Isaac Newton - Contribuições à Matemática

Isaac Newton - Contribuições à Matemática

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Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Curso: Física Bacharelado Ismael Rodrigues Silva - ismael_fisica@hotmail.com

Sir. Isaac Newton

Contribuições à matemática e sua luta com

Leibniz pelo título de criador do Cálculo

Isaac Newton ocupa um lugar de destaque no panteão da ciência e da cultura universais - tanto que os físicos modernos, pelo fato de ainda trabalharem com sua lei da gravitação universal, consideram-no o primeiro dos físicos, o gigante que os leva ao conhecimento. Seu nome está associado a um grande número de leis e de teorias ainda ensinadas e em uso, como a dinâmica newtoniana, as suas leis do movimento, a teoria da gravitação. De modo mais geral, o newtonianismo é referido como uma concepção do mundo que influencia a cultura europeia durante todo o século XVIII.

Mas quem era Newton? Quais eram seus ideais, seus métodos de pesquisa, suas técnicas de demonstração, sua formação? Se apoiarmos nos trabalhos mais recentes dos historiadores das ciências, descobriremos um Newton muito diferente da imagem estereotipada que se cristalizou com o tempo. Vê-se um filósofo da natureza, que utiliza métodos matemáticos e que enuncia as leis do movimento diferentemente das que se encontram em manuais; um homem atormentado pelas questões da natureza teológica; um homem que busca conhecer os segredos da matéria apoiando-se na alquimia e na magia natural; um teimoso que se engaja nas vastas controvérsias com os grandes de seu tempo (tais como Descartes e Leibniz). Percebe-se que seu percurso intelectual se assemelha um pouco ao do racionalismo do século XVIII, capaz de distinguir claramente o raciocínio físico-matemático dos preconceitos teológicos e metafísicos.

Se perguntarmos a alguns sobre Newton, ouviremos: Leis de Newton, ação e reação, inércia etc.. Se perguntarmos a outros, poderão se referir à Lei da Gravitação ou luz. Mas qual foram as contribuições de Newton à matemática? Alguns poderiam lembrar do Binômio de Newton ou vagamente do Cálculo. No fundo temos, entretanto, tantas contribuições à matemática quanto à física ou química dadas por Newton.

O objetivo deste trabalho não é narrar a vida de Newton desde seu nascimento até sua morte. Não é, também, entrar em detalhes em assuntos que divergem da matemática. Apesar das leis do movimento, Lei da Gravitação e da óptica se fundamentaram quase que inteiramente em matemática, esses assuntos serão deixados de lado: o objetivo, como diz respeito o título, é dar ênfase às contribuições de Newton à matemática.

Como já foi dito, não é objetivo narrar inteiramente a vida de Newton, pois isso é desnecessário no momento e de fácil acesso. Alguns fatos principais de sua vida, porém, serão citados, para uma pequena e rápida compreensão de como viveu o pai da ciência.

Sir Isaac Newton nasceu em 4 de janeiro de 1643 em Woolsthorpe Manor, embora seu nascimento tivesse sido registrado como no dia de Natal, 25 de dezembro de 1642, pois àquela época a Grã-Bretanha usava o calendário juliano. Newton foi um cientista inglês, mais reconhecido como físico e matemático, embora tenha sido também astrônomo, alquimista, filósofo natural e teólogo. Newton foi considerado o cientista que causou maior impacto na história da ciência.

Newton é uma criança estudiosa e solitária, e sua mãe desiste muito cedo de fazer dele um agricultor ou um criador de gado. Seguindo conselhos de um tio, enviamno a Cambridge com a idade de 19 anos. Newton entra no Trinity College em 1661 como subsizar. Em Oxford, subsizares eram chamados de servidores. Tratava-se de estudantes pobres que pagavam seus estudos servindo mesas e arrumando quartos. Não se sabe, todavia, se Newton precisou de fato desempenhar tais tarefas.

Naquele tempo, os alunos das universidades inglesas estavam ainda solidamente ligados às tradições aristotélicas. Newton se sentia desde o início atraído pela nova filosofia da Natureza. Ele se põe a ler obras de Descartes, especialmente a Geometria, publicada em 1637, na qual Descartes representa, pela primeira vez, as curvas por meio de equações. Ele também lê Boyle, Hobbes e Galileu, tudo por interesse pessoal.

