Livro Calculo - Instituto de Física, Universidade de São Paulo

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∣∣∣~Fx ∣∣∣. Da mesma forma temos

Em tres dimensoes terıamos ~F = Fx~ı + Fy~ + Fz~k.

CAPITULO 4. VETORES 41

Figura 4.3 Exemplo

Escrever em termos dos versores cartesianos os dois vetores ~v1 e ~v2, indicados na figura 4.4.

4.3 Operacoes com vetores

Dados os vetores ~a = ax~ı + ay~ + az~k

CAPITULO 4. VETORES 42

Exemplo Vamos considerar os vetores

e facil verificar que os mesmos resultados poderiam ter sido obtidos atraves da “regra do paralelogramo” (ou de qualquer outra regra geometrica desse tipo).

4.3.2 Produto de vetores

Ha pelo menos tres tipos de produtos envolvendo vetores: (i) produto de um numero escalar por um vetor, dando como resultado um vetor; (i) produto de um vetor por outro vetor, dando como resultado um escalar (e o chamado produto escalar); (i) produto de um vetor por outro vetor, dando como resultado um terceiro vetor (e o chamado produto vetorial).

Vamos considerar cada um desses casos.

(i) Produto de um vetor por um escalar

Dado o vetor ~a = ax~ı + ay~ + az~k e o escalar A, temos

(i) Produto escalar entre dois vetores

Dados os vetores ~a = ax~ı + ay~ + az~k

CAPITULO 4. VETORES 43 definimos o produto escalar,

Ha uma forma alternativa, muito conveniente, de escrever o produto escalar entre dois vetores. Dados ~a e ~b, formando um angulo θ, e facil mostrar que

Como ~a e ~b (para θ 6= 0 ou pi) definem um plano, que pode ser chamado plano xy, basta demonstrar esta relacao no espaco cartesiano bidimensional. Vamos considerar a figura 4.5.

O produto escalar entre ~a e ~b e dado por

Mas ax = acosθ1; ay = asenθ1; bx = bcosθ2; by = bsenθ2,

Por exemplo, vamos calcular o angulo entre os vetores ~v1 = 3~ı + 2~ e ~v2 = 4~ı − 2~ . O produto escalar e dado por

CAPITULO 4. VETORES 4

Os modulos desse dois vetores sao dados por

Entao

O produto escalar entre dois vetores tem uma serie de propriedades facilmente demonstraveis:

conhecida como associatividade;

(b) ~a ·~b =~b ·~a, que e conhecida como comutatividade;

(c) ~a ·~b = 0 =⇒ ~a ⊥ ~b, indicando que o produto escalar e nulo quando os vetores forem perpendiculares;

mostrando que se o produto escalar for dado pelo produto dos modulos (cosθ = 1) entao os dois vetores sao paralelos.

(i) Produto vetorial entre dois vetores

Dados os vetores ~a = ax~ı + ay~ + az~k

o produto vetorial e um terceiro vetor definido como

Ha varias formas de se lembrar dessa definicao. E facil verificar que essa expressao do produto vetorial pode ser obtida atraves de um determinante simbolico,

ax ay az

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