Funções de várias variáveis

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Capítulo 1 Funções de várias variáveis e suas derivadas

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PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA fbatista@bol.com.br

Funções de várias variáveis

Funções que possuem várias variáveis independentes são muito comuns na vida prática. Por exemplo, a temperatura numa cidade depende do dia do ano, mas também depende da hora do dia considerado. Podemos escrever a temperatura em função das variáveis independentes da seguinte forma: )h,d(T=

Onde d é o dia do ano e h é a hora do dia.

Gráficos de funções de duas variáveis

Enquanto o gráfico de uma função de uma variável independente é representado por uma curva no espaço bidimensional (espaço IR2), o gráfico de uma função de duas variáveis é dado por uma superfície no espaço tridimensional (espaço IR3).

Gráfico da função 2x)x(f= Gráfico da função )xy(sen)y,x(f= Veja o gráfico de algumas funções de duas variáveis:

Gráfico da função

Gráfico da função

33yx)y,x(f+= Gráfico da função )y(senx)y,x(f3 =

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Derivadas parciais

Uma função que possui várias variáveis pode ser derivada em relação a cada uma das suas variáveis. Denominamos esse tipo de derivada de derivada parcial, ou seja, a derivada da função em relação a uma determinada variável, considerando as outras constantes. Para termos uma idéia do que é a derivada parcial, vamos inicialmente calcular a derivada de uma função de 1 variável através da definição de derivada. Considere a função de 1 variável:

2kx)x(f=, onde k é uma constante Vamos calcular a derivada dessa função através da definição:

x )x(f)x(flim dx

Primeiramente, vamos calcular )x(f∆+:

Agora vamos subtraí-la de )x(f, colocando ∆x em evidência: )xkx2k(x)x(f)x(f ∆+∆=−∆+

Dividindo ambos o membros por ∆x temos que:

Ao aplicarmos o limite quando ∆x→0 aos dois membros:

Portanto, a derivada da função 2kx)x(f= é igual a :

x2k dx

Observe que o resultado é a constante multiplicada pela derivada da função 2xy=. Agora vamos considerar a função de 2 variáveis:

2yx)y,x(f= Definimos a derivada parcial da função em relação a x através do seguinte limite:

O símbolo ∂ (que se pronuncia del ou round-d – d arredondado. Em português, é frequentemente chamado de derronde) indica que a derivação é parcial. Vamos inicialmente calcular )y,x(f∆+ e subtraí-la de )y,x(f:

Agora vamos subtraí-la de )y,x(f, colocando ∆x em evidência: )xyx2y(x)y,x(f)y,x(f ∆+∆=−∆+

Dividindo ambos o membros por ∆x:

Ao aplicarmos o limite quando ∆x→0 aos dois membros:

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A derivada da função 2yx)y,x(f= é igual a :

x2yx

Observe a semelhança com o cálculo realizado para a função de uma variável. Nesse último caso, a variável y assume o papel da constante k no cálculo da derivada da função de uma variável.

Seguindo raciocínio análogo, podemos calcular a derivada parcial da função em relação a y considerando x constante:

Na derivação parcial da função em relação a x, consideramos y constante. Na derivação parcial da função em relação a y, consideramos x constante.

As derivadas parciais que acabamos de calcular representam as taxas de crescimento ou de decrescimento da função )y,x(f em cada uma das direções.

Graficamente podemos visualizar melhor o significado das derivadas parciais. Considere a função dada pelo gráfico:

As derivadas parciais calculam as taxas de crescimento/decrescimento da função nas direções x e y conforme mostram os gráficos a seguir:

As derivadas parciais obedecem às mesmas regras válidas para funções de 1 variável como a regra do produto, a regra do quociente e a regra da cadeia.

inclinação da reta tangente:

∂ inclinação da reta tangente:

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Exemplo Calcular as derivadas parciais em relação a x e y da seguinte função:

Solução Vamos fazer a seguinte mudança de variáveis na função )y,x(fz=:

Temos então que: )u(sen)u(fz==

A derivada parcial de z em relação a x é dada pela aplicação da regra da cadeia:

xu du dzxz ∂

Onde:

)yxcos()ucos( du

Substituindo esses resultados na expressão da regra da cadeia:

Por outro lado, a derivada parcial de z em relação a y é dada por:

yu du dzyz ∂

Onde:

)yxcos()ucos( du

Substituindo esses resultados na expressão da regra da cadeia:

Exemplo Calcular as derivadas parciais em relação a x e y da seguinte função:

Solução

Observe que a função )yx(senxz432 = é o produto das funções 2xu= e )yx(senv43 ambas dependentes de x. Portanto, para calcularmos a derivada parcial de z em relação a x, devemos aplicar a regra do produto. Em termos de derivadas parciais, a derivada do produto pode ser expressa por:

u x v v xux

A derivada parcial de u em relaçao a x é dada por:

