Dinâmica e Leis de Newton

Dinâmica e Leis de Newton

(Parte 1 de 3)

A Dinâmica é à parte da Mecânica que estuda o movimento dos corpos e as causas que o provocaram. Seus pilares são as três leis de Newton para o movimento (Lei da Inércia (Primeira Lei de Newton), Princípio fundamental da dinâmica (Segunda Lei de Newton) e a Lei da ação e reação (Terceira Lei de Newton)).

Para o estudo da dinâmica é de fundamental importância conhecer o conceito de Força, o que uma força pode causar a um objeto ou corpo, e as suas formas de ação.

Todos nós temos uma noção intuitiva de força, ligada ao esforço muscular exercido pra efetuar uma tarefa qualquer, por exemplo, para chutar uma bola, ou para levantar uma caixa do chão, etc.

Porém, em Física, os corpos ou partículas não possuem força, pois,

Para facilitar a compreensão do que uma força pode causar, analisemos os seguintes exemplos: 1) Ao chutar uma bola, o pé faz sobre ela uma força que além de deformá-la inicia-lhe o movimento. É possível notar aqui que a força produz o movimento da bola e também que a deforma. 2) Quando um objeto é abandonado de uma certa altura, cai com movimento acelerado devido à força de atração da Terra. É possível notar aqui que a força produz o movimento do objeto.

3) Uma pessoa sentada em uma cadeira não produz movimento, mas nem por isso deixa de ser exercida uma força sobre o conjunto (cadeira e pessoa) pela força gravitacional da Terra. É possível notar aqui que a força produz o equilíbrio do conjunto (cadeira + pessoa). 4) Uma mola ao ser esticada deforma suas espirais e aumenta o seu tamanho. É possível notar aqui que a força produz deformação e também o movimento da mola, pois ela aumenta o tamanho. 5) Um goleiro, ao encaixar a bola em seu peito e prendê-la em seus braços, evitando um gol, cessa o movimento da bola. É possível notar aqui que a força produz o equilíbrio na bola.

Mediante os exemplos acima, conclui-se que uma força pode causar variações na velocidade de um corpo, deformações, equilíbrio, ou ainda, todos os três fenômenos.

Quanto à forma de ação, as forças são classificadas em: (a) Forças de Contato: quando as superfícies dos corpos que interagem se tocam, isto é, há um contato físico entre os corpos ou partículas para que haja força. Nesta categoria teremos: força normal (N); força de tração (T); força de atrito (Fat). Exemplos: um livro sobre uma mesa, produz uma força normal devido à força de compressão que o livro produz na mesa ao ser atraído pela Terra (vale ressaltar que a

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁUNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁUNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁUNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CAMPUS REGIONAL DE UMUARAMACAMPUS REGIONAL DE UMUARAMACAMPUS REGIONAL DE UMUARAMACAMPUS REGIONAL DE UMUARAMA
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA
DINÂMICADE UMA PARTÍCULA

Força é o resultado da interação entre dois ou mais corpos.

Professor: Fábio Costa

força normal não é o par de forças açãoreação da força peso para o livro, ela surge devido à compressão que o livro produz na mesa); um carro sendo rebocado por um outro carro, através de uma corda atada a ambos; etc. (b) Força de campo ou de ação à distância: ocorre quando os corpos estão separados por uma distância determinada, não havendo a necessidade do contato físico. Nesta categoria teremos: força gravitacional; força eletromagnética e força elástica. Exemplos: um prego ao ser atraído por um imã; uma fruta que se desprende do galho e cai devido à força de atração da Terra; etc.

A força é uma grandeza vetorial, portanto, possui módulo, direção e sentido. Assim, em um mesmo corpo ou partícula podem agir inúmeras forças, com módulos, direções e sentidos diferentes, logo, o sistema de forças que atuam no corpo, poderá ser representado por uma única força,

chamada de Força Resultante (FR), cujo módulo corresponde à soma de todas as forças que atuam na partícula, a direção e o sentido da força resultante corresponderá exatamente à direção e ao sentido que a partícula terá sob a ação de todas as forças que nela estão agindo. Sua unidade de medida será definida posteriormente, mas para fins de conhecimento, é o newton, simbolizado por N.

