integração

integração

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Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Departamento de Computação

José Álvaro Tadeu Ferreira

Cálculo Numérico – Notas de aulas Integração Numérica

Ouro Preto 2009

Depto de Computação – Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – Universidade Federal de Ouro Preto

Notas de aulas de Cálculo Numérico – Integração Numérica 2

Integração Numérica

1 - Introdução No Cálculo Diferencial e Integral estuda-se o conceito de integral definida e como calculá-la por meio de processos analíticos. Os resultados obtidos correspondem a áreas ou volumes de figuras geométricas, dependendo do tipo de integral. O objetivo deste capítulo é a apresentação de métodos numéricos para o cálculo de integrais definidas próprias, ou seja, dada uma função y = f(x), avaliar

(1.1)

a Sabe-se, pelo Teorema Fundamental do Cálculo Diferencial e Integral, que:

(1.2)

onde F(x) é a primitiva de f(x), isto é, F‘(x) = f(x). Antes de tratar de métodos numéricos para o cálculo de integrais definidas é relevante atentar para as razões da importância dos mesmos. Sendo assim, a seguir, são apresentados alguns exemplos nos quais a utilização de métodos numéricos para o cálculo de integrais definidas, por algum motivo, se faz necessária. As aplicações mais óbvias das integrais definidas se encontram no cálculo de comprimentos, áreas, volumes, massa, centro de massa, distância percorrida, tempo decorrido, etc. Considere-se o problema de calcular o comprimento de uma curva f em um intervalo a e b. Se a função f for diferenciável, esse problema remete a uma integral. Seja, por exemplo, calcular o perímetro de uma elipse, que exige a avaliação da expressão

Ocorre que a integral dt.)t(sen.k - 122

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Notas de aulas de Cálculo Numérico – Integração Numérica 3 é conhecida como integral elíptica do primeiro tipo, e não admite uma primitiva que resulte da combinação finita de funções elementares. Em outras palavras, não há uma fórmula fechada para o perímetro da elipse. A Física está repleta de conceitos definidos por meio de integração. Por exemplo, os movimentos unidimensionais, isto é, movimentos num espaço cuja posição possa ser determinada por apenas uma coordenada. Pode ser o movimento de uma partícula numa reta, um carro numa estrada, um pêndulo simples, etc. Para avaliar o período de um pêndulo em função da amplitude do movimento é necessário resolver uma integral elíptica do segundo tipo, que não pode ser expressa como uma combinação finita de funções elementares. Portanto não há uma fórmula fechada para o período do pêndulo em função da amplitude do movimento. A integração numérica se presta, também, para calcular constantes matemáticas. Por exemplo, o número π, que é definido como sendo a área do círculo de raio unitário. Como para o círculo unitário se tem x2 + y2 = 1, então 2 x- 1 y , logo,

Neste caso, é até possível determinar uma primitiva para o integrando, mas o problema é que essa primitiva acabará sendo expressa em termos de π. Pode-se mostrar teoricamente que o lado direito é igual ao esquerdo, obtendo-se a equação π = π!!!! O valor numérico de π só poderá ser obtido, no entanto, se for feita a integração precisa da função no integrando. Outro exemplo vem da Teoria das Probabilidades. A distribuição de probabilidades mais comum na natureza é dada pela função

Para determinar a probabilidade de que um evento ocorra dentro de um intervalo [a, b] é necessário calcular a integral

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Notas de aulas de Cálculo Numérico – Integração Numérica 4 dt.(t)P b

cálculo de integrais definidas

Acontece que 2 xe é uma função cuja primitiva não pode ser expressa como uma combinação finita de funções elementares. Em probabilidade, como é muito freqüente o uso dessa integral, adotam-se tabelas com precisão limitada, mas razoável, que servem para a maioria dos propósitos. Essas tabelas podem ser facilmente montadas com a utilização dos métodos de integração numérica que serão tratados neste texto. Outro exemplo são os casos em que há a necessidade de se trabalhar com dados experimentais. Nesta situação, não há funções matemáticas que descrevem um fenômeno físico, mas apenas tabelas de dados que devem ser integrados para se analisar o problema. O tratamento é feito, essencialmente, de forma numérica. Os exemplos apresentados ilustram bem porque é necessário utilizar métodos numéricos no Por razões históricas, as fórmulas de integração numérica também são denominadas “quadratura numérica”, pois foi com o problema da quadratura do círculo que Arquimedes fez os primeiros cálculos usando a noção de integral. Conforme ilustrado nos exemplos apresentados anteriormente, na resolução de uma integral definida várias situações podem ocorrer: (i) a determinação da primitiva F pode ser difícil; (i) a função a integrar pode não admitir uma primitiva F que possa ser escrita como uma combinação finita de funções elementares; (i) a função a ser integrada pode não ser conhecida na sua forma analítica mas, apenas, em

um conjunto de pontos (xi, yi), i = 0, 1,n.