Sua obra, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, é considerada uma das mais influentes na história da ciência. Publicada em 1687, esta obra descreve a lei da gravitação universal e as três leis de Newton, que fundamentaram a mecânica clássica. Ao demonstrar a consistência que havia entre o sistema por si idealizado e as leis de Kepler do movimento dos planetas, foi o primeiro a demonstrar que o movimento de objetos, tanto na Terra como em outros corpos celestes, são governados pelo mesmo conjunto de leis naturais. O poder unificador e profético de suas leis era centrado na revolução científica, no avanço do heliocentrismo e na difundida noção de que a investigação racional pode revelar o funcionamento mais intrínseco da natureza.

Newton estudou no Trinity College de Cambridge, e graduou-se em 1665. Em 1663, formulou o teorema hoje conhecido como Binômio de Newton. Fez suas primeiras hipóteses sobre gravitação universal e escreveu sobre séries infinitas e o que chamou de teoria das fluxões (1665), o embrião do Cálculo Diferencial e Integral.

Por causa da peste negra, o Trinity College foi fechado em 1666 e o cientista foi para casa de sua mãe em Woolsthorpe. Foi neste ano de retiro que construiu quatro de suas principais descobertas: o Teorema Binomial, o cálculo, a lei da gravitação universal e a natureza das cores. Construiu o primeiro telescópio de reflexão em 1668, e foi quem primeiro observou o espectro visível que se pode obter pela decomposição da luz solar ao incidir sobre uma das faces de um prisma triangular transparente (ou outro meio de refração ou de difração), atravessando-o e projetando-se sobre um meio ou um anteparo branco, fenômeno este conhecido como dispersão.

Tornou-se professor de matemática em Cambridge (1669) e entrou para a Royal Society (1672). Publicou, em Cambridge, Arithmetica universalis (1707), uma espécie de livro-texto sobre identidades matemáticas, análise e geometria, possivelmente escrito muitos anos antes (talvez em 1673).

A história mais popular é a da maçã de Newton. Se por um lado essa história seja mito, o fato é que dela surgiu uma grande oportunidade para se investigar mais sobre a Gravitação Universal. Essa história envolve muito humor e reflexão. Muitas charges sugerem que a maçã bateu realmente na cabeça de Newton, quando este se encontrava num jardim, sentado embaixo de uma macieira, e que seu impacto fez com que, de algum modo, ele ficasse ciente da força da gravidade. A pergunta não era se a gravidade existia, mas se ela se estenderia tão longe da Terra que poderia também ser a força que prende a Lua à sua órbita. Newton mostrou que, se a força diminuísse com o quadrado inverso da distância, poderia então calcular corretamente o período orbital da Lua. Ele supôs ainda que a mesma força seria responsável pelo movimento orbital de outros corpos, criando assim o conceito de "gravitação universal". O escritor contemporâneo William Stukeley e o poeta Voltaire foram duas personalidades que citaram a tal maçã de Newton em alguns de seus textos.

O seu primeiro contato com caminhos da alquimia foi através de Isaac Barrow e Henry More, intelectuais de Cambridge. Por volta de 1693, escreveu Praxis, uma obra que sugere uma filosofia que via na natureza algo diferente do que admitiam as filosofias mecanicistas ortodoxas. Newton dedicou muitos de seus esforços aos estudos da alquimia. Escreveu muito sobre esse tema, fato que soube-se muito tarde, já que a alquimia era totalmente ilegal naquela época.

Sendo inspirado pela maçã ou não, o fato é que todas essas descobertas permaneceram guardadas por anos. No final de 1666, elas ainda não estavam na forma como seriam apresentadas ao mundo futuramente, e que o transformaria no mais prestigiado matemático de seu tempo. Mais tarde, a realização no campo da mecânica tomaria a conhecida forma que seria publicada na primeira edição dos Principia, em julho de 1687.

Em 1669 ele envia a John Collins, a pedido de Isaac Barrow, o artigo “Sobre a análise das séries infinitas”. Collins, empolgado pela qualidade do trabalho, insiste em publicá-lo, mas Newton reluta. Esse episódio foi o primeiro de muitos em que Newton hesitou pela publicação de um artigo, seja pelo receio das críticas, ou apreensão sobre os desdobramentos de tornar públicas importantes descobertas.

Newton foi respeitado como nenhum outro cientista e sua obra marcou efetivamente uma revolução científica. Seus estudos foram como chaves que abriram portas para diversas áreas do conhecimento cujo acesso era impossível antes de Newton. Em seus últimos dias, passou por diversos problemas renais que culminaram com sua morte. Na noite de 20 de março de 1727 (Calendário juliano) faleceu. Foi enterrado junto a outros célebres homens da Inglaterra na Abadia de Westminster.