Na figura abaixo estão representados cinco forças de diferentes intensidades, direções e sentidos, atuando em um corpo de massa m, esta ilustração representa o sistema de forças que atuam em um corpo.

A partir do sistema de forças que atuam em um corpo é possível obter a força resultante FR que representa a soma de todas as forças que atuam no corpo, obtendo assim, uma força com módulo único, direção e sentido que a partícula terá sob a ação de todas as forças nela aplicadas.

Observe a figura da representação da força resultante do sistema de forças que atua em um corpo

Observe que ao escrever a equação, as letras F que representam as forças estão em negrito, indicando que são grandezas vetoriais, porém, ao se substituir os números que representam as forças F1 e F2, ou seja, os módulos de F1 e F2, a força resultante também perde o negrito, pois será o módulo desta força. O negrito é o mesmo que a seta em cima da letra que representa o vetor força.

a) Se as forças atuantes no corpo tiverem mesma direção e mesmo sentido (o ângulo entre elas será de 0º)

É suficiente somar as forças F1 e F2, logo, FR = F1 + F2

Exemplo: seja F1 = 5N e F2 = 12N, então, o módulo da força resultante será, b) Se as forças atuantes no corpo tiverem mesma direção, porém sentidos opostos (o ângulo entre elas é de 180º)

É suficiente somar as forças F1 e F2, logo, FR = F1 + F2

Exemplo: seja F1 = 10N e F2 = 3N, então, o módulo da força resultante será,

É importante notar que estaremos utilizando um sistema de eixos ortogonais x e y com origem no corpo, assim, no item b acima, a força F2 está localizada na parte negativa do eixo x, por isso que ao somar adquire o sinal negativo, pois é dado o módulo da força F2.

FR = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 Como obter o módulo da Força resultante (FR) c) Se as forças atuantes no corpo forem perpendiculares, isto é formarem um ângulo de 90º entre si

É suficiente aplicar o Teorema de Pitágoras às forças F1 e F2, logo, FR2 = F12 + F2

Exemplo: seja F1 = 8N e F2 = 6N, então, o módulo da força resultante será,

d) Se as forças atuantes no corpo formarem um ângulo θ qualquer compreendido entre 0 e 90º, mas diferente de 0 e de 90º

É suficiente aplicar a Lei dos Co-senos às forças F1

Exemplo: seja F1 = 5N, F2 = 3N e θ= 60º, então, o módulo da força resultante será,

Muitas situações exigem que a força seja decomposta nos eixos x e y para se obter a força resultante, em geral, estas situações ocorrem quando existe uma força F que forma um ângulo θ qualquer com a horizontal (ou com a vertical), sendo que nesta direção (horizontal ou vertical) não existem outras forças atuando, conforme ilustra a figura ao lado.

Para resolver este tipo de problema devemse escrever os eixos x e y com origem no corpo onde a força está atuando e decompor a força F nos eixos x e y.

Construção dos eixos x e y sobre a partícula que atua a força F.

Utilizando a trigonometria no triângulo retângulo formado na figura é possível observar que a hipotenusa do triângulo é a força F, o cateto oposto ao ângulo θ é a força Fy e o cateto adjacente ao ângulo θ é a força Fx, assim, teremos:

Triângulo retângulo formado após a decomposição da força F nos eixos x e y.

Do triângulo retângulo podemos escrever:

FY=θsen e F FX=θcos

Isolando FY e FX, obteremos as forças em cada um dos respectivos eixos, y e x, logo

Decomposição de Forças

Em x: Fx = F cos θ Em y: Fy = F sen θ

Exemplo: Uma força F = 5N atua em um corpo formando um ângulo de 30º, com a horizontal, conforme a figura abaixo, encontre suas componentes nos eixo x e y.

