Isaac Newton - Contribuições à Matemática

Isaac Newton - Contribuições à Matemática

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Leibniz chega à formulação do “cálculo diferencial e integral”. Ainda hoje, essa expressão é utilizada para designar a teoria matemática que, apesar das modificações e desenvolvimentos feitos nos séculos que se surgiram, tem como origens notações (em especial os símbolos dx e y dx) os trabalhos de Leibniz do período de 1672 a 1676.

Com relação ao método das fluxões (chamados hoje de infinitesimal), que Newton havia formulado alguns anos antes, o cálculo leibniziano apresentava diferenças tanto no ponto de vista dos conceitos quanto do das notações. Entretanto, há grandes semelhanças. Se Newton fala de momentos ẋ o de quantidades fluentes, Leibniz fala de diferenciais dx de grandezas. Leibniz também dispões de uma regra de eliminação dos diferenciais (x + dx = x). Como Newton, ele usa frequentemente as séries infinitas. Finalmente Leibniz formula igualmente um teorema fundamental do cálculo infinitesimal e compreende que classes inteiras de problemas podem-se resumir à integração ou à diferenciação. Esses pontos de similaridade, justamente, motivariam a acusação de plágio por parte de Newton.

Contrariamente a Newton, que preferia quase que dissimular seus métodos matemáticos, Leibniz esforçava-se em comunicá-los. A partir de 1864, em uma revista intitulada Acta eruditorum, Leibniz passa a publicar os princípios e aplicações do cálculo diferencial e integral. Do método newtoniano das fluxões, em contrapartida, nenhuma única linha ainda havia se tornado pública! Manuscritos e cartas de Newton sobre as fluxões deviam certamente circular. O próprio Leibniz teria recebido de Newton duas cartas que referiam-se ao teorema do binômio e a um método da quadratura. Numa dela, Newton enunciava o objeto de seu teorema fundamental do cálculo infinitesimal de forma codificada: 6accdaei3eff73i9n4o4qr r4s8ti2vx. Essa mensagem criptada parecia corresponder - exceção feita ao “t”, e identificando-se o “u” e o “v” - aos números das diferentes letras da frase “Data aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire; et vice versa”, ou seja, “Dada uma equação que contenha um número qualquer de quantidades fluentes, encontrar as fluxões, e vice-versa”. Mesmo que Leibniz tenha conseguido decifrar esse difícil quebra-cabeça, isso não lhe teria acrescentado muito: nessa época, ele já tinha seu próprio cálculo diferencial e integral. As acusações de plágio dirigidas a Leibniz são portanto infundadas.

É interessante destacar o que separa Newton de Leibniz. Ambos atribuem um papel muito diferente a suas respectivas descobertas matemáticas e também adotam atitudes bastante divergentes com relação a sua divulgação. A história da matemática não é feita só de teoremas. Enquanto Newton é um nostálgico dos métodos dos geômetras da Antiguidade clássica, Leibniz é um defensor convicto da nova matemática, e, na sua opinião, o cálculo que ele havia finalizado constitui uma separação com relação à matemática clássica. Ele externa uma grande admiração pelo método newtoniano das primeiras e últimas razões. Mas suas declarações fazem-se sempre acompanhar do convite para que se adote o novo cálculo, e para desenvolvê-lo sem se preocupar com rigor ou contradição.

(1 + x)a = a + aza-1 + [a(a - 1)/2]xa-2 + [a(a - 1)(a - 2)(a - 3)xa-3+, sendo o (n +

Newton aprendeu muito sobre as séries infinitas graças às obras de Wallis; é igualmente generalizando seus resultados que chegará à série binomial. Obtém-se essa série exprimindo (1 + x)a, onde o número a pode ser um inteiro ou uma fração, sob a forma de uma série de potências de x. A série binominal de Newton, válida para todo x superior a -1 e inferior ou igual a 1, escreve-se: 1)ésimo termo dessa série igual a [a(a - 1)(a - 2)(...(a - n + 1)/n!]xa - n.

Newton chegou a essa fórmula tateando. Sem ter nenhuma dúvida sobre sua exatidão, ele nunca conseguiu dar-lhe uma demonstração que satisfizesse. Na prática, utilizava métodos de interpolação que Wallis batizava como “indutíveis”. Newton conhecia a fórmula do binômio no caso em que o expoente a é um inteiro positivo (no caso, a série binomial não comporta senão um número finito de termos). Com um pouco de sorte, generalizou-a para expoentes fracionários negativos ou positivos. Depois, ali aplicou aos casos cuja resposta conhecia por meio de outros métodos e verificou que os resultados coincidiam.

Com a ajuda da série binomial, Newton calculou facilmente a área definida por centenas de curvas, um dos principais problemas de sua época, assim como a determinação de tangentes, raios de curvatura (a circunferência que aproxima melhor uma curva em um dado ponto), baricentros, comprimentos dos arcos de curva etc.

