mecanica geral

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Prof. M.Sc. Valdi Henrique Spohr

GRANDE DO SUL Valdi Henrique Spohr

MECÂNICA GERAL – Prof. Valdi Henrique Spohr

1. INTRODUÇÃO

1.1. DEFINIÇÃO DA MECÂNICA

É uma ciência aplicada, que pode ser definida como a ciência que descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob a ação de forças. A finalidade da mecânica é explicar e prever fenômenos físicos, estabelecendo assim os fundamentos para as aplicações da Engenharia.

1.2. PRINCÍPIOS E CONCEITOS FUNDAMENTAIS MECANICA

•Aristóteles (384-322 a.C) e Arquimedes (287 INÍCIO DO ESTUDO DA MECÂNICA

•Newton (1642-1727) •Adaptadas por D'Alembert, Lagrange e Hamilton

•Einstein (1905) TEORIA DA RELATIVIDADE

. Valdi Henrique Spohr

É uma ciência aplicada, que pode ser definida como a ciência que descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob a

A finalidade da mecânica é explicar e prever fenômenos físicos, estabelecendo assim os fundamentos para as aplicações da Engenharia.

322 a.C) e Arquimedes (287-212 a.C) INÍCIO DO ESTUDO DA MECÂNICA

1727) Adaptadas por D'Alembert, Lagrange e Hamilton

É uma ciência aplicada, que pode ser definida como a ciência que descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob a

A finalidade da mecânica é explicar e prever fenômenos físicos, estabelecendo assim os fundamentos para as aplicações da Engenharia.

INTRODUÇÃO 3

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Os conceitos básicos usados na Mecânica são: espaço, tempo, massa e força.

O conceito de espaço está associado à noção de posição de um ponto P, que pode ser definida por três comprimentos.

Para definir um evento, não é suficiente definir sua posição no espaço; o tempo, ou o instante em que o evento ocorre, também deve ser dado.

O conceito de massa é usado para caracterizar e comparar os corpos.

Por exemplo, dois corpos de mesma massa serão atraídos pela terra da mesma maneira.

A força representa a ação de um corpo sobre outro, podendo ser exercida por contato ou a distancia, como é o caso das forças gravitacionais e forças magnéticas.

Por ponto material entendemos uma pequena porção da matéria que pode ser considerada como se ocupasse um ponto no espaço.

Um corpo rígido é a combinação de um grande numero de pontos materiais que ocupam posições fixas, relativamente uns aos outros.

PRIMEIRA LEI (lei da inércia): se a intensidade de força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este permanecerá em repouso (se originalmente estava em repouso) ou permanecera com velocidade constante em linha reta (se estava originalmente em movimento).

SEGUNDA LEI (lei fundamental da mecânica Newtoniana): se a força resultante que atua sobre um ponto material não é zero, este terá uma aceleração proporcional à intensidade da resultante e na direção desta, com o mesmo sentido. Lei que pode ser expressa como:

onde F, m e a representam, respectivamente a força resultante que atua sobre a partícula, sua massa e a sua aceleração.

TERCEIRA LEI (lei da ação e reação): as forças de ação e reação entre corpos em contato têm a mesma intensidade, mesma linha de ação e sentidos opostos.

INTRODUÇÃO 4

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1.3. SISTEMAS DE UNIDADES

As unidades fundamentais da mecânica, como visto anteriormente, são: comprimento (espaço), tempo, massa e força. As três primeiras podem ser consideradas fundamentais e a unidade de força que é a quarta e é escolhida de acordo com a Eq. 1.1 e é chamada de unidade derivada.

=1x =1

Tabela 1 – Principais unidades do SI usadas em mecânica.

metro m comprimento quilograma kg massa segundo s tempo

Unidade derivada UNIDADE SÍMBOLO GRANDEZA newton N força

Tabela 2 – Principais prefixos do SI

Como qualquer outra força, o peso de um corpo (ou força gravitacional exercida sobre o corpo) é expresso em newtons.

