TEORIA DE CONTROLE I Sintonia de Sistemas PID

CASCAVEL 2011

Sintonia de Sistemas PID

Trabalho apresentado na disciplina de Teoria de Controle I, do curso de Engenharia de Controle e Automação, da FAG, como requisito parcial de conclusão da disciplina. Professor Orientador: Rogério Bastos Quirino

CASCAVEL 2011

LISTA DE ABREVIATURAS4
LISTA DE FIGURAS5
LISTA DE TABELAS6
RESUMO7
ABSTRACT8
1 INTRODUÇÃO9
1.1 Objetivos Gerais9
1.2 Objetivos Específicos9
1.3 Metodologia1
1.4 Estrutura do Trabalho1
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA12
2.1 Estrutura de um controlador PID12
2.2 Segundo Método de Ziegler-Nichols13
3 DESENVOLVIMENTO15
3.1 Equação Característica15
3.2 Condição para estabilidade marginal16
3.3 Determinação do período critico18
3.4 Ganhos do controlador19
4 RESULTADOS20
4.1 Sistema oscilatório20
4.2 Análise dos Ganhos21
4.3 Análise do lugar das raízes2
4.4 Gráfico de Ganho x Sobre-Sinal24
5 CONCLUSÃO26
PIDProporcional-Integral-Derivativo
KGanho
KpGanho Proporcional

LISTA DE ABREVIATURAS S Sobre-Sinal

Figura 1 Sistema Eletromecânico9
Figura 2 Esquema Elétrico da planta10
Figura 3 Forma paralela do controlador PID12
Figura 4 Sistema PID em Malha Fechada13
Figura 5 Diagrama de Blocos do controle15
Figura 6 Diagrama de blocos do sistema de controle16
Figura 7 Triângulo de Routh-Hurwitz17
Figura 8 Raízes da equação18
Figura 9 Diagrama de blocos no Simulink20
Figura 10 Gráfico do sistema oscilatório20
Figura 1 Gráfico do controlador21
Figura 12 Gráfico pós melhoria2
Figura 13 Lugar das raízes23
Figura 14 Gráfico do lugar das raízes antes dos ajustes24
Tabela 1 Valores de configuração10

CUSTÓDIO JUNIOR, Nilson; LENZ, Maikon.Otimização de Sistemas PID. Cascavel, 2011. Trabalho de Conclusão da Disciplina, Faculdade Assis Gurgacz, Cascavel, 2011.

O presente trabalho traz uma abordagem sobre sintonia de sistemas PID usando o método 2 de Ziegler–Nichols com oscilação permanente.

Palavras-chave: Método de Ziegler–Nichols. Sintonia PID.

The present study brings an approach to tuning PID systems using the second method of Ziegler-Nichols with permanent oscillation.

Keywords: Ziegler-Nichols method. Tunning PID.

1 INTRODUÇÃO

Sistemas PID são largamente utilizados em sistemas de controle automatizados. Desse modo é de suma importância ajustar perfeitamente seus parâmetros, de forma a otimizar o sistema, trazendo como ganho prático uma sensível melhora na resposta do sistema e até economia de energia e menos desgaste em equipamentos eletromecânicos

1.1 Objetivos Gerais

O presente trabalho, tem como objetivo geral sintonizar um sistema PID com valores propostos de forma a atingir um sobre-sinal máximo de 25%. Esse valor de sobre-sinal é especifico da aplicação, onde podemos ter por exemplo, um sistema eletromecânico que suporta no máximo um sobre-sinal de 10%.

1.2 Objetivos Específicos O sistema eletromecânico é mostrado na Figura 1.

Figura 1 Sistema Eletromecânico

Para um perfeito ajuste de sistemas PID temos que saber a função de transferência da planta alvo. No exercício proposto utilizaremos o esquema mostrado na Figura 2.

Figura 2 Esquema Elétrico da planta Assim, temos como objetivo especifico sintonizar um controle PID da Figura 2 com sobre-sinal máximo de 25%. Os valores propostos para o trabalho são mostrados na Tabela 1.

Tabela 1 Valores de configuração

Parâmetro Valor

1.3 Metodologia

Seguiremos o segundo método de Ziegler-Nichols, onde, primeiramente devemos achar primeiramente equação característica do sistema. Feito isso, é possível aplicar o critério de Routh-Hurwits, dessa forma verificamos a condição para estabilidade marginal, para identificarmos se o sistema pode ser oscilatório. Este último, é de muita importância, já que o segundo método de Ziegler-Nichols, consiste em localizar os pólos da equação e a partir daí criar parâmetros para identificação dos ganhos otimizados.

1.4 Estrutura do Trabalho

Serão abordados primeiramente uma pequena abordagem teórica sobre o método de Ziegler-Nichols em malha fechada. Posteriormente, iremos formular a equação característica do sistema utilizando os valores da Tabela 1 e o diagrama da Figura 1. Feito isso aplicaremos o critério de Routh-Hurwitse definiremos a freqüência de oscilação critica e posteriormente o período de oscilação critica. Com esses valores serão identificados os valores de ganho proporcional, ganho integrativo e ganho derivativo. O próximo passo é identificar os lugares das raízes e formular o gráfico de ganho por sobre-sinal (K x S).

