dessa pedra.

6. A pirâmide de Quéops é conhecida como a Grande Pirâmide do Egito. Sua base quadrada tem aproximadamente 230 m de aresta e sua altura é de 137 m. Qual é o volume dessa pirâmide? Faça um esboço gráfico.

7. Uma barraca piramidal é sustentada por seis hastes metálicas cujas extremidades são o vértice da pirâmide e os seis vértices da base. A base é um polígono cujos lados têm todos o mesmo comprimento, que é de 3 m. Se a altura da barraca é de 3 m, qual é o volume de ar nessa barraca?

8. A parte mais alta da torre de uma igreja é uma pirâmide quadrada (figura abaixo). A

Aresta da base tem 6 m e a altura da pirâmide é 4 m. Qual é o volume dessa parte da torre?

9. Por volta do ano 600 a.C., Tales de Mileto, um dos sete sábios da antiguidade, surpreendeu o faraó Amasis por ter se oferecido para determinar a altura da pirâmide de Quéops, sem ser necessário escalá-la. Para demonstrar o seu método, Tales procedeu assim: foi até a extremidade da sombra projetada pela grande pirâmide e cravou seu bastão no solo, bem na vertical. A altura da pirâmide e sua sombra formam um triângulo retângulo e o mesmo acontece com o bastão e a sua sombra. A cena abaixo ilustra um procedimento parecido.

Note que o ponto A é o ponto que se encontra no centro da base da pirâmide, e a distância dada é desse ponto A ao ponto B (final da sombra). a. Como é possível relacionar a altura da pirâmide com a altura do bastão? b. Qual é a altura da pirâmide?

Anexo B 1. As bases de um tronco de pirâmide têm área de 25 m² e 16 m², respectivamente.

Sabendo que a altura do tronco é 20 m, calcule o volume do tronco. 2. Num tronco de pirâmide, as bases são quadrados de lados 4 cm e 10 cm. A altura do tronco mede 4 cm e altura de uma face lateral mede 5 cm. Faça o esboço da situação e calcule a área lateral, a área total e o volume do tronco. 3. Em São Paulo, no parque Ibirapuera, há um monumento de concreto chamado

Obelisco, uma homenagem aos heróis de 1932. Esse monumento tem a forma de um tronco de pirâmide. Suas bases são quadradas de arestas 9 m e 6 m, e a altura é de 72 m. Qual o volume de concreto usado na construção desse monumento?

4. Uma estátua está colocada sobre um pedestal de concreto em forma de tronco de pirâmide hexagonal regular. As arestas das bases do pedestal medem 10 m e 4 m, e sua altura é 6 m. Faça o esboço geométrico e calcule: a. O volume de concreto usado para construir o pedestal? b. Sabendo que em 1 m³ são gastos 9 sacos de cimento, determine quantos sacos serão precisos para fazer este pedestal? 5. Uma cesta de lixo tem a forma de um tronco de pirâmide. Seu fundo é um quadrado de 20 cm de lado e sua parte superior é um quadrado com 30 cm de lado. A altura da cesta é 26 cm. Faça o esboço geométrico e calcule o volume de papel que cabe nessa cesta?

Anexo C 1. Um prisma reto tem por base um triângulo isósceles de 8 cm de base por 3 cm de altura. Sabendo que a altura do prisma é igual a 1/3 do perímetro da base. Faça a representação geométrica e calcule sua superfície total.

2. Um armário, com a forma de um paralelepípedo de dimensões 0,5 m, 2,5 m e 4 m, deve ser pintado. O rendimento da tinta empregada é de 5 m² por litro. Determine a quantidade de tinta necessária para pintar toda a parte interna do armário. 3. A garagem subterrânea de um edifício tem 18 boxes retangulares, cada um com 3,5 m de largura e 5 m de comprimento. O piso da garagem é de concreto e tem 20 cm de espessura. Calcule o volume de concreto utilizado para o piso da garagem. 4. Uma barra de chocolate tem a forma de um prisma quadrangular reto de 12 cm de altura. A base tem a forma de um trapézio isósceles na qual os lados paralelos medem 2,5 cm e 1,5 cm e os lados não paralelos medem, cada um, 2 cm. Faça o esboço da situação geométrica e calcule o volume do chocolate. 5. Sabendo que a aresta de um tetraedro regular medem 6 cm, calcule sua altura, sua área total e seu volume. Desenhe o tetraedro e procure estabelecer relações pelo desenho. 6. Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal, sendo 24 cm o perímetro da base e 30 cm a soma dos comprimentos de todas as arestas laterais. 7. Uma pirâmide P de altura 10 m é cortada por um plano paralelo à base de modo que a pirâmide destacada e o tronco de pirâmide restante tenham o mesmo volume. Qual a distância do vértice P ao plano secante? 8. O apótema de um tronco de pirâmide regular mede 10 cm e as bases são quadradas cujos lados medem 8 cm e 20 cm. Faça o esboço geométrico e calcule o volume desse tronco. 9. Numa pirâmide regular de base quadrada, sabe-se que a área da base é 32 cm² e que o apótema dessa pirâmide mede 6 cm. Determine quando mede: a. A aresta da base; b. O apótema da base; c. A altura da pirâmide; d. A aresta lateral; e. A área lateral; f. A área total; g. O volume. 10. Descreva como são: a. As faces e as bases de um prisma; b. As faces e a base de uma pirâmide; c. As faces e as bases de um tronco de pirâmide.

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