Em 1669, Newton tornou-se o sucessor de Barrow na cátedra de matemática em Cambridge. Em 1672, apresentou-se à Royal Society (que havia sido fundada 10 anos antes) seu primeiro trabalho, sobre a natureza da luz branca e sua decomposição espectral. Entretanto, essa publicação provocou uma disputa com Robert Hooke sobre prioridades, e Newton, que era um recluso e profundamente tímido e desconfiado, ficou tão desgostoso que não teria publicado mais nada se não o forçassem a fazê-lo.

No início de 1684, Robert Hooke, Sir Christopher Wren (o arquiteto da St Paul’s Cathedral, que também era astrônomo) e Edmund Halley tiveram uma discussão conjunta em Londres sobre qual seria a órbita de um planeta atraído pelo Sol com uma força que variasse com o inverso do quadrado da distância. Seria uma elipse, conforme pela 1° Lei de Kepler? Hooke acreditava que sim, e Wren ofereceu-lhe 40 shillings (cerca de US$100 atuais) se provasse dentro de um tempo prefixado - o que Hooke não conseguiu fazer. Alguns meses mais tarde, Halley foi a Cambridge e perguntou a Newton (sem explicar por que) qual seria a forma da órbita. Newton respondeu imediatamente: “Uma elipse”. - “Como sabe? Tem a prova?” perguntou Halley, ao que Newton respondeu: “Ora, já sei disso há muitos anos. Se me der alguns dias, certamente reconstruirei a prova”.

Com efeito, Newton havia resolvido esse problema em 1676 e 1677, e logo enviou a Halley duas provas diferentes. Com muito esforço, Halley conseguiu persuadi-lo a preparar um tratado em que exporia suas investigações sobre a gravidade e mecânica celeste. Newton escreveu-o em 18 meses, e Halley, embora não tivesse muitos recursos, subvencionou a publicação.

“Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, o “Principia”, publicado em 1687, é muitas vezes considerado como a obra científica mais importante e de maior influência até hoje escrita.

O que teria levado Newton a aguardar tantos anos antes de publicar os seus resultados? Em parte, isso foi devido a seu caráter e aos revezes anteriores. Entretanto, havia uma dificuldade mais fundamental. Ao calcular a força da gravidade na superfície da Terra, admitimos que toda a massa da Terra estivesse concentrada em seu centro. Como justificar isso? Foi só em 1685 que Newton conseguiu demonstrar (usando o cálculo integral, que ele próprio havia inventado) que, para uma força central inversamente proporcional ao inverso do quadrado da distância (aliás, isto só vale para uma tal força!), a atração exercida por uma esfera sobre uma partícula externa é a mesma que se toda a massa da esfera estivesse concentrada em seu centro.

No livro I dos “Principia”, Newton formula os princípios fundamentais da dinâmica (as 3 leis de Newton) e estuda os diferentes tipos de órbitas possíveis de uma partícula sob ação de uma força do tipo gravitacional (variando com o inverso do quadrado da distância): órbitas elípticas, hiperbólicas e parabólicas; mostra também a relação com as leis de Kepler. Inclui ainda o tratamento da ação de umas esfera sobre um corpo externo. No livro I,ndiscute o movimento de corpos num meio resistente e problemas de mecânica dos fluidos, inclusive a propagação de ondas num fluído. Finalmente, no livro I, intitulado “O Sistema do Mundo”, aplica a lei da gravitação para discutir o movimentos dos satélites em torno dos planetas e dos planetas em torno do Sol; mostra como calcular as massas dos planetas em termos da massa da Terra; calcula o achatamento da Terra devido a sua rotação; calcula o efeito, conhecido como precessão dos equinócios, produzido sobre a órbita da Terra por esse achatamento; discute as perturbações do movimento da Lua devidas à ação do Sol; explica as marés; calcula as órbitas dos cometas etc..

Os problemas abordados naquela época são essencialmente de dois tipos. O primeiro consiste, numa dada curva, em determinar a tangente num de seus pontos. O segundo tipo de problema é o cálculo da área delimitada por uma curva. Ora, imediatamente depois de ter descoberto a série binomial, Newton toma consciência de um fato extraordinário inverso do outro. Nos termos de hoje, diríamos que Newton percebeu que o cálculo de uma tangente realiza uma operação de derivação, enquanto o cálculo de uma área equivale a efetuar uma operação inversa, isto é, a det (diz-se que uma função F é uma primitiva de f se sua derivada F’ é igual a f).

