Cônicas

Cônicas

CAPÍTULO 8 CÔNICAS

Muitas descobertas importantes em matemática e em outras ciências estão relacionadas às seções cônicas. Desde os tempos dos gregos clássicos como Arquimedes, Apolônio entre outros, já havia estudos sobre essas curvas. No texto "Elementos de Euclides" (270 a.C.) tratavam de elipses, hipérboles e parábolas ou, para usarmos o nome comum, seções cônicas. Estas são curvas obtidas quando um plano intercepta um cone de revolução. Existe uma teoria completa das cônicas num tratado de Apolônio (200 a.C.). Ele mostra, por exemplo, que uma elipse é o lugar descrito por um ponto que se movimenta de tal modo que a soma de suas distâncias a dois pontos dados, os focos, permanecem constantes e também que uma hipérbole é o lugar descrito por um ponto que se movimenta de tal modo que a diferença de suas distâncias a dois pontos dados, os focos, permanecem constantes. Desde o tempo de Apolônio que as seções cônicas têm contribuído para descobertas importantes na Física. Em 1604, Galileu descobriu que, lançando-se um projétil horizontalmente do topo de uma torre, supondo que única força atuante seja a da gravidade, sua trajetória é uma parábola Kepler (que era mais astrônomo e físico do que matemático) descobriu por volta de 1610 que os planetas se movem em elipses com o sol num dos focos. Por volta de 1686, Newton provou em seu livro "Principia Mathematica" que isso pode ser deduzido da lei de gravitação e das leis da Mecânica. A pedra angular da Mecânica Quântica é o teorema espectral para transformações lineares auto-adjuntas, descendentes das seções cônicas. Nos resultados obtidos por Newton sobre o movimento planetário, aparece a equação das cônicas em coordenadas polares. A hipérbole é utilizada no estudo descritivo da expansão dos gases em motores a explosão. A parábola é a curva que descreve a trajetória de um projétil, desprezando a resistência do ar. Aparece ainda na construção de espelhos parabólicos, utilizados em faróis de automóveis e em antenas parabólicas.

Como vimos no pequeno histórico acima, as seções cônicas são curvas planas obtidas da interseção de um plano com um cone de revolução. São elas: a parábola, a elipse e a hipérbole. A circunferência não é considerada uma cônica, apesar de poder ser obtida também por uma seção de um cone. Devido a sua inquestionável importância na matemática, em particular na geometria, e em outras ciências, estaremos também introduzindo o estudo da circunferência.

Circunferência

Hipérbole Parábola Elipse

As cônicas e a circunferência são figuras planas. Portanto, suas representações serão realizadas no plano cartesiano (ℜ2). A expressão geral de uma cônica, exceto para a circunferência, é uma equação do 2º grau da forma: 0FEyDxCyBxyAx22=+++++.

O termo "xy" da equação geral das cônicas é chamado de "termo retângulo". Quando a equação geral apresentar o termo retângulo, dizemos que a equação é "degenerada". Quando a equação geral não apresentar o termo retângulo, simplesmente chamares de equação geral. Geometricamente, a diferença entre a equação geral e a equação geral degenerada está na posição da cônica em relação aos eixos coordenados. Quando a equação geral é degenerada o eixo de simetria da cônica é inclinado em relação aos eixos coordenados e quando a equação geral não é degenerada o eixo de simetria da cônica é paralelo a um dos eixos coordenados.

Neste capítulo estaremos estudando somente as cônicas com equação geral não degenerada. Posteriormente, quando introduzirmos o estudo de translação e rotação de eixos estudaremos as cônicas com equação geral degenerada. Como a equação geral das cônicas apresenta uma expressão semelhante para todas, ou seja, 0FEyDxCyBxyAx22=+++++, uma forma de identificar a cônica através da sua equação geral é utilizar a seguinte classificação:

hipérbole0AC4Bse parábola0AC4Bse elipse0AC4Bse

Por exemplo:

hipérbole.

Elipse de equação geral não degenerada y eixo de simetria

Elipse de equação geral degenerada y eixo de simetria

1 CIRCUNFERÊNCIA

Definição: é o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de um ponto fixo C (centro) do mesmo plano.

OBS: O segmento que une qualquer ponto da circunferência ao centro é chamado de raio, denotado pela letra r. O segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência passando pelo centro e chamado de diâmetro, denotado pela letra d. Vale a relação r2d=.

Seja a circunferência de centro C(m,n) e raio r. Seja P(x,y) um ponto qualquer da circunferência.

Temos que r|CP|=, que é a equação vetorial da circunferência. Como

Esta expressão é chamada de equação reduzida da circunferência. O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação normal, ou seja, uma equação do tipo 0edycxbyax22=++++, e são assim que elas aparecem na literatura.

Outra equação importante são as equações paramétricas, as quais são definidas como segue. Na figura anterior, vamos determinar o senθ e o cosθ no triângulo CPS.

ny sen e θ+=⇒−=θcosrmx mx cos

As equações paramétricas da circunferência são: θ+= senrny

Exemplo (1): Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência x m Ox n C r θ S

Oy

Solução: Note a circunferência foi dada na forma da sua equação normal. Para determinarmos o centro e o raio e necessário passar para forma reduzida, completando os quadrados. Então:

equação reduzida podemos ver que o centro é igual C(2,-3) e o raio é igual a r = 4.

Exemplo (2): Determine a equação reduzida da circunferência, sabendo-se que um de seus diâmetros é o segmento de extremos A(1,3) e B(5,-3). Solução: O diâmetro é o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência passando pelo centro e vale r2d=. Logo o centro C(m,n) da circunferência é ponto médio do diâmetro. Então: )0,3( 2

−+ =. A distância entre A e B é o

Portanto, a equação reduzida é 13y)3x(2=+−.

2 ELIPSE

Definição: Dados dois pontos fixos F1 e F2 do plano, com c2FF21=, chamamos de elipse o lugar geométrico dos pontos deste plano, cuja soma das distâncias aos pontos F1 e F2 é uma constante 2a>2c.

• C(m,n) é o centro;

• A1, A2, B1 e B2 são vértices; • F1 e F2 são focos;

• a2AA21= é o eixo maior;

• b2BB21= é o eixo menor;

• c2FF21= é a distância focal; n m

P B2

Oy

Ox

F1 F2 C a c

• Relação notável para elipse: Do triângulo CB1F2 vem que 222cba+=.

• Excentricidade: a c e=. A excentricidade mede a abertura das cônicas, ou seja, quanto mais "arredondada" ou "achatada" é a figura. Como, para elipse, c < a, então 1e0<<. Assim, quanto mais próximo de 1 estiver a excentricidade, mais achatada (alongada) é a elipse e, quanto mais próximo de zero, mais arredondada ela será.

Seja P(x,y) um ponto qualquer da elipse. A distância do ponto P ao foco F1 é dada por |PF|1 e a distância do ponto P ao foco F2 é dada por |PF|2. Portanto, pela definição da elipse escrevemos a expressão a2|PF||PF|21====++++ chamada de equação vetorial da elipse.

O

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