Conforme a questão anterior, a derivada parcial de v em relaçao a x é dada por:

)yxcos(yx3x

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Aplicando os resultados na regra do produto:

No cálculo da derivada parcial de z em relação a y devemos fazer:

u y v v yuy

A derivada parcial de u em relaçao a y é dada por:

Conforme a questão anterior, a derivada parcial de v em relaçao a y é dada por:

)yxcos(yx4y

Aplicando os resultados na regra do produto:

)yxcos(yx4x)yxcos(yx4)yx(sen0y

Observe que não é adequado aplicarmos a regra do produto na questão apresentada, pois ambas as funções u e v não dependem de y. Nesse caso devemos derivar normalmente sem aplicar a regra do produto, ou seja, se )yx(senxz432 =, a derivada parcial de z em relação a y é igual a:

Aplicações de derivadas parciais

Os economistas necessitam quantificar o impacto do aumento de preço de um determinado bem de consumo na demanda da população por esse bem, para isso, utilizam um índice chamado elasticidade. A elasticidade é definida como a taxa de variação da demanda por um bem em relação ao seu preço. Matematicamente, a elasticidade ε é definida por:

Onde D representa a função demanda pelo bem e P é o preço do bem. Embora essa definição seja interessante do ponto de vista didático, na prática se revela muito dependente das quantidades utilizadas. Em outras palavras, não podemos comparar a elasticidade no consumo de combustível com a elasticidade no consumo de arroz já que uma é dada em litros/moeda (litros/Reais no Brasil) e a outra em kg/moeda (kg/Reais no Brasil). Para resolver essa desvantagem, os economistas preferem falar de elasticidade em termos percentuais. Nesse novo ponto de vista, a elasticidade é definida como a relação entre a variação percentual na demanda e a variação percentual no preço. Matematicamente, podemos expressar o novo conceito de elasticidade através da expressão:

Em termos de derivadas parciais temos que:

Regra da cadeia

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Em geral a elasticidade assume valores negativos, o que significa que o aumento do preço do bem resulta numa queda da demanda pelo bem. Se ε ficar entre -1 e 0, o bem é dito inelástico. Se a elasticidade ficar entre -∞ e -1 o bem é dito elástico, o que significa que uma pequena variação percentual no seu preço implica uma grande variação percentual na quantidade demandada.

Para finalizar, suponha uma função demanda pelo bem 1, aqui representada por D1, que depende do preço de um bem 1 (representado por P1), do preço de um bem 2 (representado por P2) e da renda R da população. Podemos escrever a relação funcional da seguinte forma:

)R,P,P(fD211= Podemos definir três tipos de elasticidade a partir da função demanda. Cada uma possui um significado especial para os economistas.

•••• Elasticidade – preço definida por:

Essa elasticidade mede a influência do preço do bem 1 na sua própria demanda. •••• Elasticidade – preço cruzada definida por:

Essa elasticidade mede a influência do preço do bem 2 na demanda pelo bem 1. Por exemplo, imagine duas marcas de feijão concorrentes. Se o preço da marca 2 aumentar, qual seria o impacto na demanda pelo feijão da marca 1?

•••• Elasticidade – renda definida por:

RDD R 1

Essa elasticidade mede a influência da renda na demanda pelo bem 1. Suponha que o poder aquisitivo da população sofra um aumento, qual é o impacto na demanda pelo bem 1?

Derivadas de ordens superiores

As derivadas parciais de ordem superior são decorrência de derivações parciais sucessivas da função. Por exemplo, as derivadas parciais de segunda ordem são definidas por:

∂∂ yz yyz

As derivadas parciais de terceira ordem são dadas por:

∂∂ yz yyyz

Generalizando, as derivadas parciais de ordem n podem ser calculadas pelas expressões:

xz x yz y yyyz

Exemplo Calcular as derivadas parciais de segunda ordem da seguinte função:

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Solução Primeiramente, devemos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:

A partir dessas derivadas podemos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem:

xxz x yyz y

Todas as derivações parciais mostradas são derivações sucessivas em relação a x ou em relação a y. Um outro tipo de derivada, chamada de derivação parcial mista, permite que se possa derivar a função parcialmente em relação a uma variável, depois em relação a outra variável e assim por diante. Existem duas derivadas parciais mistas de segunda ordem:

As derivadas parciais mistas de terceira ordem são:

Exemplo Calcular as derivadas parciais mistas de segunda ordem da função dada no exemplo anterior:

Solução Partindo das derivadas parciais de primeira ordem, podemos calcular as derivadas parciais mistas de segunda ordem:

xyz xyx yxz yxy

Perceba que as derivadas parciais mistas de segunda ordem são iguais. Isso acontece quando as funções são contínuas e deriváveis até segunda ordem (nesse caso dizemos que a função é de classe C2). O matemático alemão Hermann Amandus Schwarz emprestou seu nome ao teorema que afirma que as derivadas parciais mistas de segunda ordem são iguais.

