Trabalho, Energia, Impulso e Quantidade de Movimento

Trabalho, Energia, Impulso e Quantidade de Movimento

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Trabalho e energia fazem parte do estudo de dinâmica de uma partícula.

O conceito de energia pode ser considerado intuitivo. Não é algo que podemos tocar com as mãos, porém podemos sentir suas manifestações. Exemplos: sentimos calor quando a madeira é queimada; a água de uma cachoeira movimenta as turbinas de uma usina hidroelétrica; vemos a luz emitida pela chama de uma vela, etc.

Para avaliar quantitativamente a energia, devemos medir a transferência de energia de um corpo para outro, isto é, a transformação de uma forma de energia em outra.

Para medir a quantidade de energia transferida de um corpo para outro vamos introduzir o conceito de trabalho.

O significado da palavra trabalho, em

Física, é diferente do seu significado habitual, empregado na linguagem comum. Por exemplo: um homem que levanta um corpo até uma determinada altura realiza um trabalho. Já em Física, o trabalho que uma pessoa realiza ao sustentar um objeto numa certa altura sem se mover é nulo, pois não houve deslocamento.

Trabalho, em Física, é sempre relacionado a uma força e ao deslocamento por ela produzido, isto é, uma força aplicada a um corpo realiza trabalho quando produz um deslocamento do corpo.

O trabalho será dito motor quando for positivo e, resistente quando for negativo.

A unidade de trabalho no Sistema

Internacional é o N . m, também chamado de joule, J.

Examinemos com detalhes quatro casos para força constante: a) Primeiro caso: a força tem a mesma direção do deslocamento

Consideremos um corpo de massa m que, por causa de uma força F, horizontal e constante, se movimenta da posição A para a posição B, sofrendo um deslocamento d, conforme a figura acima. O trabalho realizado pela força F para deslocar o corpo da posição A até B, será dado pela equação abaixo, onde W indica trabalho, F indica Força e d indica deslocamento, logo:

Exemplo: Uma caixa desliza num plano horizontal sem atrito sob a ação de uma força F de intensidade 60N. Determine o trabalho dessa força em um deslocamento de 12m, no mesmo sentido da força. Solução: F = 60N e d = 12 m, aplicando a equação

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Trabalho de uma Força Constante W = F . d

PPPProfessorrofessorrofessorrofessor: F: F: F: Fábio Costaábio Costaábio Costaábio Costa b) Segundo caso: a força não tem a mesma direção do deslocamento.

Consideremos um corpo de massa m que, por causa de uma força F, horizontal e constante, se movimenta da posição A para a posição B, sofrendo um deslocamento d, conforme a figura acima. O trabalho realizado pela força F para deslocar o corpo da posição A até B, será dado pela equação abaixo, onde W indica trabalho, F indica Força e d indica deslocamento, logo:

Lembre-se que neste caso é necessário decompor a força F nos eixos x e y, por isso teremos o aparecimento do termo θcos, pois haverá movimento somente no eixo x. Exemplo: Uma caixa é deslocada 10m pela força F = 50N, que forma um ângulo de 60º com horizontal. Determine o trabalho realizado pela força F no deslocamento.

Solução: F = 50N; d = 10m; º60=θ e 5,0º60cos=, aplicando a equação

Como o corpo fica sujeito à força peso

c) Terceiro caso: trabalho da força peso Consideremos um corpo de massa m lançado do solo, verticalmente para cima, e atingindo uma altura h ou abandonado da mesma altura em relação ao solo, num local onde a aceleração da gravidade é igual a g. (P = mg), ela realiza um trabalho resistente durante a subida e um trabalho motor durante a descida.

Subida Descida mghW AB −=, mghW BA =,

Note que o trabalho da força peso independe da trajetória, isto é, depende somente das posições inicial e final do corpo. Forças com essa característica são chamadas forças conservativas.

solo, com velocidade constante. Sabendo que

Exemplo: Um homem levanta uma caixa de massa 8kg a uma altura de 2m em relação ao g = 10m/s2 , determinar o módulo do trabalho realizado pela força peso.