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 Estrutura de um controlador PID

O controlador PID engloba três dos mais importantes estruturas de controle em um único pacote. A função de transferência da forma paralela de um controlador PID é mostrado na equação 1.

Onde:

:= Ganho proporcional := Tempo Integrativo

:= Ganho Integral := Tempo Derivativo := Ganho derivativo

A Figura 3 mostra a forma paralela do controlador PID.

Figura 3 Forma paralela do controlador PID

O termo proporcional do controlador geral, contribui para a estabilidade do sistema e melhoria a resposta transiente, enquanto o termo derivativo é freqüentemente utilizado quando for necessário para melhorar a velocidade de resposta em malha fechada. Conceitualmente o efeito do termo derivativo é alimentar informação sobre a taxa de variação da variável a medir a ação do controlador.

O termo mais importante no tratamento é o termo integrador que apresenta um pólo em s = 0 no loop à frente do processo. Isso torna o sistema em malha aberta para um sistema do tipo compensado (malha fechada), pelo menos, o nosso conhecimento dos erros no estado estável nos diz que tais sistemas são necessários para o monitoramento de um setpoint constante. Esta é a forma mais indicada no seguinte teorema, como mostra a Figura 4.

Figura 4 Sistema PID em Malha Fechada

2.2 Segundo Método de Ziegler-Nichols

O segundo método de Ziegler-Nichols alcança plantas que podem ficar instáveis com ganho proporcional puro. O método é aplicado para valores de sobresinal de no máximo 25%.

Os passos para sintonizar o controlador com o segundo método são os seguintes: 1) Reduz-se os ganhos dos blocos integrativos e derivatives para zero; 2) Aumenta-se o valor do ganho proporcional para um valor que se verifica que o sistema fique oscilatório. Caso isso não ocorra a aplicação do método não é possível. Assim Kp = Kcr.

3) Encontre o valor do período de oscilação Pcr com o valor de Kcr.

= 0,6∗( 3 )

Os ganhos do controlador são especificados pelas equações .

Averiguando que o S é maior que 25% é necessário mover o pólo da equação característica. Para isso multiplicamos Ti e Td por um valor entre 2 e 2,2.

3 DESENVOLVIMENTO

De acordo com a Figura 2, podemos escrever o diagrama de blocos do nosso sistema em especifico. A Figura 5 mostra o diagrama de blocos do sistema de controle com ganho proporcional puro.

Figura 5 Diagrama de Blocos do controle

3.1 Equação Característica

Substituindo os valores contidos na Tabela 1 com os valores da Figura 5 temos um diagrama completo com números. Podemos também simplificar a malha, trazendo o bloco Kpot para dentro da malha principal. Assim temos a equação 6, como mostrado abaixo.

$(%)=∗&’∗()%*+∗(,%(%*+,)∗-( 6 )

Substituindo:

Assim temos o seguinte diagrama de blocos 5 (6)

De acordo com a equação 7, obtemos a equação da função de transferência da malha fechada.

3.2 Condição para estabilidade marginal

O método só é aplicável caso o sistema tenha um ganho K que o torne oscilatório. Para isso utilizaremos o critério de Routh

Figura 6 Assim temos o seguinte diagrama de blocos:

De acordo com a equação 7, obtemos a equação da função de transferência

Condição para estabilidade marginal

O método só é aplicável caso o sistema tenha um ganho K que o torne oscilatório. Para isso utilizaremos o critério de Routh-Hurwitz.

De acordo com a equação 7, obtemos a equação da função de transferência

1)( 7.2 )
0( 8 )
0( 8.1 )

O método só é aplicável caso o sistema tenha um ganho K que o torne

Diagrama de blocos do sistema de controle

1171 0
ab

Utilizando a equação 8.1 colocamos os valores no triângulo abaixo

Figura 7 Triângulo de Routh-Hurwitz Na equação 9, achamos a incógnita a.

Na equação 10, achamos a incógnita b.

Na equação 1, temos a incógnita c.

+( 1 )

Na equação 1, temos os valores em torno de a. Para que a primeira fila seja 0 (aplicação do critério), temos então que a seja 0. Para isso então substituímos na equação 9 a incógnita a por 0, assim descobrimos o valor de k que torna o sistema oscilatório, ou seja, Kcr.

4,4=2627,25( 9.2 )

3.3 Determinação do período critico

Utilizando a equação 8.1 com o valor de K igual a Kcr, podemos determinar o período de oscilação critico, sabendo que tal valor é encontrado quando a equação toca o eixo y. Assim basta encontrar as raízes da equação. Utilizaremos neste momento o programa MATLAB para encontrar as raízes. Conforme a equação 10.