Esse resultado é, longe de qualquer dúvida, um dos mais fecundos da história da matemática. Não se refere à resolução de um certo problema particularmente difícil, mas à resolução de toda uma classe de problemas que podem levar a um cálculo de áreas ou de tangentes. É o evento que se chamará cálculo diferencial e integral, ou cálculo infinitesimal (sim, o mesmo que Leibniz inventa quase ao mesmo tempo que Newton), e que forma em nossos dias um conjuntos de técnicas indispensáveis em quase todos os domínios da ciência. Os ginasianos e estudantes universitários aprendem, segundo o teorema fundamental do cálculo integral, que derivação (ou diferenciação) e inte

Newton sentiu a necessidade de ferramentas matemáticas específicas para exprimir as relações entre as grandezas relevantes da mecânica. Criou p fim o chamado método das fluxões derivadas em relação ao tempo.

As fluxões das variáveis x e eram representados simbolicamente por tempo, notação ainda em uso. As variáveis seriam, nesse c de uma variável podia tornar e , que são suas derivadas segundas em relação ao tempo. Uma outra operação permitiria encontrar o fluente

, integrais em relação ao tempo

É provável que muitas partes do através do método dos fluxions mais tedioso e desajeitado, p científica.

Os nomes fluxion e fluente sugerem uma simples analogia com definições ligadas ao movimento de fluidos, no qual o em um açude, enquanto o fluxion que sai desse açude. O cálculo diferencial e integral foi desenvolvido paralelamente pelo filósofo alemão Leibniz derivadas, assim como o graficamente deformado, além da talvez ambígua notação de diferenciais.

Os problemas abordados naquela época são essencialmente de dois tipos. O dada curva, em determinar a tangente num de seus pontos. O segundo tipo de problema é o cálculo da área delimitada por uma curva. Ora, imediatamente depois de ter descoberto a série binomial, Newton toma consciência de um fato extraordinário: esses dois tipos de problemas são um inverso do outro. Nos termos de hoje, diríamos que Newton percebeu que o cálculo de uma tangente realiza uma operação de derivação, enquanto o cálculo de uma área equivale a efetuar uma operação inversa, isto é, a determinar uma primitiva se que uma função F é uma primitiva de f se sua derivada F’ é igual a f).

Esse resultado é, longe de qualquer dúvida, um dos mais fecundos da história da matemática. Não se refere à resolução de um certo problema particularmente difícil, mas à resolução de toda uma classe de problemas que podem levar a um cálculo de áreas ou de tangentes. É o evento que se chamará cálculo diferencial e integral, ou cálculo infinitesimal (sim, o mesmo que Leibniz inventa quase ao ewton), e que forma em nossos dias um conjuntos de técnicas indispensáveis em quase todos os domínios da ciência. Os ginasianos e estudantes aprendem, segundo o teorema fundamental do cálculo integral, que derivação (ou diferenciação) e integração são operações inversas.

Newton sentiu a necessidade de ferramentas matemáticas específicas para exprimir as relações entre as grandezas relevantes da mecânica. Criou p fluxões, essencialmente nossas derivadas; em derivadas em relação ao tempo.

e y, a razão com que elas variam ou “fluem” eram representados simbolicamente por ẋ e ẏ, suas derivadas em relação ao , notação ainda em uso. As variáveis seriam, nesse caso, os fluentes de uma variável podia tornar-se, por sua vez, um fluente, sendo representado por

, que são suas derivadas segundas em relação ao tempo. Uma outra operação fluente de uma fluxão, sendo indicada pelos símbolos integrais em relação ao tempo.

É provável que muitas partes do Principia tenham sido deduzidas por Newton fluxions e depois convertidas para o processo geométrico, mais tedioso e desajeitado, porém mais bem estabelecido na comunidade sugerem uma simples analogia com definições ligadas ao movimento de fluidos, no qual o fluente poderia representar o volume de água fluxion representaria fisicamente a vazão de um córrego que sai desse açude. O cálculo diferencial e integral foi desenvolvido paralelamente z, a quem devemos nossa notação para diferenciais e derivadas, assim como o símbolo de integral, que é um “S” (de “ graficamente deformado, além da talvez ambígua notação de diferenciais.

Os problemas abordados naquela época são essencialmente de dois tipos. O dada curva, em determinar a tangente num de seus pontos. O segundo tipo de problema é o cálculo da área delimitada por uma curva. Ora, imediatamente depois de ter descoberto a série binomial, Newton toma : esses dois tipos de problemas são um inverso do outro. Nos termos de hoje, diríamos que Newton percebeu que o cálculo de uma tangente realiza uma operação de derivação, enquanto o cálculo de uma erminar uma primitiva se que uma função F é uma primitiva de f se sua derivada F’ é igual a f).