Em xEm y
Fx = F cos θFy = F sen θ
Fx = 5 cos 30ºFy = 5 sen 30º
Fx = 5 . 0,8Fy = 5 . 0,5
Fx = 4NFy = 2,5N

Solução: com base nas figuras de construção dos eixos e do triângulo retângulo, temos que a componente da força F serão:

Exercícios Encontre o módulo da força resultante nos seguintes casos a)

b) c)

d)

e) f) g) h)

Com base no conceito de força resultante, como sendo uma única força que é capaz de produzir na partícula o mesmo efeito que todas as forças aplicadas a ela, é possível introduzir o conceito de equilíbrio.

Uma partícula está em equilíbrio quando a resultante das forças que agem sobre ela é nula, isto é, FR = 0. Assim, teremos duas situações de equilíbrio: a) Equilíbrio estático – ocorre quando a partícula estiver em repouso, ou seja, quando a força resultante sobre a partícula é nula e a velocidade da partícula também é nula.

FR = 0 e v = 0 b) Equilíbrio dinâmico – ocorre quando a partícula se movimenta em linha reta e com velocidade constante e diferente de zero (MRU) e quando a força resultante sobre a partícula é nula.

FR = 0 e v = constante ≠0

Equilíbrio de um corpo

Primeira Lei de Newton (Lei da Inércia) Consideremos um corpo não submetido à ação de nenhuma força; nesta condição esse corpo não sofre variação de velocidade. Isto significa que, se ele está parado, permanece parado, e se está em movimento, permanece em movimento e sua velocidade se mantém constante.

Tal princípio, formulado pela primeira vez por Galileu Galilei e depois confirmado por Isaac Newton, é conhecido como primeiro princípio ou primeira lei da Dinâmica (primeira lei de Newton) ou princípio da inércia. Podemos interpretar se enunciado da seguinte maneira: todos os corpos são “preguiçosos” e não desejam modificar seu estado de movimento: se estão em movimento, querem continuar em movimento; se estão parados, não desejam mover-se.

Essa “preguiça” é chamada de inércia e é característica de todos os corpos dotados de massa.

O princípio da inércia pode ser observado no movimento de um ônibus. Quando o ônibus “arranca” a partir do repouso, os passageiros tendem a deslocar-se para trás, resistindo ao movimento.

Da mesma forma, quando o ônibus já em movimento freia, os passageiros deslocam-se para frente, tendendo a continuar com a velocidade que possuíam.

Para Galileu, o natural era o movimento e não o repouso como afirmava Aristóteles. Ao observar o movimento de um corpo, sua questão era “por que pára” e não “por que se move”.

A afirmação de que um corpo parado permanece parado se sobre ele não agir nenhuma força pode facilmente ser compreendida em nossa vida prática (um corpo não se move por si só, é necessário aplicar-lhe uma força).

Já a afirmação de que um corpo em movimento mantém velocidade constante se não atuarem forças sobre ele é menos intuitiva. Com efeito, um corpo em movimento não permanece sempre em movimento: depois de certo tempo mais ou menos longo o corpo pára. Uma bolinha jogada sobre um plano horizontal pára após percorrer poucos metros, mesmo que aparentemente sobre ela não aja nenhuma força.

Na realidade existe uma força de freamento indicada genericamente com o nome de atrito, que estudaremos mais adiante. Porém, no caso de essas forças freantes ao existirem ou serem reduzidas ao mínimo, o princípio da inércia é verificado plenamente.

Por exemplo, uma nave espacial que se move no espaço interplanetário não encontra atrito; por isso não tem necessidade de motor e, pelo princípio da inércia, continua a mover-se em linha reta com a velocidade com a qual foi lançada inicialmente.

Os referenciais em que o princípio da inércia se verifica são chamados de referenciais inerciais. Tais referenciais são fixos em relação às estrelas distantes ou se movem com velocidade constante em relação a elas, isto é, possuem aceleração vetorial nula.

Para movimentos de pequena duração (menor que 24 horas), podemos desprezar os efeitos de rotação da Terra e considerar sua velocidade como constante durante o movimento de translação. Nessas condições a Terra pode ser considerada um referencial inercial.

Segunda Lei de Newton (Princípio Fundamental da Dinâmica)

Para enunciar a segunda lei de Newton devemos ter em mente o conceito de massa de um corpo.