62+101,716+1716+6,62∗2627,25=0( 10 )
6=MN( 1 )

Lembrando que:

(MN)2+101,71(MN)+171(MN)+6,62∗2627,25=0( 12 )

Substituindo a equação 1 na equação 10: Sendo:

M=√−1( 13 )
−MN2−101,71N+171(MN)+17392,395=0( 12.1 )

A Figura 8 mostra os valores encontrados através do MATLAB.

Figura 8 Raízes da equação

Note que o único número real e positivo é o número 13.08, sendo este o valor de w dado em rad/s, necessitando conversão. Assim:

2,1=0,4804 6( 14 )

3.4 Ganhos do controlador

De acordo com a equação 3, 4 e 5, podemos determinar os valores de Kp, Ti e Td. Abaixo os resultados.

C=0,6∗2627,25=1576,3( 15 )
=1,K1K=0,2402 6( 16 )
=1,K1K=0,06 6( 17 )

A equação geral de controle PID é mostrado na equação 18

4 RESULTADOS

Utilizaremos o programa MATLAB com sua extensão SIMULINK para simular o sistema PID. O diagrama de blocos completo é mostrado abaixo na Figura 9.

Figura 9 Diagrama de blocos no Simulink

4.1 Sistema oscilatório

Vamos testar primeiramente, o valor de Kcr para podermos provar os valores encontrados. Assim, zeramos o Ganho integral e derivativo e fazemos K=Kcr. O resultado encontrado é mostrado na Figura 10.

Figura 10 Gráfico do sistema oscilatório

Através da Figura 10 podemos provar também o período crítico encontrado.

4.2 Análise dos Ganhos

Iremos agora aplicar os valores encontrados nas equações 15, 16 e 17.Note que o ganho integral é:

=(WX9( 19 )

Portanto, o valor a ser inserido no diagrama da Figura 9 deve ser:

1,K1( 20 )

O resultado encontrado é mostrado na Figura 1.

Figura 1 Gráfico do controlador O sobre-sinal é de aproximadamente 80%. Como descrito no segundo método de Ziegler-Nichols, devemos então multiplicar os valores de Ti e Td por um valor entre 2 e 2,2. Desse modo, temos:

=0,2402∗2,2=0,52846( 21 )
=0,06∗2,2=0,13206( 2 )

Aplicando os novos valores no controlador, obtivemos a seguinte reposta, mostrado na Figura 12.

Figura 12 Gráfico pós melhoria O sobre-sinal agora está em torno de 23%. Atingindo os objetivos.

4.3 Análise do lugar das raízes

Para a análise dos lugares das deixamos o valor de K separado do restante do controlador. A fórmula fechada do controlador PID é dada por:

%( 23 )
2,2

Mutliplicamos então parte da equação 23.1 pela equação 6.2. Obtendo a equação 24. Lembrando que os valores da equação 23.1 são multiplicados pelo fator

Aplicando a função rlocus no MATLAB, obtemos o resultado da Figura 13.

Figura 13 Lugar das raízes Com o gráfico da figura 13, podemos determinar um valor de Kp que melhor se adapta ao sistema de controle.

O gráfico da Figura 14 Gráfico do lugar das raízes antes dos ajustesFigura 14 mostra a análise do lugar das raízes antes da multiplicação do fator de ajuste.

Figura 14 Gráfico do lugar das raízes antes dos ajustes

4.4 Gráfico de Ganho x Sobre-Sinal

Para o sistema proposto modificamos os valores de tempo integrativo e derivativo, porém, o ganho proporcional não foi alterado. Sua variação é com a variação do sobre-sinal, em certos casos é inexpressante, tal modo que variando o ganho proporcional, poderemos não obter uma variação do sobre-sinal. A importância de se localizar um valor de ganho que tenha uma certa sensibilidade pode ser muito útil para sintonia fina do controlador. Em exemplo seria a compra de um potenciômetro de valor correto para o ajuste fino de um controlador qualquer.

Tabela 2 Valores de K x Sobre-Sinal

A Figura 15 mostra o gráfico de variação.

Figura 15 GanhoxSobre-Sinal

5 CONCLUSÃO

Obtivemos neste exercício, uma ampla discussão sobre a eficiência do segundo método de Ziegler-Nichols, provando a eficiência da sintonia PID, seguindo os seus passos. É importante um entendimento profundo de valores do ganho proporcional, já que sua sintonia fina, pode depender deste valor. É importante dizer que a sintonia deve obedecer regras (normalmente físicas) da planta. Um sobresinal alto, pode não ser suportado por algumas plantas, enquanto outras o tempo de resposta deve ser evidenciado.

27 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

[1] Controlo PID Discreto em INSTITUTO POLITÉCNICO DE TOMAR. Disponivel em < http://orion.ipt.pt/~anacris/ci_1/pdf/aula3.pdf > Acessado em 13 de junho de 2011.

[2] Copeland, Brian R. The Design of PID Controllers using Ziegler Nichols Tuning, March, 2008.

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