A chave para a solução do problema é, essencialmente, aproximar a função integranda, f, por outra função cujo integral seja fácil de calcular. Este objetivo é alcançado substituindo f

pelo polinômio que a interpola em um conjunto de pontos (xi, yi), i = 0, 1,, n, pertencen-

tes ao intervalo [a, b]. Sendo p este polinômio, é razoável esperar que a dx.xpI(p) seja, sob certas condições, um valor aproximado de I(f). O erro cometido neste processo é e = I(f) – I(p) = I(f – p) (1.3)

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O resultado (1.3) se justifica pela linearidade do operador de integração. Como pode ser observado, o erro depende da maior ou menor aproximação do polinômio p a f. Adiante serão apresentadas estimativas desta importante grandeza.

2 – Fórmulas de Newton-Cotes As fórmulas de Newton-Cotes podem ser:

(a) do tipo fechado: tais fórmulas são aquelas em que todos os pontos estão no intervalo de integração [a, b], e x0 = a e xm = b são os extremos. (b) do tipo aberto: nestas fórmulas todos os pontos estão no intervalo, [a, b], de integra- ção, porém a função integranda, y = f(x), não é avaliada em ambas as extremidades do intervalo, mas em pontos próximos. São utilizadas quando a função integranda apresenta descontinuidades nos extremos do intervalo de integração, ou seja, têm utilidade na análise de integrais impróprias.

Neste texto serão estudadas as Fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado. Estas fórmulas permitem calcular, por aproximação, uma integral definida substituindo a função a ser integrada pelo polinômio com diferenças finitas ascendentes que a interpola em um conjunto de

pontos (xi, yi), i = 0, 1,, n; onde a = x0 e b = xn. Sendo assim, é necessário que as abscis-

sas dos pontos sejam eqüidistantes. Sabe-se que este polinômio é dado por:

)]1 n(z[)1z(z
y

e que

Tem-se, então, que:

x = x0 + h.z dx = h.dz. É necessário, então, corrigir os limites para a integração em z.

Para x = x0 0 z h

Para x = xn n z h n.h h

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A integral que se deseja calcular é dx.)x(f I b a onde a = x0 e b = xn

No entanto, a integral que será, efetivamente, calculada é:

h.z).h.dz p(x I n

Como h é uma constante, tem-se h.z).dz p(xh. I n

0(2.2)

A expressão 2.2 constitui-se em uma família de regras de integração ou de fórmulas de quadratura. De acordo com o valor atribuído a n, determina-se o grau do polinômio interpolador e se obtêm diferentes regras de integração. Esta colocação justifica que se introduza o conceito a seguir.

Definição 2.1 Uma regra de integração diz-se de grau de exatidão n se integrar, exatamente, todos os polinômios de grau menor ou igual a n e existir pelo menos um polinômio de grau n + 1 que não é integrado exatamente por esta regra.

Teoricamente, existe um número infinito de regras de integração, uma vez que é possível atribuir a n qualquer valor inteiro positivo maior ou igual um. Normalmente, por razões que serão explicitadas mais adiante, são considerados os casos em que n é igual a um, dois e três.

2.1 – Regra dos Trapézios Esta regra é obtida fazendo-se n igual a um, ou seja, por meio da integração do polinômio interpolador de grau um.

2.1.1 – Fórmula Simples É calculada, então, a integral a seguir.

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Que, resolvida, resulta em yhy2

0(2.3)
y0 = y1 – y0(2.4)

Sabe-se que Substituindo 2.4 em 2.3, vem

hI(2.5)

Que é a Regra dos Trapézios na sua fórmula simples. Na figura 2.1 é apresentada a interpretação geométrica desta regra. Como se sabe, calcular uma integral definida corresponde a avaliar a área sob a curva da função integrada, no intervalo de integração. No caso, a área sob a curva de f, no intervalo [a = x0, b = x1] foi estimada com sendo a área sob uma reta e que, conforme mostra a figura 2.1, é a área de um trapézio.

Figura 2.1: Regra dos Trapézios - fórmula simples

O erro de truncamento é dado pela expressão (2.6). Este erro é de truncamento, porque o grau do polinômio interpolador foi truncado em um em função do número de pontos utilizados.

T (2.6)

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fórmulas de Newton-Cotes para n = 9, 1, 12,têm coeficientes positivos e negativos o

2.1.2 – Fórmula Composta Aproximações obtidas pelas regras de Newton-Cotes não têm, muitas vezes, a precisão desejada. O uso de fórmulas deduzidas aproximando a função integranda por polinômios interpoladores de grau superior, pode não produzir melhores resultados (note-se que as que poderá causar cancelamento subtrativo, ou a função integranda pode não possuir a regularidade necessária que permita usufruir da plena precisão das fórmulas). Uma maneira de obter aproximações com menor erro consiste em subdividir o intervalo de integração em n partes, todas do mesmo tamanho, e aplicar as fórmulas simples de forma repetida. Com efeito, como será possível verificar posteriormente, reparando nas expressões do erro das várias fórmulas, todas elas mostram que aquele depende de uma certa potência do comprimento (b - a) do intervalo de integração [a,b]. Então, se este intervalo é reduzido, o erro virá grosso modo reduzido na proporção dessa potência. Considerando o exposto, para melhorar o resultado, o intervalo [a,b] de integração é dividido em n partes de tamanho h e aplica-se a fórmula simples da Regra dos Trapézios em cada uma delas. A figura (2.2) ilustra este procedimento.