Esse resultado é, longe de qualquer dúvida, um dos mais fecundos da história da matemática. Não se refere à resolução de um certo problema particularmente difícil, mas à resolução de toda uma classe de problemas que podem levar a um cálculo de áreas ou de tangentes. É o evento que se chamará cálculo diferencial e integral, ou cálculo infinitesimal (sim, o mesmo que Leibniz inventa quase ao ewton), e que forma em nossos dias um conjuntos de técnicas indispensáveis em quase todos os domínios da ciência. Os ginasianos e estudantes aprendem, segundo o teorema fundamental do cálculo integral, que

Newton sentiu a necessidade de ferramentas matemáticas específicas para exprimir as relações entre as grandezas relevantes da mecânica. Criou para este ; em paticular, no tempo, derivadas em relação ao fluentes. A fluxão , sendo representado por ẍ

, que são suas derivadas segundas em relação ao tempo. Uma outra operação , sendo indicada pelos símbolos e tenham sido deduzidas por Newton e depois convertidas para o processo geométrico, orém mais bem estabelecido na comunidade sugerem uma simples analogia com definições ligadas poderia representar o volume de água representaria fisicamente a vazão de um córrego que sai desse açude. O cálculo diferencial e integral foi desenvolvido paralelamente , a quem devemos nossa notação para diferenciais e ” (de “soma”) graficamente deformado, além da talvez ambígua notação de diferenciais.

A guinada metodológica dada por Newton na década de 1670 certamente levou a não divulgar um método formal ou algébrico que ele próprio considerava inferior à geometria dos clássicos. Ele revelou principalmente o método das fluxões e séries infinitas a alguns amigos que iam a Cambridge, quase em peregrinação, para visitálo. Em carta a Leibniz datada de 1676, ele expôs o teor do teorema fundamental, mas sob forma de diagrama indecifrável! Por fim, cumpre notar que Newton, deixando de publicar seu método das fluxões, não agia de forma diferente dos geômetras da Antiguidade, que teriam dissimulado seu método analítico. A reserva com que Newton vê sua obra de juventude e a forma como tenta dissimulála podem nos aparecer concernentes, mas, para Newton, essa atitude está de acordo com os hábitos dos geômetras da Antiguidade.

No domínio da matemática, Newton se dedica, entre 1670 e 1690, à geometria. Ainda que se trate, segundo ele, de redescobrir um saber antigo, ele obtém resultados de grande originalidade. Assim, ele antecipa a geometria projetiva utilizando, de forma sistemática, projeções para resolver numerosos problemas de geometria plana, como aquele que consiste em encontrar as cônicas que passam por k pontos dados ou o problema de classificação das curvas cúbicas em x e y (sombras de cinco espécies diferentes).

Nem por isso ele abandona completamente a álgebra e o cálculo das fluxões. Em 1683, Newton entrega à Trinity College um texto de suas lições lucasianas. Estas seriam publicadas em 1707 em um volume intitulado Arithmetica universalis, dedicado à teoria das equações algébricas. Embora o texto tenha um espírito francamente algébrico, encerra-se com um apêndice no qual o autor exprime com eloquência sua simpatia pela geometria:

As equações são as expressões de um cálculo aritmético e, enquanto tais, não têm lugar na geometria. As multiplicações, as divisões e outras operações do gênero foram introduzidas recentemente na geometria, e isso sem precaução e contra os princípios primeiros dessa ciência. Assim, essas duas ciências [a aritmética e a geometria] não devem ser confundidas. Os antigos delas faziam uma distinção tão clara que nunca introduziram termos aritméticos na geometria. E os modernos, confundindo uma com a outra, perderam a simplicidade que faz toda a elegância da geometria.

O método das fluxões continua igualmente a ocupar o professor lucasiano. Newton se dedica a reescrever seu trabalho de juventude em linguagem geométrica. Assim, ele distingue método analítico e método sintético das fluxões. O primeiro é o método simbólico, descrito acima, no qual estão em jogo quantidades infinitamente pequenas. O segundo não contém símbolos algébricos: Newton refere-se apenas a figuras geométricas. Essas figuras não são estáticas, mas devem ser concebidas como geradas por um “fluxo contínuo”.

Quem é Leibniz? Nasceu em 1646, e seu pai, morto em 52, deixou-lhe uma biblioteca de herança que lhe permite adquirir erudição precoce, construindo uma linguagem simbólica que exprime todo tipo de raciocínio. Leibniz se dedica a ler, com a maior atenção, as obras matemáticas de Descartes, Torricelli, Roberval, Pascal, Wallis e Barrow.

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