DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES VETORIAIS

DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES VETORIAIS

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Capítulo 1 Derivação de Funções Vetoriais

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PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA (fbatista@bol.com.br)

Campos Vetoriais

A compreensão física de muitos fenômenos pode ser realizada através das ferramentas matemáticas fornecidas pela teoria de campos vetoriais como mostram os exemplos a seguir.

Podemos conhecer o comportamento de furacões em termos das intensidades e direções das suas velocidades e acelerações em cada ponto no espaço utilizando a teoria de campos vetoriais nos modelos matemáticos e físicos.

A teoria de campos vetoriais ajuda a entender o fenômeno eletromagnético que se manifesta pela formação das linhas de campo magnético que aparecem em torno dos pólos de um ímã ou quando fazemos circular uma corrente elétrica por um fio de cobre enrolado na forma de um solenóide (eletroímã).

ímã Eletroímã

O estudo da aerodinâmica de aviões, carros e navios depende da análise do campo vetorial de velocidades existente no fluido em que se movem, seja a água ou o ar.

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O estudo através de campos vetoriais se torna necessário sempre que associamos a cada ponto do espaço uma grandeza vetorial descrita pela sua intensidade, direção e sentido. Por exemplo, a velocidade do ar que passa ao redor de um carro, o campo elétrico entre duas placas de um capacitor e o campo magnético provocado por uma corrente elétrica que circula num solenóide.

Para iniciarmos nosso estudo de derivação de funções vetoriais, precisamos relembrar as características das principais operações apresentadas no curso de Álgebra Linear.

Resumo sobre vetores e operações vetoriais Um vetor pode ser representado de várias formas conforme mostra o quadro a seguir:

Características Espaço Vetorial

IR2 IR3

Representação usando parênteses )y,x(v=r )z,y,x(v=r Representação matricial (linha) ]yx[v=r ]zyx[v=r

Representação matricial (coluna) y xvr yx v

Representação vetorial ji rrryxv+= kji rrrrzyxv++=

Vetores da base )0,1(=ir

As operações básicas sobre vetores são realizadas segundo mostra o quadro: Operação Fórmula Característica

Adição vetorial

O resultado da adição vetorial é um vetor.

A adição vetorial é utilizada quando desejamos calcular a resultante entre dois vetores.

A direção do vetor resultante coincide com a direção da diagonal do paralelogramo formado pelos dois vetores utilizados no cálculo.

Multiplicação de vetor por escalar

O resultado da multiplicação de vetor por escalar é um vetor.

A multiplicação de vetor por escalar é utilizada quando desejamos ampliar ou comprimir um vetor através do fator α.

A direção do resultado da multiplicação por escalar é a mesma do vetor utilizado no seu cálculo.

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As operações especiais sobre vetores podem ser realizadas conforme o quadro: Operação Fórmula Característica

Produto Escalar vu r ⋅ ou ou θ=⋅cos v uvu r

O produto escalar entre dois vetores resulta em um escalar (número real). A operação é comutativa e é definida para qualquer espaço vetorial.

Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles se anular.

Utilizado para calcular distâncias, tamanhos de projeções e módulos (intensidades) através de u 2 r ⋅=.

Utilizado para normalizar vetores conforme a expressão u u uunitário r

Produto Vetorial vu r × ou vu r uuuvu kji r

O produto vetorial entre dois vetores resulta em um vetor. A operação não é comutativa e é definida apenas para vetores no espaço vetorial IR3 .

O resultado do produto vetorial é um vetor perpendicular aos vetores utilizados no seu cálculo segundo a regra da mão direita.

O módulo do produto vetorial calcula a área formada pelos vetores u r e vr através da expressão θ=×sen v uvu r .

Produto Misto ou

]CBA[ r

O produto misto entre três vetores resulta em um escalar.

O produto misto pode ser calculado em duas partes, em primeiro lugar o produto vetorial e em segundo um produto escalar.

O produto misto só é definido para vetores no espaço vetorial IR3 .

O módulo do produto misto calcula o volume do prisma formado pelos três vetores utilizados no cálculo.

Os vetores

, Br e Cr estão no mesmo plano se o produto misto entre eles se anular.

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