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O matemático alemão dedicou-se ao cálculo de superfícies de mínima área, um problema característico do campo de estudo denominado cálculo de variações. Schwarz também demonstrou uma importante relação matemática chamada desigualdade triangular (ou desigualdade de Cauchy-Schwarz).

Para saber mais: w-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Schwarz.html

Alguns autores preferem representar as derivações parciais através de índices na função. Por exemplo, as derivadas parciais de segunda ordem podem ser representadas por:

xz yxy zf 2 xy yz xyx zf 2 yx xz x zf 2 x yz y zf 2 y

Note que a primeira letra à esquerda no índice indica a derivada parcial mais interna, ou seja, a notação fxy significa que primeiro devemos derivar parcialmente a função em relação a x e o resultado devemos derivar parcialmente em relação a y.

Diferencial total Toda função )y,x(f que possua derivadas parciais contínuas até a ordem n pode ser aproximada por uma soma (série) de termos de potências de x e y conforme a seguinte expressão:

A diferencial total surge a partir da aproximação linear local da função )y,x(f, ou seja, devemos considerar apenas os três primeiros termos da série, desprezando os demais. A aproximação então se torna:

)y(c)x(c)y,x(f 02010 −+−+≈ Precisamos calcular os coeficientes dessa última expressão para desenvolvermos o conceito de diferencial total. Fazendo 0xx= e 0yy= na expressão completa da aproximação: )y,x(fc000=

Para calcularmos 1c, devemos encontrar a primeira derivada parcial da série em relação a x, considerando em seguida que 0xx= e 0yy=:

Para calcularmos 2c, devemos encontrar a primeira derivada parcial da série em relação a y, considerando em seguida que 0xx= e 0yy=:

Substituindo os coeficientes na expressão da aproximação linear local:

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Fazendo )y,x(f)y,x(f0−=∆, 0xxx−=∆ e 0yyy−=∆ obtemos a expressão da diferencial total da função )y,x(f:

A diferencial total permite o cálculo aproximado do desnível sofrido pela função )y,x(fde um ponto )y,x(fP00= a um ponto )y,x(fQ= conhecendo apenas as derivadas parciais em relação a x e a y no ponto )y,x(0 e os deslocamentos x∆ e y∆ conforme mostra a figura:

Considerando uma função de n variáveis independentes:

)x,...,x,x(fzn21= A expressão da diferencial total é dada por:

f x

Aplicação da diferencial total a experimentos

Todo experimento possui uma parcela de erro, chamada de incerteza, pois os instrumentos de medição não produzem medidas exatas. A expressão da diferencial pode ser utilizada para descobrir a incerteza total num experimento dado que existem n instrumentos de medida na experiência.

Considere que não seja possível medir diretamente uma grandeza z, porém, essa grandeza depende de outras grandezas que podem ser medidas diretamente através de n instrumentos. Matematicamente, podemos expressar a relação de dependência como:

)x,...,x,x,x(fz n321= Desejamos saber qual é o erro na grandeza z, sabendo que cada instrumento possui uma incerteza de medição ix∆ (n,...,3,2,1i=) informada pelo fabricante. A diferencial total da função mostra como encontrar o erro z∆ a partir dos erros individuais de cada grandeza medida:

z x z x

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As derivadas parciais n321 x

∂ são chamadas de coeficientes de sensibilidade

e medem a influência de cada grandeza medida (x1, x2, x3,, xn) na variável z. As variações

n321x,...,x,x,x∆∆∆∆ são as incertezas de cada instrumento de medição informadas pelo fabricante de cada equipamento presente na experiência.

Como é possível que os coeficientes de sensibilidade sejam negativos, devemos tomar os seus módulos na diferencial total:

z x z x

Essa última expressão é chamada de equação do erro indeterminado.

Exemplo Calcular o volume V do cilindro e a sua incerteza de medição considerando que a sua altura é h=5cm, sabendo que o erro do instrumento de medida é 0,02cm (para mais ou para menos), e o seu diâmetro é D=2cm, sabendo que o erro de medida é 0,01cm (para mais ou para menos).

Solução O volume do cilindro é dado pela seguinte equação:

hrV2pi= Onde r é o raio da base do cilindro e é dado por:

D r=

Substituindo na expressão do volume:

hDV 2pi =

As derivadas parciais de V em relação a D e a h são iguais a:

2 DhD

A equação do erro indeterminado se torna:

Dhhh VDD

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