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INTRODUÇÃO 6

MECÂNICA GERAL – Prof. Valdi Henrique Spohr coverter para 12 m = m

15 m = m 27 m = cm

13 kg = g 21 Mg = kg

150 kgf = N 5,4 kN = Kgf 5 tf = kN

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2. ESTÁTICA DOS PONTOS MATERIAIS

Neste capítulo estudaremos o efeito de forças que atuam em pontos materiais.

2.1. Força sobre um ponto material

Uma força representa a ação de um corpo sobre o outro. Ela pode ser caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, sua direção e sentido.

Resultante de forças: São somados de acordo com a Lei do Paralelogramo – Ex: duas forças A (3 N) e B (4 N) perpendiculares tem resultante igual a 5 N e não 7 N.

Os vetores são definidos como entes matemáticos que possuem intensidade, direção e sentido e que se somam de acordo com a lei do paralelogramo.

Onde, dois vetores de mesma intensidade, direção e sentido são ditos iguais, quer tenham ou não o mesmo ponto de aplicação (vetores livres). E também, podem ser identificados pela mesma letra.

Vetores de mesma intensidade.

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O vetor oposto de um dado vetor P é definido como sendo um vetor que tem a mesma intensidade e direção e sentido oposto ao de P.

2.3. Adição de vetores

Os vetores podem ser somados pela lei do paralelogramo ou pela regra do triangulo.

Podemos concluir também que a adição de dois vetores é comutativa, uma vês que:

2.4. Subtração de vetores Subtrair um vetor é somar o correspondente vetor oposto.

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2.5. Soma de 3 ou mais vetores

Caso os vetores sejam coplanares, é preferível aplicar a Regra do Triângulo à Lei do Paralelogramo.

2.6. Produto escalar de um vetor

P + P = 2P P + P + P = 3P Soma de n vezes o vetor P = nP

Produto escalar: Produto de um escalar k (positivo ou negativo) por um vetor P = kP.

– Tem a mesma direção – Tem o mesmo sentido, se k for positivo; sentido oposto se k for negativo – Intensidade é igual ao produto da intensidade de P pelo valor k

2.7. Resultante de várias forças concorrentes

Forças concorrentes é um conjunto de forças coplanares que atuam sobre o mesmo ponto.

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2.8. Decomposição de uma força em componentes

Da mesma forma que as forças atuantes em um ponto material podem ser substituídas por uma única força F, uma força F pode ser substituída por 2 ou mais forças que, juntas, tem o mesmo efeito sobre o ponto material. Essas forças são chamadas de componentes da força original F.

O processo de substituição é chamado de decomposição da força F em componentes.

1. As forças P e Q agem sobre um parafuso A. Determinar a sua resultante.

Pela trigonometria podemos aplicar a regra do triangulo; dois lados e o ângulo por eles formados são conhecidos. Aplicamos a lei dos co-senos.

E, aplicando a lei dos senos:

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2. Uma barcaça é puxada por 2 rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é de 5kN e tem a direção do eixo da barcaça, determine: a) a tração em cada corda, sabendo-se que α=450 b) o valor de α para que a tração na corda 2 seja mínima b) SOLUÇÃO Para que T2 seja mínimo, T1 e T2 devem ser ortogonais, isto é, devem formar um ângulo de 90°.

sen30° = T2 / 5T2 = 5 sen30°
cos30° = T1 / 5T1 = 5 cos30°

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2.9. Componentes cartesianas de uma força

Em muitos problemas é desejável a decomposição da força F em componentes perpendiculares entre si.

• Paralelogramo desenhado para obtenção das componentes é um retângulo.

• Fx e Fy são denominadas componentes cartesianas.