Aplicando a equação mghW−=

JW160−= Como foi solicitado o módulo, teremos d) Quarto caso: trabalho da força elástica Consideremos uma mola de constante elástica k, não distendida, com uma de suas extremidades fixa e a outra extremidade livre.

Ao aplicar uma força à mola, esta se distenderá por uma distância l, correspondendo à sua deformação. Assim, a força aplicada à mola será dada por:

W = F . d . cos θ

Compondo um gráfico de força aplicada (F) versus deformação da mola (x), é possível notar que pela definição de trabalho de uma força constante (dFW.= (Trabalho é igual ao produto da força aplicada pelo deslocamento do corpo, lembre-se que o deslocamento será l)), o trabalho da força aplicada à mola será numericamente igual à área do gráfico.

Exemplo: uma mola de constante elástica 4N/m é distendida por 10cm ao lhe aplicar uma força F. Qual é o trabalho da força elástica? Solução: devemos converter a elongação da mola de cm para metro, para isso é suficiente utilizar uma regra de três simples, logo

cm cmm

m1,0=l Aplicando a equação

O trabalho da força elástica será resistente se a mola estiver sendo contraída e motor de a mola estiver sofrendo uma elongação.

Não será abordado o trabalho de forças não conservativas, isto é, de forças variáveis, pois para o cálculo do mesmo é necessário conhecimento de integral definida.

Potência Consideremos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho. Se uma delas leva um tempo menos que a outra para a realização desse trabalho, tem de fazer um esforço maior, e portanto, dizemos que desenvolveu uma potência maior. No dia-a-dia, dizemos que um carro é mais potente que outro quando ele “arranca” mais rapidamente, isto é, atinge uma grande velocidade num intervalo de tempo menor. Uma máquina é caracterizada não pelo trabalho que efetua, mas pelo trabalho que pode efetuar em determinado tempo; daí a noção de potência.

Utilizando otP para a potência média, W para trabalho e t∆ para o intervalo de tempo, a expressão matemática para o cálculo da potência será dada por:

t WPot ∆

Efetuando as transformações dFW.=, e t

(definição de velocidade média), obtemos:

mot vFP .=

Onde Pot é a potência média, F é a força e vm é a velocidade média.

Em particular, quando o intervalo de tempo gasto para a realização de um trabalho for muito pequeno

(0→∆t), surge a potência instantânea, dada por vFPot .=

Onde Pot é a potência instantânea, F é a força e v é a velocidade instantânea.

A unidade de potência no Sistema Internacional é o watt (W). Outras unidades regularmente utilizadas são cavalovapor (CV) e horse-power (HP) e podem ser relacionadas com watt da seguinte maneira:

O watt é uma unidade de potência muito pequena, por isso é comum expressar valores de potências grandes em quilowatts, logo

Os números 1.0, 1,3, 1.6, 1.8, 2.0, 125cc, 150cc, 250cc, etc, que representam a potência de um carro ou moto, indicam o deslocamento em volume, efetuado pelos pistões, dentro dos cilindros do motor, isto é, indicam o trabalho realizado pelos pistões dentro dos cilindros.

Exemplo: calcular a potência média desenvolvida por uma pessoa que eleva a 20m de altura, com velocidade constante, um corpo de massa 5kg em

Solução:

t mgHt

Rendimento Imaginemos uma máquina qualquer que deve realizar determinado trabalho; por exemplo, um trem elétrico. Para o trem elétrico funcionar, devemos fornecer a ele uma potência denominada potência elétrica ou potência total (Pt). Por outro lado, o trem desenvolve uma potência útil (Pu), que provoca o seu deslocamento.

A potência útil é sempre menor que a potência total, pois uma parte da potência total é utilizada (perdida) para vencer as resistências passivas, representadas principalmente pelo atrito. A parcela da potência total que é perdida (dissipada) é denominada potência dissipada (Pd) ou potência perdida.