A massa é a medida da matéria que compõe o corpo, obtida por comparação com um objeto padrão através da balança de braços iguais. Podemos associar a massa de um corpo à sua inércia, assim, a massa de um corpo será a medida numérica da inércia deste corpo, pois por experiência própria, sabemos que os corpos que apresentam maior inércia são aqueles que apresentam maior massa, por exemplo, é mais fácil empurrar um carrinho de supermercado vazio do que um cheio de compras.

No sistema internacional de unidades (SI) a unidade de massa é o quilograma (kg), o qual possui múltiplos (tonelada (t) = 1000 kg; etc) e submúltiplos (grama (g) = 0,001 kg; etc).

O princípio fundamental da Dinâmica ou segunda lei de Newton estabelece uma proporcionalidade entre a força aplicada a um corpo (causa) e variação de velocidade produzida no corpo (efeito).

Para enunciar este princípio, Isaac Newton partiu da definição de quantidade de movimento de um corpo. De modo simples, a quantidade de movimento de um corpo (Q) pode ser expressa

Leis de Newton matematicamente como sendo o produto da massa do corpo (m) pela velocidade do corpo (v):

Q = m . v

É através dela que se explica o porquê é mais fácil parar uma bicicleta em movimento do que um caminhão, também movimento, se ambos tiverem a mesma velocidade.

Assim, partindo da equação da quantidade de movimento e fazendo essa quantidade de movimento ser tão pequena quanto se queira, isto é, derivando ela em relação ao tempo, Isaac Newton chegou a uma relação entre a força aplicada a um corpo e a variação de velocidade produzida neste corpo, observe:

Partindo da equação Q = m . v

Aplicando a derivada temporal ).()(vQm

dtd dt

O segundo membro da equação anterior é resolvido aplicando a regra da cadeia ao produto m . v dt d m d vvQ +=

Como a massa se mantém constante, e derivada de constante é

nula dt d m

Finalmente, obtemos a segunda lei de Newton d m d vQ =

Lembrando que dt d v a=, podemos escrever aQ .m

A segunda Lei de Newton foi enunciada da forma dt d m d vQ =, a equação muito conhecida

(F = m . a), não pertence a Isaac Newton, mas sim ao matemático e físico suíço Leonhard Paul Euler, o qual introduziu o conceito de que a derivada de temporal da quantidade de movimento é a força

aplicada no corpo dt dQF.

Para um corpo no qual autuam várias forças, utilizamos a notação da força resultante (FR), onde m é a massa do corpo e a é a aceleração adquirida pelo corpo ao lhe ser aplicado forças eternas, assim, matematicamente, teremos:

Exemplo: Em um corpo de massa igual a 10 kg, estão aplicadas três forças, conforme a figura, onde F1 = 2N, F2 = 3N e F3 = 7N. Encontre a aceleração desenvolvida pelo corpo.

Solução: basta aplicar a equação

FR = m . a, assim FR = m . a

Terceira Lei de Newton (Ação e reação) Quando dois corpos interagem aparece um par de forças como resultado da ação que um corpo exerce sobre o outro. Essas forças são comumente chamadas de ação e reação.

As forças sempre agirão em pares, uma destas forças corresponderá à força de ação e atuará em um dos corpos que está interagindo, e a outra força, chamada de reação, atuará no segundo corpo que participa da interação, portanto, as forças de ação-reação atuarão em corpos diferentes e jamais se cancelarão.

A terceira lei de Newton pode ser enunciada da seguinte maneira:

Quando um corpo A aplica uma força em um corpo B, o corpo B também aplicará no corpo

FR = m . a F3 F1 F2

P m

A, uma força de igual intensidade e direção, porém de sentido contrário.

De modo simples, a toda ação corresponde uma reação, com a mesma intensidade, mesma direção e sentidos contrários. Considere dois patinadores, A e B. Se A exercer uma força FA em B, este, simultaneamente, reage e exercerá uma força FB em A. Assim teremos, pela terceira lei de Newton que a intensidade é a mesma ( | FA | = | FB | ), a direção é a mesma (horizontal) e o sentido é oposto

(Parte 1 de 3)

Comentários