Eixos x e y • Perpendiculares

• Geralmente nas direções horizontal e vertical

• Podem ser inclinados

• Ângulo θ medido a partir de Fx até a força F no sentido anti-horário

Podemos definir dois vetores de intensidade igual a 1, orientados segundo os eixos x e y:

• Vetor i: na direção do eixo x

• Vetor j: na direção do eixo y

• Decomposição de F

Fx = Fx i Fy = Fy j

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F = Fx i + Fy j onde: • Fx e Fy: componentes vetoriais de F

• Fx e Fy: componentes escalares de F

• (intensidade dos vetores Fx e Fy)

Fx = F cosθFy = F senθ

Relação entre F, Fx, Fy e θ

Exemplo 1: Uma força de 800 N é exercida sobre um parafuso A. Determine as componentes horizontal e vertical da força F.

As componentes vetoriais de F são:

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Exemplo 2: Um homem puxa, com uma força de 300 N, uma corda fixada a uma construção. Quais as componentes horizontal e vertical da força exercida pela corda no ponto A?

As componentes vetoriais de F são: F = (240 N) i – (180N) j

Exemplo 3: A força F=(3,5kN)i + (7,5kN)j é aplicada a um parafuso

A. Determine a intensidade da força e o ângulo que ela forma com a horizontal.

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2.10. Adição de forças pela soma das componentes

• Soma de 2 forças • Lei do paralelogramo ou regra do triângulo

• Soma de mais de 2 forças

• Solução analítica pode ser obtida pela decomposição de cada uma das forças em suas componentes cartesianas

Ex: 3 forças P, Q e S

P = Pxi + Pyj Q = Qxi + Qyj S = Sxi + Syj

R = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Sxi + Syj R = (Px+ Qx + Sx)i + (Py + Qy + Sy)j

Rx = Px+ Qx + Sx e Ry = Py+ Qy + Sy ou Rx = Σ Fx e Ry = Σ Fy

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Exercício 4

Quatro forças atuam no parafuso A. Determine a resultante das forças que agem no parafuso.

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2.1. Equilíbrio de um ponto material

Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é zero, este ponto está em equilíbrio.

Σ F = 0 Σ (Fxi + Fyj) = 0 (Σ Fx)i + (Σ Fy)j = 0

Então: Σ Fx = 0 e Σ Fy = 0

Primeira Lei de Newton – Se a força resultante que atua sobre um ponto material tem intensidade igual a zero, esse ponto permanece em repouso ou se move em movimento retilíneo uniforme.

Diagrama do Corpo Livre – Resolução de problemas da vida real reduzindo-se o problema do equilíbrio do ponto material, esquematizando-se em um diagrama separado todas as forças que sobre ele são exercidas.

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Exemplo 5: equilíbrio de um ponto material

Tem-se um caixote de 75kg sendo colocado sobre um caminhão. O caixote é suportado por um cabo vertical, unido no ponto A as duas cordas fixadas nos prédios em B e C. Deseja-se determinar a tração nas 2 cordas AB e AC.

• Desenha-se o Diagrama do Corpo Livre mostrando o ponto material em equilíbrio, que nesse caso é o ponto A.

• Condição de equilíbrio do ponto AΣ F = 0

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FORÇAS NO ESPAÇO 2.12. Componentes cartesianas de uma força no espaço

Uma força no espaço pode ser decomposta em componentes cartesianas Fx, Fy e Fz. Representando por θx, θy e θz, respectivamente, os ângulos que F forma com os eixos x, y e z, temos:

Cossenos diretores: Vetores unitários:

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2.13. Força definida por seu modulo e dois pontos de sua linha de ação.

2.14. Adição de forças concorrentes no espaço

2.15. Equilíbrio de um ponto material no espaço

Quando um ponto material está em equilíbrio no espaço tridimensional utilizam-se as três equações de equilíbrio.

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Exemplo 1: Sabendo que a tração exercida no cabo AB é de 2100N, determine as componentes cartesianas no espaço.

Solução:

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