Assim, a relação entre as potências é:

Pt = Pu + Pd Para qualificar uma máquina quanto à sua eficiência, definimos a grandeza rendimento ()η como sendo o quociente entre a potência útil (o que se aproveita) e a potência total (o total recebido), logo tuP P=η

O rendimento é o quociente entre duas grandezas de mesma unidade, portanto, ele será adimensional, isto é, não terá unidade de medida, e poderá ser expresso em termos de porcentagem. Matematicamente, o rendimento será sempre maior

ou igual a zero e menor que 1, 10≤≤η.

De modo análogo ao realizado para as potências, podemos relacionar os trabalhos em: trabalho total ou trabalho motor (Wt), trabalho útil (Wu) e trabalho dissipado (Wd), assim, teremos: Wt = Wu + Wd.

Exemplo: O rendimento de uma máquina é de 80%. Sabendo-se que ela realiza um trabalho de 1000J em 20s, determinar a potência total consumida pela máquina. Solução: o trabalho realizado pelo motor é útil, logo para o cálculo da potência total, temos tuP P=η

Dizemos que um sistema ou corpo tem energia quando tem a capacidade de realizar trabalho. A energia manifesta-se sob várias formas, segundo o agente que a produz: (a) energia mecânica – na queda dos corpos; (b) energia térmica – na máquina a vapor; (c) energia elétrica – na pilha. Em mecânica interessam-nos apenas a energia de movimento dos corpos, chamada energia cinética e a energia da posição ocupada pelos corpos, conhecida por energia potencial.

Energia cinética A água que corre, o vento que sopra, um corpo que cai, a bala que sai da boca de um canhão, etc, têm energia, pois podem produzir trabalho quando encontram algum obstáculo. A água corrente pode acionar uma turbina; o vento impulsiona barcos à vela, faz girar moinhos; a bala de um canhão derruba prédios. Esse tipo de energia que os corpos têm devido ao movimento é denominado energia cinética. Suponha um corpo de massa m, inicialmente em repouso, sobre o qual passa a agir uma força de intensidade F durante um tempo t.

Após esse tempo a velocidade do corpo é v e o deslocamento é d. Da cinemática, podemos escrever:

atv= (equação 1)

Energia

1 atd=(equação 2)

A energia adquirida pelo corpo é igual ao trabalho realizado pela força F, logo dFE.= (equação 3) Da dinâmica, podemos escrever:

amF.= (Equação 4) Substituindo as equações 2 e 4 na equação 3

1 tamE=

1 atmE= (Equação 5)

Substituindo a equação 1 na equação 5

Finalmente obtemos a equação da energia cinética

1 mvEC=

Esta é a equação da energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v e representa o trabalho realizado pela força F para aumentar a velocidade do corpo de zero até v. Como o trabalho é uma forma de energia, as unidades de energia são as mesmas das do trabalho (joule, J).

liso. No instante t = 0, passa a agir uma força

Exemplo: Considere um corpo de massa 6kg, inicialmente em repouso sobre um plano horizontal F = 12N sobre o corpo, durante 10s. (a) Qual o trabalho realizado pela força F? (b) Qual a energia cinética do ponto material no instante 10s? Solução: (a) Obtendo a aceleração

2/2sma= Obtendo o deslocamento

(b) Obtendo a velocidade smv/20= Calculando a energia cinética

1 mvEC=

Teorema do trabalho – energia cinética Consideremos um corpo de massa m que passa da velocidade v0 para a velocidade v sob a ação da força resultante F num deslocamento d.

Esta força produzirá no corpo uma aceleração a, de tal modo que pela equação de Torricelli teremos:

O trabalho da força F sobre o corpo é dado por: dFW.= adWm= (Equação 2)

Substituindo a equação 1 na equação 2, teremos:

Onde

Com isso, podemos dizer que o trabalho realizado pela força resultante que atua sobre um corpo é igual à variação ad energia cinética desse corpo.

