Movimento Circular

Movimento Circular

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Considere um móvel percorrendo no sentido anti-horário a trajetória circular de raio R, a partir da origem O. No instante t, o móvel se encontra na posição P. O arco da circunferência (s), corresponde ao espaço percorrido pelo móvel, e o ângulo ϕ, formado na trajetória OP, é chamado de ângulo horário ou ângulo de fase, e serve para localizar o móvel sobre a trajetória.

O ângulo ϕ é obtido através da equação

No movimento circular, o ângulo de fase é sempre mensurado em radianos (rad). O espaço percorrido (s) pelo móvel na trajetória circular é dado por:

Considere um móvel percorrendo uma trajetória circular (figura acima) a partir da origem (O).

O ângulo 1ϕ é o ângulo horário correspondente ao deslocamento 1s sofrido pelo móvel ao partir de O até a posição P1 no instante t1

O ângulo 2ϕ é o ângulo horário correspondente ao deslocamento 2s sofrido pelo móvel ao partir de O até a posição P2 no instante t2

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Movimento Circular

Professor: Fábio CostaProfessor: Fábio CostaProfessor: Fábio CostaProfessor: Fábio Costa

R s=ϕ

A variação angular ϕ∆ entre as posições P1 e P2 obtida através da equação 12ϕϕϕ−=∆. Conseqüentemente, teremos também uma variação

no deslocamento do móvel, dada por 12sss−=∆.

Assim, poderemos encontrar a velocidade com que o móvel percorre o caminho entre os pontos P1 e P2,

chamada de velocidade angular média (mω), através da equação:

Ao se fazer o móvel percorrer a trajetória em um intervalo de tempo extremamente pequeno

(0→∆t), a variação angular sofrida pelo móvel também será pequena, assim, surge a velocidade angular instantânea (ω) dtd ttm

A unidade de medida no Sistema Internacional de velocidade angular é o radiano por segundo (rad/s).

Exemplo: Um corpo se movimenta em trajetória circular no sentido anti-horário. Nos instantes 3s e 5s suas posições são, respectivamente, 30º e 120º. Calcular: (a) o ângulo descrito nesse intervalo de tempo; (b) a velocidade angular média. Solução: do enunciado do problema precisamos descobrir o intervalo de tempo transcorrido para o corpo percorrer a trajetória e também a variação angular entre o intervalo de tempo mencionado, logo

(a) Para obter o ângulo descrito devemos transformar graus em radianos, portanto

(b) Sabendo a variação angular em radianos podemos encontrar a velocidade angular média, logo pi ω=m sradm /4 pi ω=

Relação entre velocidade escalar e velocidade angular Considere um móvel descrevendo, no sentido antihorário, a trajetória circular conforme indicado na última figura. Assim, podemos escrever:

Rs.ϕ∆=∆ (dividindo ambos os membros da equação acima por t∆)

R t

Por definição em tópicos anteriores, v t

logo

Movimento circular uniforme O movimento das extremidades dos ponteiros de um relógio ou de um CD sendo executado, ou ainda, das pás de um ventilador é dito movimento circular

uniforme, pois a cada volta completa realizada por destes objetos, as características (posição, velocidade, etc) do mesmo objeto permanecem inalteradas. Quando um móvel realiza um movimento circular uniforme o módulo do vetor velocidade permanece constante e diferente de zero em qualquer ponto da trajetória circular descrita pelo móvel, conforme indicado na figura.

Isso indica que o movimento circular uniforme é um movimento periódico, ou seja, é um movimento que se repete de modo idêntico, em intervalos de tempos iguais.

Período O período (T) é o tempo gasto pelo móvel para realizar uma volta completa, ou seja,

O espaço efetivamente percorrido pelo móvel (s∆) é de 360º ou em radianos de Rpi2

Logo

T Rt

RRv RT ω

A unidade de medida do período é o segundo (s).

Freqüência (f)

É o número de voltas efetuadas na unidade de tempo. Portanto

tempo Número de voltas ou

A unidade de medida de freqüência no Sistema

Internacional é o inverso do segundo que é chamada hertz (Hz). É comum indicar a freqüência em rotações por minuto (rpm), sendo que 60 rpm = 1 Hz.

Exemplo: Um corpo em movimento circular uniforme efetua 480 voltas em uma circunferência de raio 0,5m em 2 minutos. Determinar: (a) a freqüência, (b) o período e (c) a velocidade escalar do corpo. Solução: (a) o tempo deverá ser expresso em segundos, logo 2 minutos = 120 segundos.

Tempo (s) Número de voltas

Hzf4= (b) O período é dado por

(c) A velocidade escalar é dada por Rv.ω=, portanto precisamos encontrar primeiramente a velocidade angular ω, logo

srad/8piω=

Substituindo em Rv.ω=, teremos Rv.ω=

Aceleração centrípeta No movimento circular uniforme o vetor velocidade é constante em módulo, mas é variável em direção.

v==||||21vv Como existe variação do vetor velocidade, existe aceleração.

A aceleração a, é dada por

Se o vetor aceleração a tiver a mesma direção e o mesmo sentido de v∆, então o vetor aceleração será dirigido para o centro da circunferência, e será chamado de aceleração centrípeta ou aceleração

normal, indicado por cpa.

O módulo da aceleração centrípeta é dado por:

acp 2 = ou Racp2ω= onde v é a velocidade escalar, R é o raio da trajetória e ω é a velocidade angular.

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