Em matemática, o binômio de Newton polinômio correspondente à potência de um Binômio de Newton não foi o objeto de estudos de Newton estudou foram regras que valem para fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de

Notação e fórmula: O teorema do binômio de Newton se escreve como segue:

Os coeficientes (nk) são chamados

O coeficiente binomial (nk) combinações de n elementos agrupados

O triângulo de Pascal é um binomiais (nk), onde n representa o número da linha (posição vertical) e representa o número da coluna (posição horizontal).

A construção do triângulo faz dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente acima e à esquerda. O elemento da primeira linha e primeira coluna é O princípio do triângulo de Pascal é a igualdade do triângulo de Pascal

Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica: x y x y 2x y x x y x y 3x y 3

Demonstração do teorema do Binômio de Newton Antes de começar, vale lembrar que:

Sejam x, y elementos de um anel comutativo binômio de Newton permite escrever na forma canônica correspondente à potência de um binômio. Deve-se salientar que o mio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade o que estudou foram regras que valem para (a + b)n quando o expoente fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas.

do binômio de Newton se escreve como segue:

são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:

. ) corresponde, em análise combinatória, ao número elementos agrupados k a k. é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes representa o número da linha (posição vertical) e representa o número da coluna (posição horizontal). A construção do triângulo faz-se de forma que cada elemento do seja igual à soma dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente acima e à esquerda. O elemento da primeira linha e primeira coluna é 1. pio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como igualdade do triângulo de Pascal:

Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica: x y 3x y x y

Demonstração do teorema do Binômio de Newton: Antes de começar, vale lembrar que:

(1) elementos de um anel comutativo (xy=yx) e n um inteiro não-negativo.

canônica o se salientar que o . Na verdade o que quando o expoente n é e são definidos como:

, ao número coeficientes representa o número da linha (posição vertical) e k seja igual à soma dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente também conhecida como

Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica: negativo.

Demonstraremos por indução matemática. Base:

Recorrência: Seja n um inteiro maior ou igual a 1, mostraremos que a relação para n implica a relação para n+1: Da hipótese de indução,

Por distributividade de produto sob a soma:

Que pode ser reescrito usando (1):

Usando a formula do triângulo de Pascal:

Reagrupando o somatório:

E segue o resultado.

Em um manuscrito que Newton escreveu em 1704, no qual ele descreve sua tentativa de extrair informações científicas a partir da Bíblia, ele estima que o mundo não iria terminar antes de 2060. "Ele pode acabar além desta data, mas não há razão para acabar antes".

No lado mais pessoal, muitos biógrafos afirmam que ele havia morrido virgem.

Conta-se que as suas aulas de matemática eram tão monótonas que muitas vezes ninguém aparecia e ele falava para as paredes.

Existe uma contradição na data de nascimento de Sir Isaac Newton, alguns autores relatam que Newton nasceu em 25 de Dezembro de 1942 e outros datam seu nascimento em 04 de Janeiro de 1943. Segundo Perna, 2007, pelo calendário atual estávamos em 4 de Janeiro de 1643 - O calendário adotado em Inglaterra - calendário gregoriano - estava atrasado em 10 dias. Alguns preferem dizer que Newton nasceu em 1642 somente por este ser o ano da morte de outro gênio: Galileu.

Os estudos atuais dos documentos mostram que Newton criou o cálculo durante 1665-1666 e Liebniz desenvolveu, independentemente, só 10 anos depois. Mas ainda há muitas controvérsias. Alguns insistem em dizer que ambos criaram praticamente ao mesmo tempo, mas que Leibniz tenha publicado primeiro.

Parece que a morte de Hooke não apenas abriu caminho para a presidência da Royal Society, como também para que Newton publicasse Opticks, em 1704.

Isaac Newton foi um grande avanço para a ciência. Talvez, sem suas descobertas, não haveria hoje tantos avanços da física moderna e tantas explicações para diversos fenômenos. Suas leis e várias outras descobertas nos fazem compreender melhor o mundo que nos cerca.

Newton foi um dos principais precursores do Iluminismo, sua capacidade mental era incrível, fez descobertas importantes para a ciência que servem de base para explicar diversos fenômenos e acontecimentos, e compreender o que é o universo.

Newton acreditava nos seus ideais e na sua capacidade, se propunha a observar fenômenos da natureza e explicar como estes aconteciam. Diante de todas as suas descobertas, que, sem sombra de dúvida, ampliaram os horizontes e deu a ele o título de Pai da Física, este cientista brilhante acreditava que ainda havia muito a se descobrir.

REFERÊNCIAS http://www.algosobre.com.br/matematica/binomio-de-newton.html http://www.infoescola.com/matematica/binomio-de-newton/ http://www.coladaweb.com/fisica/leis_de_newton.htm http://web.educom.pt/luisperna/biografia_newton.htm http://www.fisicapotierj.pro.br/poligrafos/leis_newton.htm http://www.infoescola.com/fisica/lei-da-gravitacao-universal/ http://plato.if.usp.br/1-2003/fmt0405d/apostila/renasc7/node12.html http://plato.if.usp.br/1-2003/fmt0405d/apostila/renasc7/node12.html http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo http://ciencia-vela.blogspot.com/2007/04/isaac-newton.html Revista Scientifc American, “Gênios da ciência - Newton, o pai da física moderna”.

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