Exemplo: Um corpo de massa 2kg está em repouso sobre o plano horizontal liso. Aplicando-se uma força horizontal F, o corpo desloca-se 50m, adquirindo velocidade de 30m/s ao fim desse deslocamento. Determine o trabalho realizado pela força aplicada. Solução: Aplicando o teorema, teremos

Energia Potencial Um corpo ou um sistema de corpos pode ter forças interiores capazes de modificar as posições relativas de suas diferentes partes, realizando assim um trabalho. Dizemos então, que o corpo ou o sistema de corpos tem energia potencial. Como exemplo, podemos citar a água contida em uma represa, a certa altura, que ao abrir-se às comportas, a água atraída pela gravidade coloca-se em movimento e cai, acionando a turbina de uma usina hidroelétrica e conseqüentemente realizando trabalho. Um outro exemplo é o de uma mola comprimida (ou esticada), tendo um corpo em uma de suas extremidades, que ao sofrer descompressão (retornar ao seu comprimento normal), fará o corpo se movimentar produzindo trabalho. Esse tipo de energia armazenada pelos corpos devido a suas posições é denominado energia potencial, que também é conhecida por energia de posição, devido à posição relativa que ocupam as diversas partes de um corpo ou do sistema. A energia potencial devida à gravidade é chamada energia potencial gravitacional e a energia potencial devida à mola é denominada energia potencial elástica.

Energia Potencial Gravitacional Consideremos um corpo de massa m, sobre o solo,

num local onde a aceleração da gravidade é g. O trabalho realizado por uma força F para elevar o corpo até uma altura h, com velocidade constante, fica armazenado no corpo sob a forma de energia potencial gravitacional dada por:

hPW.= ghWm= mghEP=

Para o cálculo da energia potencial gravitacional adotamos o solo como nível de referência, isto é, nesse nível a energia potencial gravitacional é nula.

uma altura de 45m em relação ao solo. Adote

Exemplo: um corpo de massa 5kg é abandonado de g = 10m/s2 e calcule a energia potencial gravitacional. Solução:

mghEP=

Energia Potencial Elástica (PelE)

A energia potencial é também denominada energia de posição, porque se deve à posição relativa que ocupavam as diversas partes do corpo ou do sistema. A energia potencial devida à gravidade é chamada de energia potencial gravitacional e aquela devida à mola é denominada energia potencial elástica. Neste caso, interessa-nos apenas a energia potencial elástica que corresponde à energia Consideremos uma mola de constante elástica k, não distendida, com uma de suas extremidades fixa e a outra extremidade livre. Ao aplicar uma força à mola, esta se distenderá por uma distância l, correspondendo à sua deformação. Assim, a força aplicada à mola será dada por l.k=F.

Compondo um gráfico de força aplicada (F) versus deformação da mola (x), é possível notar que pela definição de trabalho de uma força constante

(dFW.= (Trabalho é igual ao produto da força aplicada pelo deslocamento do corpo, lembre-se que o deslocamento será l)), o trabalho da força aplicada à mola será numericamente igual à área do gráfico.

Por definição, o trabalho realizado pela força F para vencer a resistência da mola é igual à energia transferida para a mola e que fica armazenada em forma de energia elástica, logo

PelEW =

Exemplo: Uma mola de constante elástica

k = 400N/m é comprimida 5cm. Determinar sua energia potencial elástica. Solução: convertendo de centímetro para metro a elongação da mola, temos:

Princípio da conservação de energia Qualquer movimento ou atividade é realizado

através da transformação de um tipo de energia em outro, por exemplo, para uma pessoa correr, nadar ou levantar um objeto, sua energia é transformada em calor (energia térmica) e movimento (energia mecânica). Essa energia provém dos alimentos ingeridos e do ar que respiramos (energia química). Assim, é possível perceber que a energia não se cria nem se destrói, apenas se transforma de um tipo em outro, em quantidades iguais. E corresponde exatamente ao principio da conservação de energia. Em dinâmica, nos interessa apenas a energia mecânica do sistema, portanto, o princípio da conservação de energia pode ser enunciado da seguinte maneira: Em um sistema conservativo, isto é, no qual é desprezado o atrito e a resistência do ar, a energia mecânica total permanece constante. Matematicamente,

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