Figura 2.2: Regra dos Trapézios – Fórmula composta Tem-se, então, para a aproximação da integral:

hyy2

Resultando em:

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O erro resultante é a soma dos erros cometidos na aplicação da Regra dos Trapézios em cada uma das n partes na qual o intervalo de integração foi dividido, e é dado por:

(2.8)

Note-se que a expressão do erro associado à Regra dos Trapézios permite afirmar, como já era esperado, que esta tem grau de exatidão igual a um. Ocorre que o número c não é conhecido, portanto, tal como é, o resultado (2.8) não pode ser utilizado. Sendo assim, o erro cometido é estimado por meio de (2.8.a), ou seja, na forma de erro de truncamento máximo.

(2.8.a)

Exemplo 2.1

2 f(x).dx I, utilizando a Regra dos Trapézios, de modo que o erro de truncamento máximo seja 0,0004.

Solução

Tem-se que

cujo módulo é máximo, no intervalo [2; 3,2], para x = 2 e

  n 4,7  n = 5

T Portanto, o intervalo de integração deve ser dividido em 5 partes, sendo assim, h = 0,24.

Tendo em vista que:

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Obtém-se que:

Como

Observação Utilizando o Cálculo Diferencial e Integral e quatro casas decimais, é obtido o seguinte resultado:

2.2 – Primeira Regra de Simpson Para obter esta regra é integrado o polinômio interpolador de grau dois são, portanto, necessários três pontos.

2.2.1 – Fórmula Simples Esta fórmula é obtida calculando-se a seguinte integral.

Tem-se, então: 2

Fazendo z igual a dois, vem

1y2y2hI(2.9)

Tem-se que:

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010yyy(2.10)
01202yy2yy(2.10.a)
hI210(2.1)

)x(f)x(f4)x(f3 A interpretação geométrica desta regra é apresentada na figura (2.3)

Figura 2.3: Primeira Regra de Simpson – Fórmula Simples O erro de truncamento cometido é dado por:

1S(2.12)

2.2.2 – Fórmula Composta Tal como feito para a Regra dos Trapézios, o intervalo de integração é dividido em n partes de mesma amplitude e, então, em cada uma delas é aplicada a fórmula simples. Observe-se que, como para cada aplicação da fórmula simples são necessários três pontos, n deve ser um número par. A figura (2.4) ilustra o procedimento.

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Figura 2.4: Primeira Regra de Simpson – Fórmula Composta Desta forma, vem, então, que:

hy.4y3

Resultando em:

]y.4y.2y.2y.4y.2y.4y.[3
hIn1n2n43210(2.13)

O Erro de truncamento resultante da integração pela Primeira Regra de Simpson – Fórmula Composta é dado por:

(2.14)

Uma vez que ponto c não é conhecido, a expressão (2.14) é aproximada pela expressão (2.15). ), ou seja, na forma de erro de truncamento máximo.

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Uma vez que a Primeira Regra de Simpson foi obtida pela aproximação da função integranda por um polinômio de segundo grau, seria de esperar que tivesse grau de exatidão dois. No entanto, a expressão obtida para o erro mostra que esta regra tem grau de exatidão três, isto é, é exata sempre que a função a integrar é um polinômio de grau menor ou igual a três.

Exemplo 2.2 O PROCON tem recebido reclamações com relação ao peso dos pacotes de açúcar de 5kg. Com a finalidade de verificar a validade das reclamações, foi coletada uma amostra de 100 pacotes. Com isto, chegou-se à conclusão de que para determinar a probabilidade de um pacote de um açúcar pesar menos do que 5kg deve ser avaliada a expressão a seguir.

Estime esta probabilidade e o erro de truncamento máximo cometido utilizando a Primeira Regra de Simpson. Divida o intervalo de integração em 6 partes e faça os cálculos com 4 casas decimais.

Solução Para calcular F é necessário, antes, obter uma estimativa para o valor da integral.

Sendo o intervalo de integração dividido em 6 partes, então h = 0,3.

i xi yi ci 0 0,0 1 1

Tendo em vista que:

Obtém-se que:

Como

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Obtido o valor da integral, pode-se calcular F.

O erro de truncamento máximo cometido no cálculo da integral é dado por (2.15). Verificase que:

(2.16)

Gráfico 2.1

Conforme pode ser observado no gráfico 2.1, |f(IV)(x)| atinge o seu máximo no intervalo [0; 1,8], para x = 0. Verifica-se que 3 |)0(f|)IV(

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